【正文】 a1s n ?1 + L + an ?1s + an ?1 例28 試求例21 RLC無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) 試求例2 RLC無源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) R ui(t) L i(t) C 解: 該網(wǎng)絡微分方程已求出,如式(21) 該網(wǎng)絡微分方程已求出,如式(2uo(t) d2uo (t) duo (t) LC 2 + RC +uo (t) = ui (t) dt dt 返回 在零初始條件下,對上式進行拉氏變換, 在零初始條件下,對上式進行拉氏變換,令Uo(s)=L[uo(t)], Ui(s)=L[ui(t)]得 (t)]得 ( LCs 2 + RCs + 1)U o ( s ) = U i ( s ) (218) (2 由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡傳遞函數(shù)為 U o ( s) 1 G ( s) = = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1 (219) (2 ⑵ 性質(zhì) ① 傳遞函數(shù)是復變量 s 的有理真分式函數(shù),具有復變函 的有理真分式函數(shù), 數(shù)的所有性質(zhì). m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù) 且所有系數(shù)均為實數(shù). 數(shù)的所有性質(zhì). 有m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù). ② 傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表 示輸出量與輸入量之間關系的表達式, 示輸出量與輸入量之間關系的表達式, R(s) 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構和參數(shù), 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構和參數(shù), G(s) C(s) 而與輸入量的形式無關, 而與輸入量的形式無關,也不反映系統(tǒng) ,可以用圖2 ,可以用圖25的 圖25 傳遞函數(shù)的圖示 方塊圖表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的 方塊圖表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的 線性系統(tǒng). 線性系統(tǒng). ③ ，若 ， 將微分方程的算符d/dt 置換便得到傳遞函數(shù)。 將微分方程的算符d/dt 用復數(shù) s 置換便得到傳遞函數(shù)。反之 亦可. 亦可. ④ 傳遞函數(shù) G(s) 的拉氏反變換是脈沖響應 g(t) . 脈沖響應 g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 δ (t ) 輸入時的輸出響應,此時, R ( s ) = L[δ (t )] 輸入時的輸出響應,此時, = 1 , 故有 g (t ) = L?1 [C ( s )] = L?1 [R ( s )G ( s )] = L?1 [G ( s )] . ⑶ 物理意義 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的, 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條 件有兩方面的含義: 件有兩方面的含義: 輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng) 因此在t=0輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng),因此在t=0時輸入量 時才作用于系統(tǒng), 及其各階導數(shù)均為零 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài), 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸 出量及其各階導數(shù)在t=0時的值也為零. 出量及其各階導數(shù)在t= 制系統(tǒng)多屬此類情況. 制系統(tǒng)多屬此類情況. 2. 控制系統(tǒng)的結(jié)構圖 方框圖 控制系統(tǒng)的結(jié)構圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳 控制系統(tǒng)的結(jié)構圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳 遞關系的數(shù)學圖形, 遞關系的數(shù)學圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果 關系以及對各變量所進行的運算, 關系以及對各變量所進行的運算,是控制理論中描述復雜 系統(tǒng)的一種簡便方法. 系統(tǒng)的一種簡便方法. 1 結(jié)構圖的組成和繪制 控制系統(tǒng)的結(jié)構圖是由許多對信號進行單向運算的方框和一 些信號流向線組成,它包含四種基本單元: 些信號流向線組成,它包含四種基本單元: 圖 結(jié)構圖的基本組成單元 圖 結(jié)構圖的基本組成單元 ⑴ 信號線 . 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的流向,在直線旁 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的流向, 標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如上圖(a)。 標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如上圖(a)。 ⑵ 引出點(測量點) . 表示信號引出或測量的位置,從同一位 引出點(測量點) 表示信號引出或測量的位置, 置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，如上圖(b)。 置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，如上圖(b)。 比較點(綜合點) 對兩個以上的信號進行加減運算, ⑶ 比較點(綜合點) . 對兩個以上的信號進行加減運算, “+”號 表示相加， 號表示相減， +”號可省略 號可省略， 上圖c)。 表示相加，“”號表示相減，“+”號可省略，如圖 上圖c)。 ⑷ 方框(環(huán)節(jié)) . 對信號進行的數(shù)學變換, 框內(nèi)為元部件或系統(tǒng) 方框(環(huán)節(jié)) 對信號進行的數(shù)學變換, 的傳遞函數(shù),如圖2 12(d).方框可視作單向運算的算子 方框可視作單向運算的算子， 的傳遞函數(shù),如圖212(d).方框可視作單向運算的算子，方框的 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 幾種典型部件的傳遞函數(shù) 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） U（S） C（S） K U（S） C（S） 微分環(huán)節(jié) TS U（S） C（S） 積分環(huán)節(jié) 1/TS U（S） C（S） 二階環(huán)節(jié) K/T2s2＋2ξTs＋1 Ts＋ 繪制系統(tǒng)結(jié)構圖的步驟 ， 1. 考慮負載效應分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)， 考慮負載效應分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù) 并將它們用方框表示 ， 2. 根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接 根據(jù)各元部件的信號流向 便得到系統(tǒng)的結(jié)構圖。 便得到系統(tǒng)的結(jié)構圖。 結(jié)構圖上可以用方框進行數(shù)學運算， 結(jié)構圖上可以用方框進行數(shù)學運算，也可以直觀了 解各元部件的相互關系及其在系統(tǒng)中所起的作用。 解各元部件的相互關系及其在系統(tǒng)中所起的作用。而 從系統(tǒng)結(jié)構圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 且，從系統(tǒng)結(jié)構圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 所以系統(tǒng)結(jié)構圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型 系統(tǒng)結(jié)構圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。 所以系統(tǒng)結(jié)構圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。 例210 繪制如圖213所示 RC 無源網(wǎng)絡的結(jié)構圖 繪制如圖2 13所示 解 將無源網(wǎng)絡視為一個系 統(tǒng)，組成網(wǎng)絡的元件就對應于 系統(tǒng)的元部件。 系統(tǒng)的元部件。設電路中各變 量如圖中所示， 量如圖中所示，應用復阻抗概 念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以 下方程： 下方程： 圖213 RC無源網(wǎng)絡 RC無源網(wǎng)絡 按照這些方程可分別繪制 相應元件的方框圖如圖2 相應元件的方框圖如圖214(a) (d)所示。然后用信號 (d)所示 所示。 線按信號流向依次將各方框 連接起來， 連接起來，便得到無源網(wǎng)絡 的結(jié)構圖，見圖214(e). 的結(jié)構圖，見圖2 圖214 RC無源網(wǎng)絡結(jié)構圖 無源網(wǎng)絡結(jié)構圖 方框圖的特點 ①方框圖是從實際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學模型，不代表實際的 方框圖是從實際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學模型， 物理結(jié)構。 系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源， 物理結(jié)構 。 系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源 ， 如有源 網(wǎng)絡和無源網(wǎng)絡等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。 網(wǎng)絡和無源網(wǎng)絡等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關系， ② 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關系 ， 以及信號的流向和每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響。 更直觀、 以及信號的流向和每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響 。 更直觀 、 更 形象是針對系統(tǒng)的微分方程而言的。 形象是針對系統(tǒng)的微分方程而言的。 方框圖的流向是單向不可逆的。 ③方框圖的流向是單向不可逆的。 方框圖不唯一。由于研究角度不一樣， ④方框圖不唯一。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來 就不一樣，方框圖也就不一樣。 就不一樣，方框圖也就不一樣。 研究方便。對于一個復雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖， ⑤研究方便。對于一個復雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖，通 過方框圖簡化，不難求得系統(tǒng)的輸入、 輸出關系， 過方框圖簡化 ， 不難求得系統(tǒng)的輸入 、 輸出關系 ， 在此基礎 無論是研究整個系統(tǒng)的性能， 上 ， 無論是研究整個系統(tǒng)的性能 ， 還是評價每一個環(huán)節(jié)的作 用都是很方便的。 用都是很方便的。 第五節(jié) 對自動控制系統(tǒng)的一般要求 由于控制系統(tǒng)中固有誤差量的存在和系統(tǒng)存在一定 的響應時間，因此對于控制系統(tǒng)的設計， 的響應時間，因此對于控制系統(tǒng)的設計，只能要求在 盡可能范圍內(nèi)盡量滿足其技術上的要求。 盡可能范圍內(nèi)盡量滿足其技術上的要求。 控制系統(tǒng)的性能一般要求從一下三個方面來評價 ⑴ 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的要求。所謂系統(tǒng)穩(wěn)定， 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的要求。所謂系統(tǒng)穩(wěn)定， 就是當系統(tǒng)受到擾動的作用后， 就是當系統(tǒng)受到擾動的作用后，系統(tǒng)的被控制量雖然偏 離的原有的平衡狀態(tài)，但當擾動撤離， 離的原有的平衡狀態(tài)，但當擾動撤離，經(jīng)過一定長的時 間后，如果系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)， 間后，如果系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是 穩(wěn)定的。 穩(wěn)定的。 ⑵ 快速性 控制系統(tǒng)不僅要穩(wěn)定, 控制系統(tǒng)不僅要穩(wěn)定,還必須對其過渡過程的形式 和快慢提出要求,一般稱為動態(tài)性能 動態(tài)性能, 和快慢提出要求,一般稱為動態(tài)性能, 如對于穩(wěn)定的高 射炮射角隨動系統(tǒng)，雖炮身最終能跟蹤目標， 射炮射角隨動系統(tǒng)，雖炮身最終能跟蹤目標，但若目標 變動迅速，而炮身跟蹤目標所需過渡過程時間過長， 變動迅速，而炮身跟蹤目標所需過渡過程時間過長，就 不可能擊中目標。 不可能擊中目標。 動態(tài)性能指標 過渡過程時間 過渡過程時間ts 12 s2+2s+12 Step1 單位階躍響應 仿真MATLAB MATLAB模型 仿真MATLAB模型 系統(tǒng)達到給定允許誤差區(qū)， 系統(tǒng)達到給定允許誤差區(qū) ， 并從此不再超越此區(qū) ， 所需 的時間 。 這個指標反映系統(tǒng) 的慣性，即響應速度。 的慣性，即響應速度。 ?上升時間 tr 上升時間 從原始狀態(tài)開始， 從原始狀態(tài)開始 ， 第一次達 到穩(wěn)態(tài)值所需的時間， 到穩(wěn)態(tài)值所需的時間， MP 超調(diào)量 MP 它是說明系統(tǒng)阻尼性即振蕩 性的 ， 阻尼大則振蕩小 。 對 于穩(wěn)定系統(tǒng)而言 ， 第一次超 調(diào)量為輸出最大超調(diào)量 ， 取 其為性能指標之一。 其為性能指標之一。 系統(tǒng)振蕩次數(shù)N 系統(tǒng)振蕩次數(shù) 它是指在過渡時間內(nèi) ， 輸出 量在系統(tǒng)上下擺動的次數(shù) 。 則阻尼性好。 振蕩的次數(shù)小 ， 則阻尼性好 。 Scope out 仿真輸出 MP +△ 1 +△ 1 △ 1 0 0 tr tp 1 2 ts 3 4 5 ⑶ 準確性 理想情況下,當過渡過程結(jié)束后, 理想情況下,當過渡過程結(jié)束后,被控量達到的穩(wěn)態(tài) 即平衡狀態(tài)), 值(即平衡狀態(tài)),由于系統(tǒng)結(jié) 外作用形式以及摩擦、間隙等非線性因素的影響, 構、外作用形式以及摩擦、間隙等非線性因素的影響,被 控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間會有誤差存在,稱為穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差. 控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間會有誤差存在,稱為穩(wěn)態(tài)誤差. 它是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標志, 它是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標志,在技術指標中一 般都有具體要求. 般都有具體要求. 對控制系統(tǒng)的要求，可歸結(jié)為穩(wěn)定性好，動作快（即快速 對控制系統(tǒng)的要求，可歸結(jié)為穩(wěn)定性好，動作快（ 穩(wěn)定性好 性好）、準確性高。 性好）、準確性高。 ）、準確性高 第三章 自動控制系統(tǒng)的狀態(tài)分析 隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，不僅需要關心系統(tǒng)輸出 隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展， 的變化情況， 的變化情況，而且對系統(tǒng)內(nèi)部的一些變量也要進行一些 研究，以便設計系統(tǒng)的結(jié)構和參量達到最優(yōu)控制。 研究，以便設計系統(tǒng)的結(jié)構和參量達到最優(yōu)控制。這就 需要使用以系統(tǒng)內(nèi)部變量為基礎的狀態(tài)變量分析法 狀態(tài)變量分析法。 需要使用以系統(tǒng)內(nèi)部變量為基礎的狀態(tài)變量分析法。 補充知識：矩陣計算 補充知識： 如果有n個量x1，x2，……，xn，它可以是數(shù)， 如果有n個量x1，x2，……，xn，它可以是數(shù)，也可以是 變量或函數(shù)（實的或復的），這些量可以排成一列， ），這些量可以排成一列 變量或函數(shù)（實的或復的），這些量可以排成一列，稱為 x1 ? ?x ? x = ? 2? ?M? ? ? ? xn ? 為n維列向量，其中xi稱為該向量的分量。 維列向量，其中xi稱為該向量的分量 稱為該向量的分量。 對應于每個n維列矢量x 它可以得到它的轉(zhuǎn)置， 對應于每個n維列矢量x，它可以得到它的轉(zhuǎn)置，用xT表示 x = [ x1 T x2 L xn ] 矩陣是把m 矩陣是把mn個標量aij排列成陣列，簡記為A 個標量aij排列成陣列 簡記為A 排列成陣列， A = ? aij ? ? ? mn a11 ?a ? 21 = ? M ? ? am1 a12 L a1n ? ? a22 L a2 n ? M M ? ? am 2 L amn ? 將A的行列互換，所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT 的行列互換，所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A a11 ?a T ? 12 A = ? M ? ? a1n a21 L am1 ? ? a22 L am 2 ? M M ? ? a2 n L amn ? 設有行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個矩陣A=[a 設有行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個矩陣A=[aij]mn和B ＝[bij]mn 若有 aij = bij 則 A= B cij = aij + bij A + B = C = [cij ]mn B = α A = [bij ]mn bij