【文章內(nèi)容簡介】 (t ) + ∫ i (t )dt = ui (t ) dt C 1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C duo (t ) i (t ) = C dt 消去中間變量i(t),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微 ),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微 分方程為 d 2uo (t ) duo (t ) LC + RC + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt (2(21) 假定R 假定R、L、C都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分 都是常數(shù)， 方程,也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學模型。 方程,也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學模型。 它描述了該電路在輸入電壓 ui 的變化規(guī)律。 兩端電壓 uc 的變化規(guī)律。 的作用下，電容 的作用下， 機械位移系統(tǒng) 例2 圖22a)所示為彈簧、 所示為彈簧、 質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。 質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。描述外力 F(t)和質(zhì)量塊 的位移y F(t)和質(zhì)量塊m的位移y（t） 和質(zhì)量塊m 之間的關(guān)系。 之間的關(guān)系。 上受力情況如圖示 質(zhì)量 m 上受力情況如圖示。 根據(jù)牛頓第二運動定律有： 根據(jù)牛頓第二運動定律有： d 2 x (t ) F (t ) ? F1 (t ) ? F2 (t ) = m dt 2 F(t) F2(t) F(t) m f a) 圖22 x(t) K m x(t) F1(t) b) 機械位移系統(tǒng) 式中: 式中: ——阻尼器阻力 其大小與運動速度成正比， 阻尼器阻力。 F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向與運動方 向相反， 向相反，阻尼系數(shù)為f，即： F1 (t ) = f dx (t ) dt F2 (t ) ——彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有： ——彈簧力 設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有： 彈簧力。 F2 (t ) = Kx (t ) ——彈簧剛度 K——彈簧剛度 d 2 x(t ) F (t ) ? F1 (t ) ? F2 (t ) = m dt 2 dx (t ) F1 (t ) = f dt F2 (t ) = Kx (t ) F(t) F2(t) F(t) m f a) 圖22 x(t) K m x(t) F1(t) 聯(lián)立以上三式并整理得： 聯(lián)立以上三式并整理得： d 2 x (t ) dx (t ) m +f + Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt b) 機械位移系統(tǒng) 假定m 假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。 均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。 比較上面兩個微分方程 d 2uo (t ) du (t ) LC + RC o + uo (t ) = ui (t ) dt 2 dt d 2 x(t ) dx(t ) +f + Kx(t ) = F (t ) m 2 dt dt 物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng),可以具有相同形式的數(shù)學模型。 物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng),可以具有相同形式的數(shù)學模型。 前述的RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧 質(zhì)量無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧前述的RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧質(zhì)量阻尼器機械系統(tǒng)的數(shù)學 模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng) 相似系統(tǒng). 模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng). 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系，利用 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系， 它可以 (1) 用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復雜系統(tǒng)。 用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復雜系統(tǒng)。 (2) 為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ). 為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ). (3) 二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng). 二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng). 有上面兩個例子可以看出，用分析法建立數(shù)學模型時， 有上面兩個例子可以看出，用分析法建立數(shù)學模型時， 對于對象中所出現(xiàn)的物理過程或化學過程， 對于對象中所出現(xiàn)的物理過程或化學過程，需要十分詳 盡的了解，所得到的數(shù)學模型稱為機理模型 機理模型。 盡的了解，所得到的數(shù)學模型稱為機理模型。 綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下： 綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下： 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確 根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用， 定其輸入量和輸出量； 定其輸入量和輸出量； 分析元件工作中所遵循的物理或化學規(guī)律，列寫相 分析元件工作中所遵循的物理或化學規(guī)律， 應的微分方程； 應的微分方程； 消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微 消去中間變量， 分方程，便是元件時域的數(shù)學模型。 分方程，便是元件時域的數(shù)學模型。 一般應將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關(guān) 一般應將微分方程寫為標準形式， 的項寫在方程的右端， 的項寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的 左端，方程兩端變量的導數(shù)項均按降冪排列。 左端，方程兩端變量的導數(shù)項均按降冪排列。 有些復雜對象，人們對其規(guī)律的認識還很不清楚，或者其 有些復雜對象，人們對其規(guī)律的認識還很不清楚， 中重要的參數(shù)不能準確的確定。 中重要的參數(shù)不能準確的確定。這種情況下機理模型事實 上很難推導出來，只能采用試驗法加以確定。 試驗法加以確定 上很難推導出來，只能采用試驗法加以確定。 而試驗法所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性，對 試驗法所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性 所得到的模型只反映輸入輸出之間的特性， 系統(tǒng)的內(nèi)在信息反映不出來。 系統(tǒng)的內(nèi)在信息反映不出來。 由于分析法 由于分析法可以彌補試驗法所得的模型在反映內(nèi)在機理 分析法可以彌補試驗法所得的模型在反映內(nèi)在機理 方面的不足。在條件許可的條件下， 方面的不足。在條件許可的條件下，應該同時用試驗法 和分析法建模， 和分析法建模，以互相補充 第三節(jié)自動控制系統(tǒng)的分類 一、控制系統(tǒng)的分類 開環(huán)控制 反饋控制 復合控制 機械系統(tǒng) 電氣系統(tǒng) 機電系統(tǒng) 液壓系統(tǒng) 氣動系統(tǒng) 生物系統(tǒng) 閉環(huán)控制 溫度控制系統(tǒng) 壓力控制系統(tǒng) 張力控制系統(tǒng) 線性控制系統(tǒng) 非線性控制系統(tǒng) 恒值控制系統(tǒng) 隨動系統(tǒng) 程序控制系統(tǒng) 律主要可分為 二、線性控制系統(tǒng) 線性控制系統(tǒng)：組成控制系統(tǒng)的元件都具有線性特性。 線性控制系統(tǒng)：組成控制系統(tǒng)的元件都具有線性特性。 線性系統(tǒng)具有齊次性和使用疊加原理。 線性系統(tǒng)具有齊次性和使用疊加原理。 1. 線性連續(xù)控制系統(tǒng) 這類系統(tǒng)可以用線性微分方程式描述, 這類系統(tǒng)可以用線性微分方程式描述,其一般形式為 dn d n ?1 d a0 n c(t ) + a1 n ?1 c(t ) + L + an ?1 c(t ) + an c(t ) dt dt dt dm d m ?1 d = b0 m r (t ) + b1 m ?1 r (t ) + L + bm ?1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt 式中, 式中,c(t)是被控量,r(t),a1,…,an； 是被控量, 是輸入量. 定常系統(tǒng)。 是常數(shù)時,稱為定常系統(tǒng) b0,b1,…,bm是常數(shù)時,稱為定常系統(tǒng)。系數(shù)a0,a1,…,an； 時變系統(tǒng). 隨時間t變化時,稱為時變系統(tǒng) b0,b1,…,bm隨時間t變化時,稱為時變系統(tǒng). 2. 線性定常離散系統(tǒng) 離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)碼形 離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)碼形 因而信號在時間上是離散的，連續(xù)信號經(jīng)采樣 采樣轉(zhuǎn)換成離散 式,因而信號在時間上是離散的，連續(xù)信號經(jīng)采樣轉(zhuǎn)換成離散 信號。 信號。 離散系統(tǒng)一般要用差分方程來描述. 式為 a0c( k + n ) + a1c( k + n ? 1) + L + an ?1c( k + 1) + an c( k ) = b0 r ( k + m) + b1r ( k + m ? 1) + L + bm ?1r ( k + 1) + bm r (k ) 式中, 式中, m≤n, n為差分方程的次數(shù),a0,a1,…,an；b0,b1,…,bm 為差分方程的次數(shù), 為常系數(shù), 分別為輸入和輸出采樣序列. 為常系數(shù),r(k),c(k)分別為輸入和輸出采樣序列. 工業(yè)計算機控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)，如前述的爐 工業(yè)計算機控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)， 溫微機控制系統(tǒng)等。 溫微機控制系統(tǒng)等。 三、非線性控制系統(tǒng) 系統(tǒng)中只要有一個元部件的輸入輸出特性是非線性的, 系統(tǒng)中只要有一個元部件的輸入輸出特性是非線性的, ,要用非線性微分(或差分) ,要用非線性微分(或差分) 方程來描述其特性. 方程來描述其特性. 非線性方程的特點是系數(shù)與變量有關(guān) 或者方程中含有變 非線性方程的特點是系數(shù)與變量有關(guān),或者方程中含有變 系數(shù)與變量有關(guān), 量及其導數(shù)的高次冪或乘積項, 量及其導數(shù)的高次冪或乘積項,例如 amp。amp。(t ) + y(t ) y(t ) + y2 (t ) = r(t ) amp。 y 嚴格地說,實際的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng). 嚴格地說, 度不太嚴重的元部件,可采用在一定范圍內(nèi)線性化的方法, 度不太嚴重的元部件,可采用在一定范圍內(nèi)線性化的方法,從而將 非線性系統(tǒng)近似為線性控制系統(tǒng). 非線性系統(tǒng)近似為線性控制系統(tǒng). 由于非線性方程在數(shù)學處理上較困難, 由于非線性方程在數(shù)學處理上較困難,目前對不同類型的 非線性系統(tǒng)的研究還沒有統(tǒng)一的方法. 非線性系統(tǒng)的研究還沒有統(tǒng)一的方法. 四、按系統(tǒng)參考輸入信號的變化規(guī)律不同，控制系統(tǒng)可分為 按系統(tǒng)參考輸入信號的變化規(guī)律不同， 恒值控制系統(tǒng) 隨動系統(tǒng) 程序控制系統(tǒng). 程序控制系統(tǒng). ⑴ 恒值控制系統(tǒng) 輸入信號是恒定常值，被控量也是一個與之對應的常值， 輸入信號是恒定常值，被控量也是一個與之對應的常值， 當外界有擾動時，系統(tǒng)要求被控量保持為一個恒定的希望值。 當外界有擾動時，系統(tǒng)要求被控量保持為一個恒定的希望值。 在生產(chǎn)過程中，這類系統(tǒng)非常多， 在生產(chǎn)過程中，這類系統(tǒng)非常多，如船舶上的航向保持自動操 舵儀、冶金部門的恒溫系統(tǒng)等。 舵儀、冶金部門的恒溫系統(tǒng)等。 由于這類系統(tǒng)能夠自動地消除或削弱各種擾動對被控制量 地影響，因此又稱為自鎮(zhèn)定系統(tǒng) 地影響，因此又稱為自鎮(zhèn)定系統(tǒng) ⑵ 隨動系統(tǒng) 輸入信號是時間的任意函數(shù)，其變化規(guī)律事先不知道。系 輸入信號是時間的任意函數(shù)，其變化規(guī)律事先不知道。 統(tǒng)要求輸出量以盡可能小的誤差跟隨輸入信號的變化。 統(tǒng)要求輸出量以盡可能小的誤差跟隨輸入信號的變化。系統(tǒng)分 設(shè)計的重點是研究被控量跟隨的快速性和準確性。例如， 析、設(shè)計的重點是研究被控量跟隨的快速性和準確性。例如， 火炮系統(tǒng)，衛(wèi)星控制系統(tǒng)等。 火炮系統(tǒng)，衛(wèi)星控制系統(tǒng)等。 ⑶程序控制系統(tǒng) 這類控制系統(tǒng)的輸入信號是按預定規(guī)律隨時間變化的函數(shù), 這類控制系統(tǒng)的輸入信號是按預定規(guī)律隨時間變化的函數(shù), 要求被控量迅速、 要求被控量迅速、煉鋼爐中的微機控制 系統(tǒng)，洲際彈道導彈的程序控制系統(tǒng)， 系統(tǒng)，洲際彈道導彈的程序控制系統(tǒng)，機械加工使用的數(shù)字程 序控制機床 程序控制系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)的參據(jù)量都是時間函數(shù)，不同 程序控制系統(tǒng)和隨動系統(tǒng)的參據(jù)量都是時間函數(shù)， 之處在于前者是已知的時間函數(shù)， 之處在于前者是已知的時間函數(shù)，后者則是未知的任意時間函 而恒值控制系統(tǒng)也可視為程序控制系統(tǒng)的特例。 數(shù)，而恒值控制系統(tǒng)也可視為程序控制系統(tǒng)的特例。 第四節(jié) 自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和方塊圖 微分方程式是描述線性系統(tǒng)運動的一種基本形式的 數(shù)學模型。通過對它求解， 數(shù)學模型。通過對它求解，就可以得到系統(tǒng)在給定輸入 信號作用下的輸出響應。 信號作用下的輸出響應。 然而用微分方程式表示系統(tǒng)的數(shù)學模型在實際應用中 會有如下的問題： 會有如下的問題： 1）微分方程式的階次越高，求解難度就越大，且計算工 微分方程式的階次越高，求解難度就越大， 作量大大增加。 作量大大增加。 2）對于控制系統(tǒng)的分析，不僅要了解它在給定信號下的 對于控制系統(tǒng)的分析， 輸出響應，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、 輸出響應，而且更重視系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及其性能間的 關(guān)系。對于后者的要求，顯然用微分方程去描述難以實 關(guān)系。對于后者的要求， 現(xiàn) 在控制工程中， 在控制工程中，一般并不需要精確的求出系統(tǒng)微分方程 的解，作出它的輸出響應曲線， 的解 ， 作出它的輸出響應曲線 ， 而是希望用簡單的方法了 解系統(tǒng)是否穩(wěn)定和其動態(tài)性能， 解系統(tǒng)是否穩(wěn)定和其動態(tài)性能 ， 以及當系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù) 變化對系統(tǒng)性能會產(chǎn)生怎樣的影響 由此可引入控制系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型 傳遞函數(shù). 由此可引入控制系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型—傳遞函數(shù). 數(shù)學模型— 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。 傳遞函數(shù)在線性系統(tǒng)中一般定義為經(jīng)過某種變換后， 傳遞函數(shù)在線性系統(tǒng)中一般定義為經(jīng)過某種變換后， 系統(tǒng)的輸出量和輸入量之比 在線性定常系統(tǒng)中一般通過拉普拉斯變換來計算傳遞函 在線性定常系統(tǒng)中一般通過拉普拉斯變換來計算傳遞函 拉普拉斯變換來計算 簡化微分方程的求解 的求解。 數(shù)和簡化微分方程的求解。 一、拉普拉斯(Laplace)變換 拉普拉斯(Laplace) (Laplace)變換 ⑴ 定義： 定義： 設(shè)函數(shù)f(t)當t ≥0時,f(t)有定義，且積 ≥0時 有定義， 分 ∞ (2(211) F (s) = f (t )e ? st dt (s是一個復參量 是一個復參量) (s是一個復參量) ∫ 0 在s的某一域內(nèi)收斂,則稱F(s)為f(t) 的拉氏變換， 的某一域內(nèi)收斂, (s)為 的拉氏變換， (s)又稱為象函數(shù) 又稱為象函數(shù)， 記作F(s)=L[f(t)] , F(s)又稱為象函數(shù)， f(t)稱為 原函數(shù)。 原函數(shù)。 若F(s)是f(t) 的拉