【正文】 a1s n ?1 + L + an ?1s + an ?1 例28 試求例21 RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) 試求例2 RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) R ui(t) L i(t) C 解: 該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(21) 該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(2uo(t) d2uo (t) duo (t) LC 2 + RC +uo (t) = ui (t) dt dt 返回 在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換, 在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換,令Uo(s)=L[uo(t)], Ui(s)=L[ui(t)]得 (t)]得 ( LCs 2 + RCs + 1)U o ( s ) = U i ( s ) (218) (2 由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為 U o ( s) 1 G ( s) = = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1 (219) (2 ⑵ 性質(zhì) ① 傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函 的有理真分式函數(shù), 數(shù)的所有性質(zhì). m≤n且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù) 且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù). 數(shù)的所有性質(zhì). 有m≤n且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù). ② 傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表 示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式, 示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式, R(s) 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù), 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù), G(s) C(s) 而與輸入量的形式無關(guān), 而與輸入量的形式無關(guān),也不反映系統(tǒng) ,可以用圖2 ,可以用圖25的 圖25 傳遞函數(shù)的圖示 方塊圖表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的 方塊圖表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的 線性系統(tǒng). 線性系統(tǒng). ③ ，若 ， 將微分方程的算符d/dt 置換便得到傳遞函數(shù)。 將微分方程的算符d/dt 用復(fù)數(shù) s 置換便得到傳遞函數(shù)。反之 亦可. 亦可. ④ 傳遞函數(shù) G(s) 的拉氏反變換是脈沖響應(yīng) g(t) . 脈沖響應(yīng) g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 δ (t ) 輸入時(shí)的輸出響應(yīng),此時(shí), R ( s ) = L[δ (t )] 輸入時(shí)的輸出響應(yīng),此時(shí), = 1 , 故有 g (t ) = L?1 [C ( s )] = L?1 [R ( s )G ( s )] = L?1 [G ( s )] . ⑶ 物理意義 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的, 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條 件有兩方面的含義: 件有兩方面的含義: 輸入量是在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng) 因此在t=0輸入量是在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng),因此在t=0時(shí)輸入量 時(shí)才作用于系統(tǒng), 及其各階導(dǎo)數(shù)均為零 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài), 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸 出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零. 出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t= 制系統(tǒng)多屬此類情況. 制系統(tǒng)多屬此類情況. 2. 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 方框圖 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳 遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形, 遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果 關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算, 關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算,是控制理論中描述復(fù)雜 系統(tǒng)的一種簡便方法. 系統(tǒng)的一種簡便方法. 1 結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一 些信號(hào)流向線組成,它包含四種基本單元: 些信號(hào)流向線組成,它包含四種基本單元: 圖 結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元 圖 結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元 ⑴ 信號(hào)線 . 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向,在直線旁 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向, 標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)，如上圖(a)。 標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)，如上圖(a)。 ⑵ 引出點(diǎn)(測量點(diǎn)) . 表示信號(hào)引出或測量的位置,從同一位 引出點(diǎn)(測量點(diǎn)) 表示信號(hào)引出或測量的位置, 置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，如上圖(b)。 置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，如上圖(b)。 比較點(diǎn)(綜合點(diǎn)) 對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算, ⑶ 比較點(diǎn)(綜合點(diǎn)) . 對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算, “+”號(hào) 表示相加， 號(hào)表示相減， +”號(hào)可省略 號(hào)可省略， 上圖c)。 表示相加，“”號(hào)表示相減，“+”號(hào)可省略，如圖 上圖c)。 ⑷ 方框(環(huán)節(jié)) . 對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換, 框內(nèi)為元部件或系統(tǒng) 方框(環(huán)節(jié)) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換, 的傳遞函數(shù),如圖2 12(d).方框可視作單向運(yùn)算的算子 方框可視作單向運(yùn)算的算子， 的傳遞函數(shù),如圖212(d).方框可視作單向運(yùn)算的算子，方框的 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 幾種典型部件的傳遞函數(shù) 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） U（S） C（S） K U（S） C（S） 微分環(huán)節(jié) TS U（S） C（S） 積分環(huán)節(jié) 1/TS U（S） C（S） 二階環(huán)節(jié) K/T2s2＋2ξTs＋1 Ts＋ 繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟 ， 1. 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)， 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù) 并將它們用方框表示 ， 2. 根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方框連接 根據(jù)各元部件的信號(hào)流向 便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算， 結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，也可以直觀了 解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的作用。 解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的作用。而 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 且，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。 所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。 例210 繪制如圖213所示 RC 無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖 繪制如圖2 13所示 解 將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)系 統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對(duì)應(yīng)于 系統(tǒng)的元部件。 系統(tǒng)的元部件。設(shè)電路中各變 量如圖中所示， 量如圖中所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概 念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以 下方程： 下方程： 圖213 RC無源網(wǎng)絡(luò) RC無源網(wǎng)絡(luò) 按照這些方程可分別繪制 相應(yīng)元件的方框圖如圖2 相應(yīng)元件的方框圖如圖214(a) (d)所示。然后用信號(hào) (d)所示 所示。 線按信號(hào)流向依次將各方框 連接起來， 連接起來，便得到無源網(wǎng)絡(luò) 的結(jié)構(gòu)圖，見圖214(e). 的結(jié)構(gòu)圖，見圖2 圖214 RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 方框圖的特點(diǎn) ①方框圖是從實(shí)際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，不代表實(shí)際的 方框圖是從實(shí)際系統(tǒng)抽象出來的數(shù)學(xué)模型， 物理結(jié)構(gòu)。 系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源， 物理結(jié)構(gòu) 。 系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源 ， 如有源 網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。 網(wǎng)絡(luò)和無源網(wǎng)絡(luò)等，但從方框圖上一般不明顯表示出來。 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系， ② 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系 ， 以及信號(hào)的流向和每個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 更直觀、 以及信號(hào)的流向和每個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響 。 更直觀 、 更 形象是針對(duì)系統(tǒng)的微分方程而言的。 形象是針對(duì)系統(tǒng)的微分方程而言的。 方框圖的流向是單向不可逆的。 ③方框圖的流向是單向不可逆的。 方框圖不唯一。由于研究角度不一樣， ④方框圖不唯一。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來 就不一樣，方框圖也就不一樣。 就不一樣，方框圖也就不一樣。 研究方便。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖， ⑤研究方便。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可以畫出它的方框圖，通 過方框圖簡化，不難求得系統(tǒng)的輸入、 輸出關(guān)系， 過方框圖簡化 ， 不難求得系統(tǒng)的輸入 、 輸出關(guān)系 ， 在此基礎(chǔ) 無論是研究整個(gè)系統(tǒng)的性能， 上 ， 無論是研究整個(gè)系統(tǒng)的性能 ， 還是評(píng)價(jià)每一個(gè)環(huán)節(jié)的作 用都是很方便的。 用都是很方便的。 第五節(jié) 對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的一般要求 由于控制系統(tǒng)中固有誤差量的存在和系統(tǒng)存在一定 的響應(yīng)時(shí)間，因此對(duì)于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)， 的響應(yīng)時(shí)間，因此對(duì)于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，只能要求在 盡可能范圍內(nèi)盡量滿足其技術(shù)上的要求。 盡可能范圍內(nèi)盡量滿足其技術(shù)上的要求。 控制系統(tǒng)的性能一般要求從一下三個(gè)方面來評(píng)價(jià) ⑴ 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的要求。所謂系統(tǒng)穩(wěn)定， 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的要求。所謂系統(tǒng)穩(wěn)定， 就是當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用后， 就是當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用后，系統(tǒng)的被控制量雖然偏 離的原有的平衡狀態(tài)，但當(dāng)擾動(dòng)撤離， 離的原有的平衡狀態(tài)，但當(dāng)擾動(dòng)撤離，經(jīng)過一定長的時(shí) 間后，如果系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)， 間后，如果系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是 穩(wěn)定的。 穩(wěn)定的。 ⑵ 快速性 控制系統(tǒng)不僅要穩(wěn)定, 控制系統(tǒng)不僅要穩(wěn)定,還必須對(duì)其過渡過程的形式 和快慢提出要求,一般稱為動(dòng)態(tài)性能 動(dòng)態(tài)性能, 和快慢提出要求,一般稱為動(dòng)態(tài)性能, 如對(duì)于穩(wěn)定的高 射炮射角隨動(dòng)系統(tǒng)，雖炮身最終能跟蹤目標(biāo)， 射炮射角隨動(dòng)系統(tǒng)，雖炮身最終能跟蹤目標(biāo)，但若目標(biāo) 變動(dòng)迅速，而炮身跟蹤目標(biāo)所需過渡過程時(shí)間過長， 變動(dòng)迅速，而炮身跟蹤目標(biāo)所需過渡過程時(shí)間過長，就 不可能擊中目標(biāo)。 不可能擊中目標(biāo)。 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 過渡過程時(shí)間 過渡過程時(shí)間ts 12 s2+2s+12 Step1 單位階躍響應(yīng) 仿真MATLAB MATLAB模型 仿真MATLAB模型 系統(tǒng)達(dá)到給定允許誤差區(qū)， 系統(tǒng)達(dá)到給定允許誤差區(qū) ， 并從此不再超越此區(qū) ， 所需 的時(shí)間 。 這個(gè)指標(biāo)反映系統(tǒng) 的慣性，即響應(yīng)速度。 的慣性，即響應(yīng)速度。 ?上升時(shí)間 tr 上升時(shí)間 從原始狀態(tài)開始， 從原始狀態(tài)開始 ， 第一次達(dá) 到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間， 到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間， MP 超調(diào)量 MP 它是說明系統(tǒng)阻尼性即振蕩 性的 ， 阻尼大則振蕩小 。 對(duì) 于穩(wěn)定系統(tǒng)而言 ， 第一次超 調(diào)量為輸出最大超調(diào)量 ， 取 其為性能指標(biāo)之一。 其為性能指標(biāo)之一。 系統(tǒng)振蕩次數(shù)N 系統(tǒng)振蕩次數(shù) 它是指在過渡時(shí)間內(nèi) ， 輸出 量在系統(tǒng)上下擺動(dòng)的次數(shù) 。 則阻尼性好。 振蕩的次數(shù)小 ， 則阻尼性好 。 Scope out 仿真輸出 MP +△ 1 +△ 1 △ 1 0 0 tr tp 1 2 ts 3 4 5 ⑶ 準(zhǔn)確性 理想情況下,當(dāng)過渡過程結(jié)束后, 理想情況下,當(dāng)過渡過程結(jié)束后,被控量達(dá)到的穩(wěn)態(tài) 即平衡狀態(tài)), 值(即平衡狀態(tài)),由于系統(tǒng)結(jié) 外作用形式以及摩擦、間隙等非線性因素的影響, 構(gòu)、外作用形式以及摩擦、間隙等非線性因素的影響,被 控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間會(huì)有誤差存在,稱為穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)誤差. 控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間會(huì)有誤差存在,稱為穩(wěn)態(tài)誤差. 它是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標(biāo)志, 它是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標(biāo)志,在技術(shù)指標(biāo)中一 般都有具體要求. 般都有具體要求. 對(duì)控制系統(tǒng)的要求，可歸結(jié)為穩(wěn)定性好，動(dòng)作快（即快速 對(duì)控制系統(tǒng)的要求，可歸結(jié)為穩(wěn)定性好，動(dòng)作快（ 穩(wěn)定性好 性好）、準(zhǔn)確性高。 性好）、準(zhǔn)確性高。 ）、準(zhǔn)確性高 第三章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的狀態(tài)分析 隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，不僅需要關(guān)心系統(tǒng)輸出 隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展， 的變化情況， 的變化情況，而且對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的一些變量也要進(jìn)行一些 研究，以便設(shè)計(jì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參量達(dá)到最優(yōu)控制。 研究，以便設(shè)計(jì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參量達(dá)到最優(yōu)控制。這就 需要使用以系統(tǒng)內(nèi)部變量為基礎(chǔ)的狀態(tài)變量分析法 狀態(tài)變量分析法。 需要使用以系統(tǒng)內(nèi)部變量為基礎(chǔ)的狀態(tài)變量分析法。 補(bǔ)充知識(shí)：矩陣計(jì)算 補(bǔ)充知識(shí)： 如果有n個(gè)量x1，x2，……，xn，它可以是數(shù)， 如果有n個(gè)量x1，x2，……，xn，它可以是數(shù)，也可以是 變量或函數(shù)（實(shí)的或復(fù)的），這些量可以排成一列， ），這些量可以排成一列 變量或函數(shù)（實(shí)的或復(fù)的），這些量可以排成一列，稱為 x1 ? ?x ? x = ? 2? ?M? ? ? ? xn ? 為n維列向量，其中xi稱為該向量的分量。 維列向量，其中xi稱為該向量的分量 稱為該向量的分量。 對(duì)應(yīng)于每個(gè)n維列矢量x 它可以得到它的轉(zhuǎn)置， 對(duì)應(yīng)于每個(gè)n維列矢量x，它可以得到它的轉(zhuǎn)置，用xT表示 x = [ x1 T x2 L xn ] 矩陣是把m 矩陣是把mn個(gè)標(biāo)量aij排列成陣列，簡記為A 個(gè)標(biāo)量aij排列成陣列 簡記為A 排列成陣列， A = ? aij ? ? ? mn a11 ?a ? 21 = ? M ? ? am1 a12 L a1n ? ? a22 L a2 n ? M M ? ? am 2 L amn ? 將A的行列互換，所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT 的行列互換，所得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A a11 ?a T ? 12 A = ? M ? ? a1n a21 L am1 ? ? a22 L am 2 ? M M ? ? a2 n L amn ? 設(shè)有行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣A=[a 設(shè)有行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣A=[aij]mn和B ＝[bij]mn 若有 aij = bij 則 A= B cij = aij + bij A + B = C = [cij ]mn B = α A = [bij ]mn bij