第三章函數(shù)與數(shù)列(編輯修改稿)
2025-08-28 17:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3。伯努利給予函數(shù)的定義是由變量和常量所組成的式子 （算式） ? Euler對函數(shù)概念先后給出了三種定義： 1. 變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，是由這個(gè)變量和一些常量所組成的解析表達(dá)式 …… “ 解析的函數(shù)概念” 2. 在 xy平面上徒手任意畫出的曲線所確定了的 x與 y之間的關(guān)系是函數(shù) …… “ 圖象的函數(shù)概念” 3. 如果某些變量依賴于另一些變量，當(dāng)后面的變量變化時(shí)，前面的變量也隨之變化，那么前面的變量就叫做后面變量的函數(shù)。 （變量說） ? Cauchy定義：對于 x的每一個(gè)值，如果 y有完全確定的值與之對應(yīng)，則 y叫做 x的函數(shù)。以后，他又引入了新的定義：在變量間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)給定了某一變量的值就可以確定另一個(gè)變量的值時(shí)，后一個(gè)變量就是前一個(gè)變量的函數(shù)。 ? Dirichlet定義：對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的 x值， y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值與之對應(yīng)，那么 y叫做 x的函數(shù)。 ? Riemann定義：對于 x的每一個(gè)值， y總有完全確定的值與之對應(yīng)，而不管如何建立 x,y之間的對應(yīng)方法，都將 y稱為 x的函數(shù)。 對應(yīng)說 ?布爾巴基學(xué)派的定義：若 E、 F是兩個(gè)集合，二者的笛卡兒積是指 X Y中的任何子集 S稱為 x與 y之間的一種關(guān)系。如果關(guān)系 F滿足：對于每一個(gè) 都存在唯一的一個(gè) y，使得 則稱關(guān)系 F是一個(gè)函數(shù)。 ? ?? ?,x y x X y Y??,xX?? ?,x y F?關(guān)系說 ? 變量說最為本質(zhì)，但太依賴感覺 ? 對應(yīng)說建立在“集合”和“對應(yīng)”概念上，像狄利克雷函數(shù)，使用對應(yīng)說就非常清晰 ? 關(guān)系說擺脫了數(shù)集之間關(guān)系的限制，不使用未經(jīng)定義的日常語言，完全數(shù)學(xué)化了。 歐拉的變量說 ?黎曼的對應(yīng)說 ?布爾巴基的關(guān)系說 初中 高中 大學(xué) 宏觀，本質(zhì) 微觀，精確 形式化 唯一？確定？取值唯一只是為了研究方便所進(jìn)行的技術(shù)處理，如果不唯一，多值函數(shù)，中學(xué)里也有多值函數(shù)，如平方根函數(shù)，分成兩枝處理，如反三角函數(shù)，則用取主值枝的方法 函數(shù)的表達(dá)方式 ?語言描述 ?表格 ?圖形 ?表達(dá)式 在計(jì)算機(jī)時(shí)代，尤其要重視圖、表表示法 請作出經(jīng)過 A、 B兩點(diǎn)與 A、 B、 C三點(diǎn)的函數(shù)圖像 C 一名學(xué)生認(rèn)為以下都不 是函數(shù)，如果你認(rèn)為該學(xué)生做得不對，試解釋是什么想法導(dǎo)致錯(cuò)誤： (ⅰ ) (ⅱ ) (ⅲ ) (ⅳ )將所有的正數(shù)對應(yīng)到 1，將所有負(fù)數(shù)對應(yīng)到 1，將 0對應(yīng)到 3的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系。 (ⅴ )
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