第二十講-容斥原理(已修改)
2025-08-17 10:43 本頁面
【正文】 第二十講 容斥原理（2）[知識提要]前面講述過簡單的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相減，容斥原理作為一種計數(shù)方法，說簡單點，就是從多的往下減，減過頭了在加回來，加多了再減，減多了再加……最終得到正確結(jié)果。對于計數(shù)中容易出現(xiàn)重復(fù)的題目，我們常常采用容斥原理，去掉重復(fù)的情況。應(yīng)用于計數(shù)集合劃分有重疊，無法簡單應(yīng)用加法原理的情況下。在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，具體公式為:A類或B類元素個數(shù)= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)。如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，具體公式為:A類或B類或C類元素個數(shù)= A類元素個數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)—既是A類又是C類的元素個數(shù)—既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。有了以上的容斥原理,一些看起來頭緒很多的問題就可以比較方便地得到解決。 [經(jīng)典例題] [例1]五（1）班有學(xué)生42人，參加體育代表隊的有30人，參加文藝代表隊的25人，并且每個人都至少參加了一個隊，這個班兩隊都參加的有幾個人？[分析]我們可以畫一個圖幫助思考，畫兩個相交的圓圈:其中一個表示體育代表隊，另一個表示文藝代表隊，那么兩圓的內(nèi)部共有42人，而體育代表隊的圓中有30人，文藝代表隊的圖中有25人，但：30+25=5542，這是因為兩隊都參加的人被計算了兩次，因此5542=13，即是兩隊都參加的人數(shù)。[解答] 解：（30+25）42=13（人）答：兩隊都參加的有13人。[評注]可能有很多同學(xué)還是剛剛接觸容斥原理，所以我們用圖形來形象地描繪整個問題。當(dāng)容斥原理的題目做多了之后，很多基本的題目就不再需要一個一個的畫圖了。但是，當(dāng)遇到復(fù)雜的問題時，圖形還是幫助我們理解和解決問題的一個幫手。[舉一反三]某班學(xué)生每人家里至少有空調(diào)和電腦兩種電器中的一種，已知家中有空調(diào)的有41人，有電腦的有34人，二者都有的有27人，這個班有學(xué)生多少人？六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂《少年報》，有的人訂《數(shù)學(xué)報》，兩種刊物都訂的有多少人？森林中住著很多動物，據(jù)說獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計鳥的種數(shù)，蝙蝠跑去說：“我有翅膀，我算鳥類。”仙鶴把蝙蝠統(tǒng)計進(jìn)去了，結(jié)果得出森林中共有80種鳥類，獅子大王又派大象去統(tǒng)計獸類的種數(shù)，蝙蝠又跑去說：“我沒有羽毛，我應(yīng)該算獸類?！贝蠹矣职羊鹚銥楂F類，統(tǒng)計出森林中共有70種獸類。最后獅子大王問：森林中共有鳥類和獸類多少種？狐貍軍師聽了仙鶴和大象的統(tǒng)計結(jié)果，向獅子大王報告：“森林中鳥類與獸類共計150種?！甭犃松厦娴墓适拢埬阏f說狐貍軍師這樣統(tǒng)計對嗎？為什么，正確的答案應(yīng)該是多少種呢？ [思路拓展] [例2]在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？ [分析]：根據(jù)題意畫圖。 [解答]方法一：（人） 方法二：（人） 答：共有10個小朋友去了冷飲店。[評注]這道題目變成了三種事件，我們?nèi)匀豢梢杂脠D形來簡單的描述。只要同學(xué)們能夠明白每一種人的數(shù)量應(yīng)該填在哪個空位里，題目就變得非常容易了。同學(xué)們還要注意的一點是，最外圈的6，6，4三個數(shù)，并不是指的數(shù)字所在范圍里的人數(shù)，而是指的整個圓里（即買了某種冷飲而并非只買這種冷飲）的人數(shù)。另外，方法二里，為什么要減去12，同學(xué)們能明白嗎？[舉一反三]1， 三年級一班的同學(xué)們報名參加趣味體育運動會，比賽內(nèi)容共三項，分別是跳繩、拍球跑和踢毽子，每個人至少報了一項。報跳繩的有15人，報拍球跑的有18人，報踢毽子的有20人，同時包跳繩和拍球跑的有8人，同時報跳繩和踢毽子的有5人，沒有報了拍球跑和踢毽子，但是沒報跳繩的同學(xué)。三樣都報的有2人。那么三年級一班有多少名同學(xué)呢？2， 班里組織了一次語數(shù)外三科的小測驗，每名同學(xué)都至少有一門得滿分，但是沒有人拿到三個滿分。語文得滿分的有10人，數(shù)學(xué)得滿分的有20人，外語得滿分的有25人，語文數(shù)學(xué)都得滿分的有6人，數(shù)學(xué)外語都得滿
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