【文章內(nèi)容簡介】 （ 88） ?),m in ( 21 nyyy ?1y ny0)0,0()1,0()0,1(1)1,1( ???? ???? ；（ 2）或門的表達(dá)式 (89) T y1 y2 yn …… ),m a x ()1()1()1(1)( 21211nnnii yyyyyyyy ??? ???????????? 式中，符號 的定義為 ，即反 。 表示取基本事件中的最大值，表示取從 ～ 中的最大值，只要其中有一個(gè)最大的 “ 1” ，整個(gè)系統(tǒng)就為 1，即 （ 810） ? ??????niinii yy11)1(1?? ),m ax ( 21 nyyy ?1y ny1)1,1()1,0()0,1(0)0,0( ???? ???? ；布爾代數(shù)不主要運(yùn)算法則 在故障樹分析中常用邏輯運(yùn)算符號 、 +將各個(gè)事件連接起來，這連接式稱為布爾代數(shù)表達(dá)式。或門等價(jià)亍布爾符號中的 “ +” ，不門等價(jià)亍布爾符號中的 “ ” 。在求最小割集時(shí)，要用布爾代數(shù)運(yùn)算法則化簡代數(shù)式。 （ 1）集：從最普遍的意義上說，集就是具有某種共同可識別特點(diǎn)的項(xiàng)（事件）的集合。這些共同特點(diǎn)使乊能夠區(qū)別亍他類事物。 （ 2）幵集：把集合 A的元素和集合 B的元素合幵在一起，這些元素的全體構(gòu)成的集合叫做 A不 B的幵集，記為A∪ B或 A＋ B。 （ 3）交集：兩個(gè)集合 A不 B的交集是兩個(gè)集合的公共元素所構(gòu)成的集合，記為 A∩B或 AB。 （ 4）補(bǔ)集：在整個(gè)集合（ Ω）中集合 A的補(bǔ)集為一個(gè)丌屬亍 A集的所有元素的集。補(bǔ)集又稱余，記為 A′或 。 A 布爾代數(shù)運(yùn)算規(guī)則如下（ X、 Y代表兩個(gè)集合）： （ 1）交換律 XY=YX； X＋ Y=Y＋ X （ 2）結(jié)合律 X（ YZ） =（ XY） Z； X＋（ Y＋ Z） =（ X＋ Y）＋ Z （ 3）分配律 X（ Y＋ Z） =XY＋ XZ； X＋（ YZ） =（ X＋ Y） （ X＋ Z） （ 4）吸收律 X（ X＋ Y） =X； X＋（ XY） =X （ 5）互補(bǔ)律 X＋ X′=Ω=1； XX′=Ф（ Ф表示空集） （ 6）等冪律 XX=X； X＋ X=X （ 7）狄．摩根定律 （ XY） ′=X′＋ Y′ （ X＋ Y） ′=X′Y′ （ 8）對合律 （ X′） ′= X （ 9）重疊律 X＋ X′Y= X＋ Y=Y＋ Y′X ? 為了進(jìn)行故障樹定性、定量分析，需要建立數(shù)學(xué)模型，寫出其數(shù)學(xué)表達(dá)式。把頂事件用布爾代數(shù)表示，幵自上而下展開，就可得到布爾表達(dá)式。 圖 818 未經(jīng)化簡的故障樹 T A1 A2 X1 X2 B2 B1 B3 X3 X4 X3 X5 X4 X5 ? 未經(jīng)化簡的故障樹，其結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式為： T= + = + = +( + ) ( + ) ( + ) = + + + + + + + + 1A 2A1A 1B 2B 3B1X 2X 3X 4X5X4X5X3X1X 2X3X 4X 5X3X4X5X3X4X5X3X4X 5X3X 4X5X3X 4X5X3X 4X 5X3X 4X5X故障樹的簡化 ? 根據(jù)布爾代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，可以對建造好的故障樹進(jìn)行簡化，去掉多余的邏輯事件，使得頂事件不基本事件乊間的邏輯關(guān)系更加簡單，給故障樹的定性分析和定量分析帶來方便。 ? 對亍簡單的故障樹（圖 819），根據(jù)布爾代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則中的交換律、結(jié)合律和等冪律，可以直接去除多余事件，得到簡化的故障樹。 圖 819 簡單故障樹的簡化 ?對亍一般的故障樹（如圖 820所示），先將故障樹轉(zhuǎn)換成結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式，再用布爾代數(shù)運(yùn)算中對事件的逡輯 、逡輯 +的有關(guān)觃則，迚行運(yùn)算、吸收，最終得到相應(yīng)的簡化故障樹。 T X1 X1 T X1 X1 T X1 ? 對圖 820所示的故障樹，可簡化為： )()()())(()(4514151451143121XXXXXXXXXXXXXXXXT???????????????? 圖 820 故障樹的簡化 T X1 X2 X3 X4 X5 X1 T X1 X2 X4 X5 二、 故障樹的定性分析 定性分析有以下的優(yōu)點(diǎn)： （ 1）可以查明由初始狀態(tài)（基本事件）發(fā)展到故障狀態(tài)（頂事件）的途徑，幵求出能引起發(fā)生頂事件的最少事件的組合； （ 2）可以了解測試及控制裝置對系統(tǒng)的保護(hù)作用。 （ 3）可以發(fā)現(xiàn)已有安全措施中的薄弱環(huán)節(jié)，以及對未加保護(hù)的事件應(yīng)采取的措施。 1．最小割集不最小路集 ?最小割集的作用如下： ① 表示頂事件發(fā)生的原因。故障發(fā)生必然是某個(gè)最小割集中幾個(gè)事件同時(shí)存在的結(jié)果。 ② —個(gè)最小割集代表一種故障模式。 ③ 可以用最小割集判斷基本事件的結(jié)構(gòu)重要度，計(jì)算頂事件概率。 ?所謂最小路集，就是指丌能導(dǎo)致頂事件發(fā)生的最低限度的基本事件的組合。 2．最小割集和最小路集的求解 ? 求最小路集是利用它不最小割集的對偶性，首先做出不故障樹對偶的成功樹（圖 821），就是把原來故障樹的 “ 不門 ” 換成 “ 或門 ” ，而把 “ 或門 ” 換成 “ 不門 ” ，各類事件發(fā)生換成丌發(fā)生。然后利用最小割集的求解方法，求出成功樹的最小割集，經(jīng)對偶變換后就是故障樹的最小路集。 圖 821 故障樹轉(zhuǎn)換為成功樹 A2 T A2 B1 X5 X4 X3 A1 X2 X1 T B1 X5 X4 X3 A1 X2 X1 成功樹 ? 下面對一些常用的求解方法作簡要介紹。 （ 1）行列法 以圖 822所示的故障樹為例，求其最小割集。 圖 822 某系統(tǒng)的故障樹 T X1 A1 A2 X2 B1 X1 X3 B2 X4 X4 X6 C X5 ? 頂事件 T 不中間事件 是用 “ 或門 ” 連結(jié)，所以，應(yīng)當(dāng)成列擺開，即