矩陣與范數—掃盲(編輯修改稿)
2025-09-01 10:36 本頁面
【文章內容簡介】 的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運 動，上 面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有一個集合，大多數還得在這個集合上 定義一些結構（關系），并不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，容納 運動是空間的本質特征。認 識到了這些，我們就可以把我們關于三維空間的認識擴展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運動（變換）。你會 發(fā)現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空 間中允許的運動形式而已。因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定了對應空間的運動。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當的給出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那么平凡的例子：，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0,x1, ...,xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i1)項的系數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。L2. 閉區(qū)間[a,b]上的n階連續(xù)可微函數的全體，構成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續(xù)函數。對于其中任何一個連續(xù)函數，根據魏 爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大于n的多項式函數，使之與該連續(xù)函數的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結為L1了。后面就不用再重 復了。所以說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空 間里任何一個對象。這里頭大有文章，因為向量表面上只是一列數，但是其實由于它的有序性，所以除了這些數本身攜帶的信息之外，還可以在每個數的對應位置上 攜帶信息。為什么在程序設計中數組最簡單，卻又威力無窮呢？根本原因就在于此。這是另一個問題了，這里就不說了。下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數的一個最根本的問題。線 性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？ 很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而 使某個對象發(fā)生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。是的，矩陣的本質是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。（chensh，說你呢?。┛墒嵌嗝从幸馑及?，向量本身不是也可以看成是n x1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數中大多數奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關系。上一篇里說“矩陣是運動的描 述”，到現在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數學系出身的網友來拍板轉。因為運動這個概念，在數學和物理里是跟微積分聯系在一起的。我 們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數學是研究常量的數學，是研究靜態(tài)的數學，高等數學是變量的數學，是研究運動的數學。大家口口相傳， 差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們人類的經驗里，運動是一個連續(xù)過程，從A點到B點，就算走得 最快的光，也是需要一個時間來逐點地經過AB之間的路徑，這就帶來了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不 了。古希臘人的數學非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜等四個悖論）搞得死去活 來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數 學是研究運動的數學”這句話的道理。不過在我這個《理解矩陣》的文章里，“運動”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運動，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個時刻在A點，經過一個“運動”，一下子就“躍遷” 到了B點，其中不需要經過A點與B點之間的任何一個點。這樣的“運動”，或者說“
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