ecc-bch-編碼-原理(編輯修改稿)
2025-08-31 22:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 China 2022/8/22 22 ?GF(pm)中，在模 p(x)運算下的擴域上， x所表示的元素是本原元。 ?例如 : 用本原多項式 p(x)=1+x+x3 來構(gòu)造GF(8)，設(shè) GF(8)上的本原元為 a, 通過將 a的冪模 p(a)得到 GF(8)上的所有元素。 a的冪 GF(8)上的元素 a0 1 a1 a a2 a2 a3 a+1 a4 a2+a a5 a2+a+1 a6 a2+1 University of Science and Technology of China 2022/8/22 23 ?定理 :設(shè) b1,b2,…,bp1為 GF(p)上的非零域元素，則 xp1+1=(x+b1)(x+b2)…(x+bp1) ?從循環(huán)碼知識我們知道，為了找到分組長度為n的循環(huán)碼的生成多項式，首先分解 xn+1,因此 xn+1可以表示為多個因子的乘積，即 xn+1=f1(x)f2(x)…fw(x) ?在擴展域 GF(pm)中， n=pm1 University of Science and Technology of China 2022/8/22 24 ?例 考慮 GF(2)和它的擴展域 GF(8)。這里p=2,m=3,對 x7+1進行分解 x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 同時我們知道， GF(8)中的非零元素為 1, a , a+1, a2, a2+1, a2+a, a2+a+1,因此我們可以寫為 x7+1=(x+1)(x+a)(x+a+1)(x+a2) (x+a2+1)(x+a2+a)(x+a2+a+1) =(x+1)[(x+a)(x+a2)(x+a2+a)] [(x+a+1)(x+a2+1)(x+a2+a+1)] 而在 GF(8)上，有 x3+x+1= (x+a)(x+a2)(x+a2+a) x3+x2+1=(x+a+1)(x+a2+1)(x+a2+a+1) University of Science and Technology of China 2022/8/22 25 極小多項式fi(x) 對應(yīng)的根 元素用 a的冪表示 x+1 1 a0 x3+x+1 a,a2和 a2+a a1,a2,a4 x3+x2+1 a+1,a2+1和 a2+a+1 a3,a6,a5 University of Science and Technology of China 2022/8/22 26 BCH碼的編碼 ?對一個分組長度 n=pm確定可糾 t個錯誤的BCH碼的生成多項式的步驟： 1. 選取一個次數(shù)為 m的素多項式并構(gòu)造 GF(pm) 2. 求 ai,i=0,1,2,…n2的極小多項式 fi(x) 3. 可糾 t個錯誤的碼的生成多項式為 g(x)=LCM[f1(x),f2(x),…,f2t(x)] 用這種方法設(shè)計的碼至少能糾 t個錯誤， 在很多情況下，這些碼能糾多于 t個錯誤?。?因此d=2t+1稱為碼的設(shè)計距離，其最小距離 d*≥ 2t+1。 注意：一旦確定了 n和 t，我們便可以確定 BCH碼的生成多項式。 University of Science and Technology of China 2022/8/22 27 ?例 考慮 GF(2)上的本原多項式 p(a)=a4+a+1，我們將以此來構(gòu)造 GF(16),設(shè) a為本原元。 GF(16)上以 a的冪表示形式的元素及它們對應(yīng)的極小多項式為： a的冪 GF(16)的元素 極小多項式 a0 1 x+1 a1 a x4+x+1 a2 a2 x4+x+1 a3 a3 x4+x3+x2+x+1 a4 a+1 x4+x+1 a5 a2+a x2+x+1 a6 a3+a2 x4+x3+x2+x+1 a7 a3+a+1 x4+x3+1 a8 a2+1 x4+x+1 a9 a3+a x4+x3+x2+x+1 a10 a2+a+1 x2+x+1 a11 a3+a2+a x4+x3+1 a12 a3+a2+a+1 x4+x3+x2+x+1 a13 a3+a2+1 x4+x3+1 a14 a3+1 x4+x3+1 University of Science and Technology of China 2022/8/22 28 ?我們希望確定糾單錯的 BCH碼的生成多項式，即 t=1且 n=15。由前面公式可知，一個 BCH碼的生成多項式由 LCM[f1(x),f2(x),…,f2t(x)]給出，利用前面的表我們可獲得極小多項式 f1(x)和 f2(x)，于是有： g(x)=LCM[f1(x),f2(x)] =LCM[(x4+x+1), (x4+x+1)] =x4+x+1 因為 deg g(x)=nk，可得 nk=4，所以 k=11,于是我們得到糾單一錯誤的 BCH(15,11)碼的生成多項式。該碼的設(shè)計距離為 d=2t+1=3，可以計算該碼的實際最小距離 d*也是 3。 University of Science and Technology of China 2022/8/22 29 如果希望糾 2個錯誤，且 n=15。則其生成多項式為 g(x)=LCM[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)] =LCM[(x4+x+1),(x4+x+1), (x4+x3+x2+x+1),(x4+x+1)] = (x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1) = x8+x7+x6+x4+1 因為 deg g(x)=nk=8，所以 k=7,于是我們得到糾2個錯誤的 BCH(15,7)碼的生成多項式。該碼的設(shè)計距離為 d=2t+1=5，可以計算該碼的實際最小距離d*也是 5。 University of Science and Technology of China 2022/8/22 30 如果希望糾 3個錯誤，且 n=15。則其生成多項式為 g(x)=LCM[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),f6(x)] = (x4+x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x2+x+1) = x10+x8+x5+x4+x2+x+1 因為 deg g(x)=nk=10，所以 k=5,于是我們得到糾 3個錯誤的 BCH(15,5)碼的生成多項式。該碼的設(shè)計距離為 d=2t+1=7，可以計算該碼的實際最小距離d*也是 7。 University of Science and Technology of China 2022/8/22 31 如果希望糾 4個錯誤，且 n=15。則其生成多項式為 g(x)=LCM[f1(x),f2(
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