【文章內(nèi)容簡介】 0≤N≤2n+11 3)浮點數(shù)的表示方法 浮點數(shù)是指小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置可以左右移動的數(shù)據(jù)，它通常被表示成 N=MRE 這里的 M被稱為浮點數(shù)的尾數(shù)， R被稱為階的基數(shù)，E 被稱為階的階碼。計算機中一般規(guī)定 R為 8或16，是一個常數(shù)，不需要在浮點數(shù)中明確表示出來。因此，要表示浮點數(shù)，一是要給出尾數(shù) M，通常用定點小數(shù)形式表示，它決定了浮點數(shù)的表示 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 精度，即可以給出的有效數(shù)字的位數(shù)；二是要給出階碼，通常用整數(shù)形式表示，它指出的是小數(shù)點在數(shù)據(jù)中的位置，決定了浮點數(shù)的表示范圍。浮點數(shù)也是有正、負(fù)的，因此也要有符號位。在計算機中，浮點數(shù)通常被表示成如下格式： n 位 m 位 1 位 M s E M 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ? 合理地選擇 m和 n的值是十分重要的，以便在總長度為 1+m+n個二進(jìn)制位表示的浮點數(shù)中，既保證有足夠大的數(shù)值范圍，又保證有所要求的數(shù)值精度。 ? 若不對浮點數(shù)的表示做出明確規(guī)定，同一個浮點數(shù)的表示就不是唯一的。為了提高數(shù)據(jù)的表示精度，也為了便于浮點數(shù)之間的運算與比較，規(guī)定計算機內(nèi)浮點數(shù)的尾數(shù)部分用純小數(shù)形式給出，而且當(dāng)尾數(shù)的值不為 0時，其絕對值應(yīng)大于或等于 ，對于不符合這一規(guī)定的浮點數(shù)，要通過修改階碼并同時左右移尾數(shù)的辦法使其變成滿足這一要求的表示形式，這種表示方式被稱為浮點數(shù)的規(guī)格化表示。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ? 當(dāng)一個浮點數(shù)的尾數(shù)為 0，不論其階碼為何值，該浮點數(shù)的值都為 0。當(dāng)階碼的值比它能表示的最小值還小時，不管其尾數(shù)為何值，計算機都把該浮點數(shù)看成零值，通常稱其為機器 0，此時浮點數(shù)的所有各位 (包括階碼位和尾數(shù)位 )都清為 0值。 ? 按 IEEE標(biāo)準(zhǔn)，常用的浮點數(shù)的格式如表 22所示。 表 22 浮點數(shù)格式的 IEEE標(biāo)準(zhǔn) 符 號 位 階 碼 尾 數(shù) 總 位 數(shù) 短浮點數(shù) 1 8 23 32 長浮點數(shù) 1 11 52 64 臨時浮點數(shù) 1 15 64 80 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 2. 二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼方案 二進(jìn)制數(shù)值數(shù)據(jù)，包括二進(jìn)制表示的定點小數(shù)、整數(shù)和浮點數(shù)。這里講的編碼方法，主要是考慮如何能方便地表示正數(shù)、零和負(fù)數(shù)，并盡可能地有利于簡化對它們實現(xiàn)算術(shù)運算用到的規(guī)則。很容易想到，數(shù)據(jù)的符號的正與負(fù)，可用一位二進(jìn)制數(shù)的 0和 1兩個狀態(tài)加以表示。數(shù)據(jù)的數(shù)值用多位二進(jìn)制數(shù)表示。最常用的編碼方法有原碼表示、補碼表示和反碼表示三種方法。為了討論的方便，通常稱表示一個數(shù)值數(shù)據(jù)的機內(nèi)編碼為機器數(shù)，而把它所代表的實際值稱為機器數(shù)的真值。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 1)定點小數(shù)的編碼方案 用定點小數(shù)引出數(shù)值的三種編碼 (原碼、補碼和反碼 )方法是最方便的。 (1)原碼表示法。用機器數(shù)的最高一位代表符號，以下各位給出數(shù)值的絕對值的表示方法。其定義為 01[]11X X XXX?? ?? ? ??原≤≤ 0例如： X=+ [X]原 =01011 X= [X]原 =11011 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 原碼具有如下性質(zhì)。 ①原碼表示中，機器數(shù)的最高位是符號位， 0代表正號， 1代表負(fù)號，以下各位是數(shù)的絕對值，即 [X]原=符號位 +|X|，小數(shù)位置是默認(rèn)的，故小數(shù)點并不表示出來。 ②原碼表示中，零有兩種表示形式，即 [+0]原 =00000 [ 0]原 =10000 原碼表示方法的優(yōu)點是，在數(shù)的真值和原碼表示之間的對應(yīng)關(guān)系很簡單，缺點是用原碼實現(xiàn)加減運算很不方便。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 (2) 補碼表示法。用機器數(shù)的最高一位代表符號，以下各位給出數(shù)值按 2取模的結(jié)果的表示方法。其定義為 01[]2 1 m od 2( 2 )X X XXX?? ?? ? ??原≤≤ 0 按 取 模例如： X=+ [X]補 =01011 X= [X]補 =10101 按補碼的定義，當(dāng) X=， [X]補 =2+X=+()=10101。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 補碼具有如下性質(zhì)。 ①在補碼表示中，機器數(shù)的最高一位是符號位， 0代表正號， 1代表負(fù)號。機器數(shù)和它的真值的關(guān)系，是 [X]補 =2 符號位 +X。 ②在補碼表示中， 0有唯一的編碼，即 [+0]補 =[0]補 =00000 假定 X=+， Y=，依據(jù)補碼的定義，則有 [X]補 =X=00000 [Y]補 =2+Y= + ==00000 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ③ 補碼表示的兩個數(shù)在進(jìn)行加法運算時，可以把符號位與數(shù)位同等處理，只要結(jié)果不超出機器能表示的數(shù)值范圍，運算后的結(jié)果按 2取模后，得到的新結(jié)果，就是本次加法運算的結(jié)果，即機器數(shù)的符號位與數(shù)值位都是正確的補碼表示，即 [X+Y]補 =[X]補 +[Y]補 mod 2 這一結(jié)論極為重要。例如： X=+， Y= 則 [X]補 =01010， [Y]補 =11011 求得： [X]補 +[Y]補 =01010+11011=100101 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 按 2取模后，符號位前邊一位上的 1不要，則最后結(jié)果為 00101，其真值為 +。符號位與數(shù)值位均正確。 又如， X1=X2=，則 [X1]補 =[X2]補=11000，那么 [X1+X2]補 =[X1]補 +[X2]補=11000+11000 =110000，按 2取模后得 10000，它的真值為 1。由此看出，用補碼表示定點小數(shù)時，它能表示 1的值。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ④ [X]補 與其真值的關(guān)系。假定 [X]補 =X0X1X2… Xn，則有 [X]補 =2X0+X，此關(guān)系對 X為正、為零和為負(fù)都是正確的。 ? X為正時， X0應(yīng)為 0， [X]補 =2 0+X=X； ? X為負(fù)時， X0應(yīng)為 1， [X]補 =2 1+X=2+X，均與補碼的定義吻合。 ? 由此又可以得到從 [X]補 求 X的關(guān)系： X=[X]補 2X0= … Xn2X0 =X0+… Xn ?當(dāng) X為正數(shù)時， X0=0，真值 X=[X]補 ； 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ?當(dāng) X為負(fù)數(shù)時， X0=1， 真值 X=1+… Xn=(… Xn)。 對補碼的數(shù)值部分求補，并加上符號即得真值。例如， [X]補 =10110，則 X的真值 =(1)=。 ⑤補碼的算術(shù)移位。將 [X]補 的符號位與數(shù)值位一起右移一次并保持原符號位的值不變，可實現(xiàn)除法功能(除以 2)，即 0 0 1 2 12 nnX X X X X X X??? ?????補 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 現(xiàn)考慮 X為正、負(fù)數(shù)兩種情況。 ? 設(shè) X=，右移一位得 ，為 X除以 2的結(jié)果。 ? 設(shè) X=， [X]補 =11010，然后按以上公式計算 [X/2]補 =11101，再按下式求真值：[X/2]=()=，說明得到的確實是除以 2的結(jié)果。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ? 為了得到一個數(shù)的補碼表示，當(dāng)然可以通過補碼的定義求得，但更簡單的辦法可以這樣做： ? 當(dāng) X≥0時， [X]補 的符號位用 0，數(shù)值位取 X的各數(shù)值位上的值，顯然，此時有 [X]補 =[X]原 。 ? 當(dāng) X0時， [X]補 的符號位用 1，將 X的各數(shù)值位取反 (0變 1， 1變 0)，再在最低位加 1，以得到 [X]補 的各數(shù)值位上的值。 (3) 變形補碼。為了判別結(jié)果是否溢出，某些機器采用了這種編碼方法，又稱模 4補碼的表示方法，其定義為 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 也就是常說的雙符號位的補碼表示。例如： X=+ [X]補 =001011 X= [X]補 =110101 按模 4補碼定義，當(dāng) X=， [X]補=4+X=+()=110101。從上式的結(jié)果可以看出，模 4補碼的表示就是在模 2補碼表示的符號位之前增加與原符號同值的另一個符號位。模 4補碼具有如下性質(zhì)。 0 1[]4 1 0XXXXX?? ????補≤≤ 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ① 絕對值小于 1的數(shù)或數(shù)值 1，補碼的兩個符號位相同， 00表示正號， 11表示負(fù)號，其數(shù)值位與其模 2補碼相同。當(dāng)符號位為 01或 10時，表示數(shù)值溢出；為 01時，表示兩個正數(shù)相加之和 ≥1的情況，通稱數(shù)值“上溢”；為 10時，表示兩個負(fù)數(shù)相加，其和小于機器所能表示的最小負(fù)數(shù)，通稱數(shù)值“下溢”。最前面的一個符號位才是真正的符號位。 ②在模 4補碼表示中，零有唯一的編碼， 即 [+0]補 =[0]補 =000000。 用模 4補碼能表示 1，即為 110000，與模 2補碼的情況非常類似。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 (4)反碼表示法。用機器數(shù)的最高一位代表符號，數(shù)值位是對負(fù)數(shù)值各位取反的表示方法。其定義為 0 1[]( 2 2 ) 1 0nXXXXX??? ?? ? ??反≤≤例如： X=+ [X]反 =01011 X= [X]反 =10100 正數(shù)的反碼與其原碼、補碼相同，負(fù)數(shù)的反碼為補碼最低位減 1。 ?反碼具有以下性質(zhì)。 二進(jìn)制數(shù)在計算機內(nèi)的表示 ① 在反碼表示中，機器數(shù)的最高位為符號位， 0代表正號， 1代表負(fù)號。其機器數(shù)和它的真值之間的關(guān)系為 [ ] [ ( 2 2 ) ] m o d ( 2 2 )nnXX ??? ? ? ?反用反碼進(jìn)行兩數(shù)相加時，若最高位有進(jìn)位，