20xx年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案(編輯修改稿)
2024-08-31 18:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE， BD = AE.又因?yàn)椋?在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y－7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11．從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)．由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意． 5（甲）．D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大．5（乙）．C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變．設(shè)經(jīng)過(guò)99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得 ，．二、填空題6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.解得 7＜x≤19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7＜x≤19時(shí)，≤487 ≤487，故x的取值范圍是7＜x≤19．6（乙）.7解：在兩邊乘以得即7（甲）．8解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知△∽△，所以 ，由此得，所以.在Rt△ABF中，因?yàn)?，所以，于? .由題設(shè)可知△ADE≌△BAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因?yàn)?，所?7（乙）. 解：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則．因?yàn)?，所以，．?（甲）．解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0． 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==．8（乙）.1610解：因此，所以，因此所以共有2012402=1610個(gè)數(shù)9（甲）．8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0≤b≤43. 又 ，所以. 于是 0≤≤43，87≤≤130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不合題設(shè).故．9（乙）.解：依題意得：，所以，代入（2）得，兩
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