【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ………………（1）而其群速度為 ………………（2）由（1）式和（2）：上圖中。曲線1代表，曲線2代表。由（1），由于原子的不連續(xù)性，相速度不再是常數(shù)。但當(dāng)時(shí)，為一常數(shù)。這是因?yàn)楫?dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，一個(gè)波長(zhǎng)范圍含有若干個(gè)原子，相鄰原子的位相差很小，原子的不連續(xù)效應(yīng)很小，格波接近與連續(xù)媒質(zhì)中的彈性波。由（2），格波的群速度也不等于相速度。但當(dāng)，體現(xiàn)出彈性波的特征，當(dāng)處于第一布區(qū)邊界上，即時(shí)，而，這表明波矢位于第一布里淵區(qū)邊界上的格波不能在晶體中傳播，實(shí)際上它是一種駐波。？引入這個(gè)條件后導(dǎo)致什么結(jié)果？如果晶體是無(wú)限大，的取值將會(huì)怎樣？解：由于實(shí)際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環(huán)境與體內(nèi)原子的不同，從而造成邊界處原子的振動(dòng)狀態(tài)應(yīng)該和內(nèi)部原子有所差別。考慮到邊界對(duì)內(nèi)部原子振動(dòng)狀態(tài)的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設(shè)想在一長(zhǎng)為的有限晶體邊界之外，仍然有無(wú)窮多個(gè)相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，即第個(gè)原子和第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，其中＝1，2，3…。引入這個(gè)條件后，導(dǎo)致描寫(xiě)晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶體是無(wú)限大，波矢的取值將趨于連續(xù)。？對(duì)于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振動(dòng)中的簡(jiǎn)諧振子的能量量子，它是一種玻色子，服從玻色－愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，即具有能量為的聲子平均數(shù)為對(duì)于一給定的晶體，它所對(duì)應(yīng)的聲子種類和數(shù)目不是固定不變的，而是在一定的條件下發(fā)生變化。；“聲子氣體”與真實(shí)理想氣體有何相同之處和不同之處？解：格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和動(dòng)量，但是聲子在與其它粒子相互作用時(shí)，總能量守恒，但總動(dòng)量卻不一定守恒；而光子與其它粒子相互作用時(shí)，總能量和總動(dòng)量卻都是守恒的?！奥曌託怏w”與真實(shí)理想氣體的相同之處是粒子之間都無(wú)相互作用，而不同之處是“聲子氣體”的粒子數(shù)目不守恒，但真實(shí)理想氣體的粒子數(shù)目卻是守恒的。？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出精確結(jié)果？解：我們知道晶體比熱容的一般公式為由上式可以看出，在用量子理論求晶體比熱容時(shí)，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何求角頻率的分布函數(shù)。但是對(duì)于具體的晶體來(lái)講，的計(jì)算非常復(fù)雜。為此，在愛(ài)因斯坦模型中，假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率振動(dòng)，而在德拜模型中，則以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來(lái)代表格波以求出的表達(dá)式。愛(ài)因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當(dāng)溫度趨近于零時(shí)，比熱容亦趨近于零的結(jié)果，這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。其局限性在于模型給出的是比熱容以指數(shù)形式趨近于零，快于實(shí)驗(yàn)給出的以趨近于零的結(jié)果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度成比例，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度應(yīng)視為恒定值，適用于全部溫度區(qū)間，但實(shí)際上在不同溫度下，德拜溫度是不同的。在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發(fā)，而只有長(zhǎng)聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響。而對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，晶格可以視為連續(xù)介質(zhì)，長(zhǎng)聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)，因而德拜的模型的假設(shè)基本符合事實(shí)，所以能得出精確結(jié)果。？U過(guò)程物理圖像是什么？它違背了普遍的動(dòng)量守恒定律嗎？解：聲子碰撞時(shí)，其前后的總動(dòng)量不一定守恒，而是滿足以下的關(guān)系式其中上式中的表示一倒格子矢量。對(duì)于的情況，即有，在碰撞過(guò)程中聲子的動(dòng)量沒(méi)有發(fā)生變化，這種情況稱為正規(guī)過(guò)程，或N過(guò)程，N過(guò)程只是改變了動(dòng)量的分布，而不影響熱流的方向，它對(duì)熱阻是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。對(duì)于的情況，稱為翻轉(zhuǎn)過(guò)程或U過(guò)程，： U過(guò)程物理示意圖，是向“右”的，碰撞后是向“左”的，從而破壞了熱流的方向，所以U過(guò)程對(duì)熱阻是有貢獻(xiàn)的。U過(guò)程沒(méi)有違背普遍的動(dòng)量守恒定律，因?yàn)槁曌硬皇菍?shí)物量子，所以其滿足的是準(zhǔn)動(dòng)量守恒關(guān)系。；勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)起了哪些作用？解：由于在簡(jiǎn)諧近似下，原子間相互作用能在平衡位置附近是對(duì)稱的，隨著溫度升高，原子的總能量增高，但原子間的距離的平均值不會(huì)增大，因此，簡(jiǎn)諧近似不能解釋熱膨脹現(xiàn)象。勢(shì)能的非簡(jiǎn)諧項(xiàng)在晶體的熱傳導(dǎo)和熱膨脹中起了至關(guān)重要的作用。式中是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰好等于。解：由題意可知該晶格的振動(dòng)?？倲?shù)為，試導(dǎo)出它們的狀態(tài)密度表達(dá)式。解：根據(jù)狀態(tài)密度的定義式可知 ……………………（1）其中表示在間隔內(nèi)晶格振動(dòng)模式的數(shù)目。如果在空間中，根據(jù)作出等頻率面，那么在等頻率面和之間的振動(dòng)模式的數(shù)目就是。由于晶格振動(dòng)模在空間分布是均勻的，密度為（為晶體體積），因此有 ……………………（2）將（2）式代入（1）式可得到狀態(tài)密度的一般表達(dá)式為 ……………………（3）（3）式中表示沿法線方向頻率的改變率。當(dāng)時(shí)，將之代入（3）式可得當(dāng)，將之代入（3）式可得，原子間距為，力常數(shù)交錯(cuò)為，的一維原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系。當(dāng)時(shí)，求在和處的，并粗略畫(huà)出色散關(guān)系。解：a2m 226。2226。2β1β1226。2x2n2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 在最近鄰近似和簡(jiǎn)諧近似下，第2n和第（2n+1）個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 ……………（1）當(dāng)時(shí)，上述方程組（1）可變?yōu)? ……………（2）為求格波解，令 ……………（3）將（3）式代入（2）式，可導(dǎo)出線性方程組為 ……………（4）令，從，有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 ……（5）由（5）式可解出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，： 原子間的力常數(shù)不相等的雙原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系曲線 ，第個(gè)原子與第個(gè)原子之間的力常數(shù)為；而第個(gè)原子與第個(gè)原子的力常數(shù)為。（1） 寫(xiě)出這個(gè)格子振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程；（2） 說(shuō)明這種情況也有聲學(xué)波和光學(xué)波；（3） 求時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率；（4） 求（為晶格常數(shù)）時(shí)，聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率。解：（1）此題與（11）題基本相似，在最近鄰近似和簡(jiǎn)諧近似下，同樣可以寫(xiě)出第和第個(gè)原子的動(dòng)力學(xué)方程為 ……………（1）（2）為求出方程組（1）的格波解，可令 ……………（2）于是將（2）式代入（1）式，可導(dǎo)出線性方程組為 ……………（3）令，從、有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得 ……………（4）由（4）式可解出 ……………（5）由此可知，的取值也有和之分，即存在聲學(xué)波和光學(xué)波（3）由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率（4）同樣由（5）式可知當(dāng)時(shí)，有聲學(xué)波頻率，光學(xué)波頻率，如，（1）求證： ； 。（2）畫(huà)出與的關(guān)系圖（設(shè)）。解：（1）在一維雙原子鏈中，其第個(gè)原子與第個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為 …………………（1）為解方程組（1）可令 ………………（2）將（2）式代入（1）式可得出………（3）從、有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得可解出得 ……………（4）當(dāng)（4）式中取“－”號(hào)時(shí)，有 ……………（5）∵，∴（5）式中有，那么（5）式可簡(jiǎn)化為 ∴當(dāng)（4）式中取“＋”號(hào)時(shí)，有 ……………（6）∵，∴（6）式中有，那么（6）式可簡(jiǎn)化為 ∴ （2）當(dāng)時(shí)，則（4）式可化為此時(shí)，與的關(guān)系圖，： 一維雙原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系曲線，如果。求：(1) 光學(xué)波頻率的最大值、最小值及聲學(xué)波頻率的最大值；(2) 相應(yīng)的聲子能量是多少eV?(3) 這3種聲子在300K時(shí)各有多少個(gè)？(4) 如果用電磁波激發(fā)光頻振動(dòng)，要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)在什么波段？解：(1)由于光學(xué)波頻率的最大值和最小值的計(jì)算公式分別為：上式中為約化質(zhì)量所以有： 而聲學(xué)波頻率的最大值的計(jì)算公式為： 所以有： (2)相應(yīng)的聲子能量為：(3)由于聲子屬于玻色子，服從玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，則有(4)如用電磁波來(lái)激發(fā)光頻振動(dòng)，則要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)應(yīng)滿足如下關(guān)系式：，證明在布里淵區(qū)邊界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子靜止。畫(huà)出這時(shí)原子振動(dòng)的圖像。解：設(shè)第個(gè)原子為輕原子，其質(zhì)量為，第個(gè)原子為重原子，其質(zhì)量為，則它們的運(yùn)動(dòng)方程為 …………………（1）為解方程組（1）可令 …………………（2）將（2）式代入（1）式可得出 …………………（3）從、有非零解，方程組（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得可解出得 ……………（4）令，則可求得聲學(xué)支格波頻率為，光學(xué)支格波頻率為由方程組（3）可知，在聲學(xué)支中，輕原子與重原子的振幅之比為由此可知，聲學(xué)支格波中所有輕原子靜止。而在光學(xué)支中，重原子與輕原子的振幅之比為由此可知，光學(xué)支格波中所有重原子靜止。： （a）聲學(xué)支格波原子振動(dòng)圖；（b）光學(xué)支格波原子振動(dòng)圖，當(dāng)逐漸接近和時(shí)，在第一布里淵區(qū)中，晶格振動(dòng)的色散關(guān)系如何變化？試與一維單原子鏈的色散關(guān)系比較，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。解：一維雙原子晶格的色散關(guān)系為O由上圖可以看出，當(dāng)逐漸接近時(shí)，在第一布里淵區(qū)邊界，即處，聲學(xué)波的頻率開(kāi)始增大，而光學(xué)波的頻率則開(kāi)始減小，而當(dāng)時(shí)，則聲學(xué)波的頻率和光學(xué)波的頻率在處相等，都等于。而在一維單原子鏈中，其色散關(guān)系為，由此可見(jiàn)，