【文章內容簡介】 入流線與兩條流出流線 ， 但它們不是不動點 。 同 (異 )宿結構 過雙曲點是不變曲線，線上的點經過多次映射不會跑出該線。 擾動的影響是 ： 同宿結構 3. 有理環(huán)面破裂與同 (異 )宿結構 同 (異 )宿結構 異宿結構 (3) 由于 映射是連續(xù)的，在雙曲點 O外會產生一系列新同宿點，且要反復作用無限次數才能沿著接近到雙曲不動點 O。 (4) 在到達雙曲不動點 O前 ， 流線與交叉產生的同 (異 )宿點越來越密 ， 總共有無限多個點 。 由于是保守系統(tǒng) ， 相繼兩次交叉所包圍的面積是定值 ， 于是越趨近雙曲不動點 O， 在新宿點會越來越密同時 ， 振蕩幅度越來越大 。 擾動的影響是 ： 4. 阿諾德擴散 若不可積擾動足夠小 ， KAM無理環(huán)面仍然可以保持 ， 有理環(huán)面發(fā)生破裂 ， 產生出一系列新橢圓不動點與雙曲不動點 。 新生橢圓不動點在擾動連續(xù)作用下 ， 又產生出更小一級的橢圓不動點與雙曲不動點； 在雙曲不動點附近 ， 通過不動點的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形構成復雜的異宿結構 。 它們是二維環(huán)面上的非規(guī)則運動區(qū) 。 KAM環(huán)面將環(huán)面上規(guī)則與非規(guī)則的運動區(qū)域分隔開來 。 在整個環(huán)面上共存了規(guī)則的與非規(guī)則的運動 。 擾動對二維環(huán)面運動影響 4. 阿諾德擴散 高維 KAM環(huán)面能否成為等能面的邊界 ， 對不滿足 KAM定理的導致不規(guī)則運動的少數軌道 (即不穩(wěn)定軌道 )起限制作用 。 N個自由度系統(tǒng)具有 2N維的相空間和 2N－ 1維等能面 。 N維環(huán)面成為等能面邊界的條件：N≥2N－ 2。 即只有 N≤2系統(tǒng)的環(huán)面才有可能把等能面包圍起來或分割成幾個部分 。 N≥3系統(tǒng)不會滿足這樣條件 。 高維相空間里 KAM環(huán)面不會被等能面隔離 ， 不穩(wěn)定軌道會在各個 KAM環(huán)面之間來回穿行 ， 并逐步擴散到整個等能面上去 ， 這種現象被稱為 阿諾德擴散 。 高維空間的阿諾德擴散 5. 標準映射 與耗散系統(tǒng)中兩系統(tǒng)間的同步與鎖模相對應 ， 單自由度保守系統(tǒng)受周期性外力作用時產生不規(guī)則運動 。 系統(tǒng)哈密頓為： 運動方程為： 選取時間系列： t0, t1, t2,… ， 運動方程退化為 離散映射 ： 該映射給出 I 和 ? 在前后兩個時間點 上關系，又可寫成： t),(+)(0 ?? IVIH 39。 = H????????????????????IVIIHtHdtdI??????????)(39。V 39。???????),(),(nnn1n1????IIII nnnn離散映射 ??????????????IITTIIVTII??????????),V()(),(T為擾動的特征時間 5. 標準映射 穩(wěn)定性條件 設擾動勢只與廣義坐標 ? 有關： ????? TIIVV)(39。)(c o s=)(00???????????????0000 s i nIITTTVII???????? I0 ? V T0? ? ?? 39。 /I 0 0二維映射 ??????????????IITTIIVTII??????????),V()(),(1 0? ?? ? ???? ?? ? ? ?39。 ( )TT V ( )1 T V ( )2I I39。 ( )二維映射 ? ? ? ? ?2 2? ?( 39。 ( )I T V ( )) + 1 = 02? ?2 2 1 0? ? ? ?( )K? 1 2 21 12 1 12 1, [( ) ]? ? ? ? ?K KKK? ?? ? ?0 10 111( )( )??穩(wěn)定性條件為： 本征值方程 本征值方程的解 5. 標準映射 采用無量綱作用量 ? 0 0T /I I I?略去常數相位因子 ?0TI I? ?,? ??1,02s i n0c o s00?????mmKIIK???),2()0,2(21???mrmr??由不動點的條件 即： ??????????0000 s i nIITTTVII???????????????IKII???s in標準映射 可得由此可得兩個奇點 與耗散系統(tǒng)圓映射情況有點相似 ， 在保守系統(tǒng)中 ， 標準映射給出的復雜運動行為與參數 K 取值有關 。 對不同參數 K 值進行數值計算 ， 并畫出 I? 平面上的 相 。 標準映射 5. 標準映射 ?K ?K隨機海 K= ， 在周期 1與周期 2區(qū)之間 ， 除了一些橫貫左右的點線外 ， 還存在一些光滑曲線 。 點線是破裂了的有理線 ， 光滑曲線是沒有破裂的 KAM不變線 。 說明隨機性受 KAM不變線約束而存在于局部區(qū)域內； K= ， 周期 1與周期 2區(qū)之間的光滑曲線消失 ， 成了彌散點 ， KAM線破裂了 。 隨 KAM不變線破裂 ， 局部隨機區(qū)逐步向全局擴散 ， 匯成廣泛彌散開的大海 — 隨機海 (Stochastic sea)。 這是一種全局性的混沌形態(tài) 。 5. 標準映射 標準映射相圖 ?K ?K第六節(jié) 電子混沌電路 LC諧振電路 如果在通常的 LC諧振電路中 ， 使用非線性電阻 、 電容或電感等一些非線性電子元件 ， 如果這些元件的數值 （ 電阻值 、 電容量或電感量 ） 是外加電壓或頻率的函數 ， 就構成一種 非線性 LC 諧振電路 ， 在合適的驅動電壓作用下 ， 將會呈現非線性動力學系統(tǒng)的混沌特性 。 這里以單結晶體管作為非線性電阻 ， 變容二極管作為非線性電容為例 ，介紹一下外激勵非線性 LC 電路進入混沌的基本情況 。 LC 諧振電路 非線性 LC諧振電路 這里將一只單結晶體管聯(lián)結為一個非線性電阻。 單結晶體管也稱雙基極二極管 ， 它有兩個基極 b1 和 b2 和一個發(fā)射極 e 。 e 對基極 b1和 b2 就是一個 PN 結 ， 具有單向導電性 。 兩個基極之間的電阻是半導體的內電阻 。 當 b2 b1 間加上電壓 ubb， b2 b1 間的發(fā)射極電位決定于內電阻上的分壓比 h： 當發(fā)射極外加電壓高于 e點電位的二極管壓降 ud()時 ， uehubb+ud, e b1導通 。 在混沌電路中 ， 通常將基極 b2和發(fā)射極聯(lián)在一起 ， 成了二端元件 。 當