【文章內(nèi)容簡介】 要存放部分積的低位） ? 0 A寄存器（將要存放部分積的高位） 例 4：已知： X=， Y=， 求 ： X Y。 解： |X|=→ B （ 被乘數(shù)采用雙符號(hào)位 ） |Y|=.1011→ C （ 乘數(shù)取數(shù)值 ） 0→ A 41 A C 說明 原碼一位乘 0 0 0 0 1 0 1 1 +|X| 0 1 0 1 C4=1， +|X| 0 1 0 1 → 0 1 1 0 1 1 0 1 部分積右移一位 0 0 1 1 +|X| 0 1 0 1 C4=1， +|X| → 0 0 0 1 1 1 1 0 部分積右移一位 +0 0 0 0 0 C4=0， +0 0 0 0 1 → 0 1 0 0 1 1 1 1 部分積右移一位 +|X| 0 1 0 1 C4=1， +|X| 0 0 0 1 → 0 0 0 0 1 1 1 1 部分積右移一位 ∵ Ps =Xs⊕ Ys = 0⊕ 1 = 1 ∴ X?Y = 42 原碼一位乘法的硬件實(shí)現(xiàn) ? A、 B為 n+2位， C為 n位，加法器為 n+2位，異或門。 ? A、 C寄存器級(jí)連在一起，具有右移功能。每次移位時(shí)， A的最低位進(jìn)入 C 的最高位，而 C的最低位被丟掉。最后， A的內(nèi)容為乘積的高位部分， C的內(nèi)容為乘積的低位部分。 ? C的最低位作為控制信號(hào)，控制運(yùn)算器加被乘數(shù)還是加零。 43 補(bǔ)碼一位乘法 ? 原碼乘法雖然容易實(shí)現(xiàn)，但一般計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)多以補(bǔ)碼表示。若仍用原碼做乘法，需要進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換，反倒不方便而且又影響速度。 ? 因?yàn)檠a(bǔ)碼符號(hào)位直接參加運(yùn)算，所以補(bǔ)碼乘法不能簡單地套用原碼乘法的算法。實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼乘法有 2種方法。 ? 一種方法為 校正法 ，使用較少，只給出算式： [X Y]補(bǔ) =[X]補(bǔ) (… Xn)[X]補(bǔ) Y０ ? 另一種更好的方法為 比較法 ，該算法是英國人 Booth夫婦提出，所以也稱為 Booth法。該算法無需校正，控制較為簡單。以下主要討論比較法。 44 Booth的推導(dǎo) 設(shè)：被乘數(shù) [X]補(bǔ) =X０ .X1X2…X n，乘數(shù) [Y]補(bǔ) =Y０ .Y1Y2…Y n，則： [X Y]補(bǔ) = [X]補(bǔ) […Y n] [X]補(bǔ) Y０ = [X]補(bǔ) [21Y1+22Y2+…+2 nYn] [X]補(bǔ) Y０ = [X]補(bǔ) [Y０ +21Y1 +22Y2+…+2 nYn] = [X]補(bǔ) [Y０ +(Y121Y1)+ (21Y222Y2)+…+(2 (n1)Yn2nYn)] = [X]補(bǔ) [(Y1Y０ )+(Y2Y1)21+…+( 0Yn)2n] = [X]補(bǔ) [(Y1Y０ )+(Y2Y1)21+…+( Yn+1Yn)2n] 。Yn+1=0 上式表明： [X Y]補(bǔ) 可以根據(jù)乘數(shù)相鄰兩項(xiàng)的比較結(jié)果， 即用“ 低位 高位 ”的值來確定每步的運(yùn)算操作。 45 Booth法的遞推公式 從前面的推導(dǎo)中得出遞推公式： [Z0]補(bǔ) = 0 [Z1]補(bǔ) = 21{[Z0]補(bǔ) +(yn+1yn)[X]補(bǔ) } [Z2]補(bǔ) = 21{[Z1]補(bǔ) +(ynyn1)[X]補(bǔ) } ┇ [Zn]補(bǔ) = 21{[Zn1]補(bǔ) +(y2y1)[X]補(bǔ) } ∴ [X Y]補(bǔ) = [Zn]補(bǔ) +(y1ys)[X]補(bǔ) 式中 ， [Z0]補(bǔ) 為初始部分積 ， [Z1]補(bǔ) ～ [Zn]補(bǔ) 為每次累加并右移之后的部分積 。 [XY]補(bǔ) =[X]補(bǔ) [(y1y0)+(y2y1) 21+……+( yn+1yn) 2n] n 1 2 46 Booth乘法運(yùn)算規(guī)律與規(guī)則 ? 判斷位 YnYn+1 操 作 0 0 原部分積右移一位 0 1 原部分積加 [X]補(bǔ) 后右移一位 1 0 原部分積加 [X]補(bǔ) 后右移一位 1 1 原部分積右移一位 ? 參加運(yùn)算的數(shù)用補(bǔ)碼表示，結(jié)果也是補(bǔ)碼；符號(hào)位直接參加運(yùn)算。 ? 乘數(shù)最低位后面增加一位附加位 Yn+1，初值為 0。 ? 乘數(shù)的最低兩位 YnYn+1的值決定每次執(zhí)行的操作。 ? 部分積和乘數(shù)一起右移一位。 ? 共做 n+1次累加、 n次移位，最后累加不移位。 由于符號(hào)位參加運(yùn)算，部分積累加時(shí)最高有效位的進(jìn)位可能侵占符號(hào)位，所以被乘數(shù)和部分積應(yīng)取雙符號(hào)位，乘數(shù)只需取一個(gè)符號(hào)位 規(guī)律 規(guī)則 47 補(bǔ)碼一位乘示例 例 5：已知： X=， Y=； 求： X Y。 解： [X]補(bǔ) = →B ， [Y]補(bǔ) = →C ， [X]補(bǔ) = 0→A 運(yùn)算過程見下頁： 補(bǔ) 碼一位乘 A C 附加位 說明 0 0 0 0 0 1 1 0 +[X]補(bǔ) 0 1 0 1 C4C5=10， +[X]補(bǔ) 0 1 0 1 → 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 部分積右移一位 +0 0 0 0 0 C4C5=11， +0 0 1 1 0 → 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 部分積右移一位 +[X]補(bǔ) 1 0 1 1 C4C5=01， +[X]補(bǔ) 1 1 1 0 → 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 部分積右移一位 +[X]補(bǔ) 0 1 0 1 C4C5=10， +[X]補(bǔ) 0 0 0 0 → 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 部分積右移一位 +[X]補(bǔ) 1 0 1 1 C4C5=01， +[X]補(bǔ) 1 1 1 1 ∵ [X?Y]補(bǔ) = ∴ X?Y= 49 補(bǔ)碼一位乘法的硬件實(shí)現(xiàn) ? A、 B、 C為 n+2位，加法器為 n+2位。 與或門有 n+2個(gè)。 ? 各器件的作用與原碼一位乘法相同。控制方式上有所不同，即由 C寄存器的最低兩位來控制加、減被乘數(shù)或加 0操作。 50 陣列乘法器 為了提高乘法運(yùn)算速度，還可以采用高速陣列乘法器執(zhí)行乘法運(yùn)算。 設(shè)有兩個(gè) 不帶符號(hào) 的二進(jìn)制整數(shù)： A、 B兩數(shù)的乘積 P為： 假設(shè)，當(dāng) m = n = 4時(shí)，來考慮乘法的情況： ?? ???????? 101022 njjjmiii bBaA?? ? ??????????????10101022nmkkkjiminjji pbaBAP51 陣列乘法器原理 a3 a2 a1 a0 b3 b2 b1 b0 a3b0 a2b0 a1b0 a0b0 a3b1 a2b1 a1b1 a0b1 a3b2 a2b2 a1b2 a0b2 + a3b3 a2b3 a1b3 a0b3 P7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 p0 52 陣列乘法器原理（續(xù)一） ? 一個(gè)基本乘法單元由兩部分組成： ? aibi是邏輯與運(yùn)算，可用與門實(shí)現(xiàn) ? 錯(cuò)位相加可用全加器完成 基本乘法單元原理圖 53 陣列乘法器原理（續(xù)二） 由乘法單元構(gòu)成的乘法器如圖所示，每個(gè)方框代表一個(gè)基本乘法單元 . 54 陣列乘法器原理（三） ? 構(gòu)成 n n整數(shù)陣列乘法器，共需要 n n個(gè)乘法單元。 ? 若采用補(bǔ)碼相乘時(shí)，可在上述乘法陣列外增加三個(gè)求補(bǔ)器，兩個(gè)為 算前求補(bǔ)器 ，將兩個(gè)操作數(shù)先變成正整數(shù)，一個(gè)為 算后求補(bǔ)器 ，在相乘兩數(shù)符號(hào)不一致時(shí)，把運(yùn)算結(jié)果變成補(bǔ)碼 。 55 五、定點(diǎn)除法運(yùn)算 ? 大家很熟悉除法運(yùn)算。手工計(jì)算 除法的關(guān)鍵是比較余數(shù)與除數(shù)的大小，根據(jù)比較結(jié)果決定商值。 ? 問題是，當(dāng)將手工計(jì)算轉(zhuǎn)換為機(jī)器運(yùn)算時(shí)，如何判斷夠減？如何處理符號(hào)位？如何提高運(yùn)算速度？ ? 除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。乘法通過 加 右移 實(shí)現(xiàn) ，不難想到機(jī)器除法運(yùn)算是通過 減 左移 實(shí)現(xiàn)的。 ? 機(jī)器實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算有兩個(gè)先決條件（純小數(shù)）： ? 除數(shù)不等于 0，否則商為無窮大。 ? 被除數(shù)要小于除數(shù)，否則商會(huì)溢出。 56 原碼恢復(fù)余數(shù)法 ? 所謂恢復(fù)余數(shù)法，不管被除數(shù)（或部分余數(shù)）是否夠減除數(shù)，都一律先做減法。若部分余數(shù)為正，表示夠減，該位商上 “ 1”；若部分余數(shù)為負(fù)，表示不夠減，該位商上 “ 0”，并要恢復(fù)余數(shù)（加除數(shù)）。 ? 恢復(fù)余數(shù)法 固有的缺點(diǎn) : ? 由于部分余數(shù)的正、負(fù)是隨機(jī)出現(xiàn)的，使得除法運(yùn)算的實(shí)際 操作次數(shù)不固定 ， 控制電路較復(fù)雜 。 ? 在恢復(fù)余數(shù)時(shí)，要 多作一次加法 ，降低了除法的執(zhí)行的速度。 57 原碼不恢復(fù)余數(shù)法 ? 分析恢復(fù)余數(shù)法發(fā)現(xiàn)，當(dāng)減除數(shù)操作使得余數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，商為“ 0”，并恢復(fù)余數(shù)，然后左移，