【正文】 或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？[分析]顯然，這是一個(gè)重復(fù)計(jì)數(shù)問(wèn)題（當(dāng)然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。只有兩次達(dá)到優(yōu)秀的有多少人？ [分析]“每人至少有一次達(dá)到優(yōu)秀”說(shuō)明沒有三次都沒達(dá)到優(yōu)秀的。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有8人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。那么有多少人沒穿西服，沒打領(lǐng)帶，并且沒穿黑皮鞋？[例5]某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。而參加了跳類項(xiàng)目的人數(shù)，又可以分為參加了跑的和沒參加跑的，后者就是只參加了跳和投擲的人數(shù)，前者就是參加了跑和跳的人數(shù)。被2整除的數(shù)有10個(gè)，被3整除的數(shù)有9個(gè)，被5整除的數(shù)有6個(gè)。但是我們可以假設(shè)出三科都得滿分的人數(shù)，再利用包含原則，即三科都得滿分的人數(shù)不能小于0，也不能超過(guò)某兩科得滿分的人數(shù)，從而確定了三科都滿分的人數(shù)的一個(gè)范圍，再代入全班人數(shù)的計(jì)算式子，便可得出最多的人數(shù)與最少的人數(shù)。那么這次交流會(huì)一共有多少人參與？[例3] 某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。只要同學(xué)們能夠明白每一種人的數(shù)量應(yīng)該填在哪個(gè)空位里，題目就變得非常容易了。[舉一反三]某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個(gè)班有學(xué)生多少人？六年級(jí)共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂《少年報(bào)》，有的人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，兩種刊物都訂的有多少人？森林中住著很多動(dòng)物，據(jù)說(shuō)獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計(jì)鳥的種數(shù)，蝙蝠跑去說(shuō)：“我有翅膀，我算鳥類。如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，具體公式為:A類或B類元素個(gè)數(shù)= A類元素個(gè)數(shù)+ B類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)。在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。但是，當(dāng)遇到復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，圖形還是幫助我們理解和解決問(wèn)題的一個(gè)幫手。[評(píng)注]這道題目變成了三種事件，我們?nèi)匀豢梢杂脠D形來(lái)簡(jiǎn)單的描述。那么全班一共有多少人？3， 一次中、美、俄三方的學(xué)術(shù)交流會(huì)上，有28人會(huì)說(shuō)中文，有25人會(huì)說(shuō)英文，有20人會(huì)說(shuō)俄文，有13人會(huì)說(shuō)中文和英文，有10人會(huì)說(shuō)中文和俄文，有6人會(huì)說(shuō)英文和俄文，僅有大會(huì)組織者一人三種語(yǔ)言全會(huì)。[評(píng)注]這道題目里，我們不知道三科都得滿分者的人數(shù)，也就無(wú)法直接用容斥原理來(lái)計(jì)算班里的總?cè)藬?shù)。那么這個(gè)公司最少有多少名員工，最多又有多少名呢？3， 小玉在黑板上寫下了一些數(shù)，其中每個(gè)數(shù)都至少能被5之一整除。當(dāng)然，這道題目也可以這么想：只參加跑和投擲的，就是沒有參加跳的項(xiàng)目的人數(shù)。來(lái)的50人里穿西服、打領(lǐng)帶、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打領(lǐng)帶但是沒有穿西服的有6人。[舉一反三]1， 某校五年級(jí)三班有51人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有20人。第一次達(dá)到優(yōu)秀的有10人，第二次達(dá)到優(yōu)秀的有13人，第三次達(dá)到優(yōu)秀的有15人，三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有1人。其中14人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，12人參加作文競(jìng)賽，10人參加自然競(jìng)賽，并且有4人參加數(shù)學(xué)作文兩科競(jìng)賽，有2人參加數(shù)學(xué)、自然兩科競(jìng)賽；只有1人三科競(jìng)賽都參加。5=200，能被5整除的數(shù)有200個(gè)。[舉一反三]在1到10000這10000個(gè)自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個(gè)？分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？求在1~100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？[例8]50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師的口令從左往右依次報(bào)數(shù)：3……50。但50247。報(bào)完后，老師讓所報(bào)數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報(bào)數(shù)是質(zhì)數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。問(wèn)它們蓋住的面積是多大？ [本章小結(jié)]容斥原理說(shuō)簡(jiǎn)單點(diǎn),就是從多的往下減,減過(guò)頭了在加回來(lái),加多了再減,減多了再加……,最終得到正確結(jié)果。其中手中有紅、黃、藍(lán)三種球的有6