【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小，可求出直線(xiàn)BA′的解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在直線(xiàn)AC的下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線(xiàn)AC的解析式，即可求得NG的長(zhǎng)與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問(wèn)題即可求得答案．【解答】解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是：x=3；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）．理由如下：∵點(diǎn)A（0，4），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=3，∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（6，4）如圖1，連接BA′交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最?。O(shè)直線(xiàn)BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，∴y=3﹣=，∴P（3，）．（3）在直線(xiàn)AC的下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線(xiàn)AC的解析式為：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），此時(shí)：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=ADNG+NGCF=NG?OC=（﹣t2+4t）5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用．　15．（2015?阜新）如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，3）．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，且S△AOP=4SBOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖b，設(shè)點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DQ⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，求線(xiàn)段DQ長(zhǎng)度的最大值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線(xiàn)段QD長(zhǎng)度的最大值．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故該拋物線(xiàn)的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，該拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴3|﹣x2﹣2x+3|=413．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1177。2．則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直線(xiàn)AC的解析式為y=x+3．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴當(dāng)x=﹣時(shí)，QD有最大值．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．　16．（2015?內(nèi)江）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（﹣，0）、點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1），連接BC．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)N為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t（﹣＜t＜2），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0時(shí)△OPN∽△COB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c，然后只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題；（2）當(dāng)﹣＜t＜2時(shí)，點(diǎn)N在x軸的上方，則NP等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=，需分﹣＜t＜0和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程，就可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax2+bx+c，由題可得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+x+1；（2）當(dāng)﹣＜t＜2時(shí)，yN＞0，∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，∴S=AB?PN=（2+）（﹣t2+t+1）=（﹣t2+t+1）=﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．①當(dāng)﹣＜t＜0時(shí)，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==﹣t，∴﹣t2+t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．∵＞0，﹣＜＜0，∴t=，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）；②當(dāng)0＜t＜2時(shí)，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==t，∴﹣t2+t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣，t4=1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，2）．綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，需要注意的是：用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)先用坐標(biāo)的絕對(duì)值表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)坐標(biāo)的正負(fù)去絕對(duì)值；解方程后要檢驗(yàn)，不符合條件的解要舍去．　17．（2015?寧德）已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3）．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式和∠ABC的度數(shù)；（3）P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）直接將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出即可；（2）首先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而利用CO，BO的長(zhǎng)求出∠ABC的度數(shù)；（3）利用∠ACB=∠PAB，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，﹣3）代入拋物線(xiàn)解析式得：，解得：，故拋物線(xiàn)解析式為：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx+d，則，解得：，故直線(xiàn)BC的解析式為：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45176。；（3）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由題意可得：PD∥OC，∴DB=DP=，∴OD=3﹣=，則P（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關(guān)鍵．　18．（2015?德陽(yáng)）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OB．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，若線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)，可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算，過(guò)E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長(zhǎng)．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng)．如果根據(jù)拋物線(xiàn)設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線(xiàn)段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時(shí)E的坐標(biāo)；（3）由P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（﹣1，m），如圖所示，過(guò)A′作A′N(xiāo)⊥對(duì)稱(chēng)軸于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對(duì)邊相等，再由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)一對(duì)直角相等，利用AAS得到△A′N(xiāo)P≌△PMA，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到A′N(xiāo)=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標(biāo)，將A′坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式中求出相應(yīng)m的值，即可確定出P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求拋物線(xiàn)解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四邊形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF，=（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a），=﹣﹣a+，=﹣（a+）2+，∴當(dāng)a=﹣時(shí)，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣，）；（3）∵拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，∴設(shè)P（﹣1，m），∵線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線(xiàn)上，①當(dāng)m≥0時(shí)，∴PA=PA1，∠APA1=90176。，如圖3，過(guò)A1作A1N⊥對(duì)稱(chēng)軸于N，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸于x軸交于點(diǎn)M，∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90176。，∴∠NA1P=∠NPA，在△A1NP與△PMA中，∴△A1NP≌△PMA，∴A1N=PM=m，PN=AM=2，∴A1（m﹣1，m+2），代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，解得：m=1，m=﹣2（舍去），②當(dāng)m＜0時(shí)，要使P2A=P2A，2，由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合，∵∠AP2A2=90176。，∴MP2=MA=2，∴P2（﹣1，﹣2），∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．　19．（2015?青海）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(yíng)（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）判斷△BCM的形狀，并說(shuō)明理由；（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】（1）已知了拋物線(xiàn)圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線(xiàn)的解析式；（2）根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，可求得△BCM三邊的長(zhǎng)，然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾股定理即可；（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標(biāo)及（2）題所得△BDC三邊的比例關(guān)系，即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求，因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與△COA相似，那么分別過(guò)A、C作線(xiàn)段AC的垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A(yíng)（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，則拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）△BCM為直角三角形，理由為：對(duì)于拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，﹣4），令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C（0，﹣3），根據(jù)勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，∵BM2=BC2+CM2，∴△BCM為直角三角形；（3）若∠APC=90176。，即P點(diǎn)和O點(diǎn)重合，如圖1，連接AC，∵∠AOC=∠MCB=90176。，且，∴Rt△AOC∽R(shí)t△MCB，∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．若P點(diǎn)在y軸上，則∠PAC=90176。，如圖2，過(guò)A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，∵Rt△CAP1∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，∴=，即=，∴點(diǎn)P1（0，）．若P點(diǎn)在x軸上，則∠PCA=90176。，如圖3，過(guò)C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，∵Rt△P2CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCM，∴=，即=，AP2=10，