【文章內(nèi)容簡介】 小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標．（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．【解答】解：（1）根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標為（3，）．理由如下：∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最?。O直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵點P的橫坐標為3，∴y=3﹣=，∴P（3，）．（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），此時：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=ADNG+NGCF=NG?OC=（﹣t2+4t）5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當t=時，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應用．　15．（2015?阜新）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標；（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題．【分析】（1）把點A、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；（2）設P點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；（3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴3|﹣x2﹣2x+3|=413．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1177。2．則符合條件的點P的坐標為：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直線AC的解析式為y=x+3．設Q點坐標為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴當x=﹣時，QD有最大值．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．　16．（2015?內(nèi)江）如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（﹣＜t＜2），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0時△OPN∽△COB，求點N的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題．【分析】（1）可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；（2）當﹣＜t＜2時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關系式；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=，需分﹣＜t＜0和0＜t＜2兩種情況討論，由PN=2PO得到關于t的方程，解這個方程，就可解決問題．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題可得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關系式為y=﹣x2+x+1；（2）當﹣＜t＜2時，yN＞0，∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，∴S=AB?PN=（2+）（﹣t2+t+1）=（﹣t2+t+1）=﹣t2+t+；（3）∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．①當﹣＜t＜0時，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==﹣t，∴﹣t2+t+1=﹣2t，整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．∵＞0，﹣＜＜0，∴t=，此時點N的坐標為（，）；②當0＜t＜2時，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==t，∴﹣t2+t+1=2t，整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣，t4=1．∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．綜上所述：點N的坐標為（，）或（1，2）．【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，需要注意的是：用點的坐標表示相關線段的長度時，應先用坐標的絕對值表示線段的長度，然后根據(jù)坐標的正負去絕對值；解方程后要檢驗，不符合條件的解要舍去．　17．（2015?寧德）已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣1，0），點C的坐標是（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù)；（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題．【分析】（1）直接將A，C點坐標代入拋物線解析式求出即可；（2）首先求出B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進而利用CO，BO的長求出∠ABC的度數(shù)；（3）利用∠ACB=∠PAB，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出BP的長，進而得出P點坐標．【解答】解：（1）將點A的坐標（﹣1，0），點C的坐標（0，﹣3）代入拋物線解析式得：，解得：，故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B點坐標為：（3，0），設直線BC的解析式為：y=kx+d，則，解得：，故直線BC的解析式為：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45176。；（3）過點P作PD⊥x軸于點D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由題意可得：PD∥OC，∴DB=DP=，∴OD=3﹣=，則P（，﹣）．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，熟練應用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解題關鍵．　18．（2015?德陽）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90176。后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題．【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標；（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（﹣1，m），如圖所示，過A′作A′N⊥對稱軸于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的對應邊相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標，將A′坐標代入拋物線解析式中求出相應m的值，即可確定出P的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）如圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四邊形BOCE=BF?EF+（OC+EF）?OF，=（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a），=﹣﹣a+，=﹣（a+）2+，∴當a=﹣時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時，點E坐標為（﹣，）；（3）∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1，點P在拋物線的對稱軸上，∴設P（﹣1，m），∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90176。后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，①當m≥0時，∴PA=PA1，∠APA1=90176。，如圖3，過A1作A1N⊥對稱軸于N，設對稱軸于x軸交于點M，∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90176。，∴∠NA1P=∠NPA，在△A1NP與△PMA中，∴△A1NP≌△PMA，∴A1N=PM=m，PN=AM=2，∴A1（m﹣1，m+2），代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，解得：m=1，m=﹣2（舍去），②當m＜0時，要使P2A=P2A，2，由圖可知A2點與B點重合，∵∠AP2A2=90176。，∴MP2=MA=2，∴P2（﹣1，﹣2），∴滿足條件的點P的坐標為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．　19．（2015?青海）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．該拋物線的頂點為M．（1）求該拋物線的解析式；（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由；（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】壓軸題．【分析】（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；（2）根據(jù)B、C、M的坐標，可求得△BCM三邊的長，然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可；（3）假設存在符合條件的P點；首先連接AC，根據(jù)A、C的坐標及（2）題所得△BDC三邊的比例關系，即可判斷出點O符合P點的要求，因此以P、A、C為頂點的三角形也必與△COA相似，那么分別過A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標軸的交點也符合點P點要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（或射影定理）求得OP的長，也就得到了點P的坐標．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得：，則拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）△BCM為直角三角形，理由為：對于拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即頂點M坐標為（1，﹣4），令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C（0，﹣3），根據(jù)勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，∵BM2=BC2+CM2，∴△BCM為直角三角形；（3）若∠APC=90176。，即P點和O點重合，如圖1，連接AC，∵∠AOC=∠MCB=90176。，且，∴Rt△AOC∽Rt△MCB，∴此時P點坐標為（0，0）．若P點在y軸上，則∠PAC=90176。，如圖2，過A作AP1⊥AC交y軸正半軸于P1，∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，∴=，即=，∴點P1（0，）．若P點在x軸上，則∠PCA=90176。，如圖3，過C作CP2⊥AC交x軸正半軸于P2，∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，∴=，即=，AP2=10，