三角函數(shù)的最值(編輯修改稿)
2024-12-17 12:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解得 a= (舍去 ). 13 20 綜上所述 a= . 3 2 4sin2xcos4xa=0 恒有實數(shù)解 , 求 a 的取值范圍 . 解法 1 從方程有解的角度考慮 . 原方程即為 : 2cos22x+2cos2x3+a=0. 令 t=cos2x, 則 |t|≤ 1, 且 2t2+2t3+a=0 恒有解 . 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 解法 2 從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮 . 問題轉(zhuǎn)化為 : “a 為何值時 , f(t)=2t2+2t+a3 的圖象與橫軸至少有一個交點的橫坐標(biāo)在 [1, 1] 內(nèi) .” ∵ f(t) 圖象的對稱軸為直線 t= , 1 2 △ =4(72a)≥ 0, 2+ 4(72a) 4 | |≤ 1, ∴ △ =4(72a)≥ 0, 2 4(72a) 4 | |≤ 1, 或 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 △ ≥ 0, ∴ f(1)≥ 0, f(1)0. f(1)≥ 0, 或 4sin2xcos4xa=0 恒有實數(shù)解 , 求 a 的取值范圍 . 解法 3 正難則反 , 從反面考慮 . ∵ f(t) 圖象的對稱軸為直線 t= , 1 2 若方程 f(t)=2t2+2t+a3=0 的兩根均在 [1, 1] 之外 , 則 7 2 當(dāng) △ =4(72a)≥ 0, 即 a≤ 時 , ∴ f(1)0. 解得 : a1. 故滿足條件的 a 的取值范圍是 [1, ]. 7 2 解法 4 從分離參數(shù)的角度考慮 . 原方程即為 : a=2cos22x2cos2x+3 7 2 =2(cos2x+ )2+ . 1 2 ∵ |cos2x|≤ 1, ∴ 1≤ a≤ . 7 2 課后練習(xí) f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值 . sin4x+cos4x+sin2xcos2x 2sin2x (sin2x+cos2x)2sin2xcos2x 22sinxcosx 解 : 由已知 f(x)= 1sin2xcos2x 2(1sinxcosx) == (1+sinxcosx) 1 2 1 2 = sin2x+ . 1 4 ∴ f(x) 的最小正周期為 ?. ∴ 當(dāng) 2x=2k?+ 即 x=k?+ (k?Z) 時 , f(x) 取最大值 。 4 ? 2 ? 3 4 ∴ 當(dāng) 2x=2k? 即 x=k? (k?Z) 時 , f(x) 取最小值 . 4 ? 2 ? 1 4 解 : 由已知當(dāng) a0 時 , bsinx+acosx=3sinx+4cosx=5sin(x+?) y=acosx+b(a, b為常數(shù) ), 若 7≤ y≤ 1, 求 bsinx+acosx 的最大值 . 解得 a=4, b=3, 此時 , a+b=1, a+b=7, (tan?= ). 4 3 當(dāng) a0 時 , bsinx+acosx=3sinx4cosx=5sin(x+?) 解得 a=4, b=3, 此時 , a+b=7, a+b=1, (tan?= ). 4 3 當(dāng) a=0 時 , 不合題意 . 綜上所述 , bsinx+acosx 的最大值為 5. 解 : y=1sin2x2asinxa=(sinx+a)2+a2a+1. 令 sinx=t, 則 y=(t+a)2+a2a+1(1≤ t≤ 1). 若 a1, 即 a1, 則當(dāng) t=1 時 , y 有最大值 y=cos2x2asinxa(a 為定值 )的最大值 M. M=(1+a)2+a2a+1=a。 若 1≤ a≤ 1, 即 1≤ a≤ 1, 則當(dāng) t=a
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