【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 入流線與兩條流出流線 ， 但它們不是不動(dòng)點(diǎn) 。 同 (異 )宿結(jié)構(gòu) 過(guò)雙曲點(diǎn)是不變曲線，線上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)多次映射不會(huì)跑出該線。 擾動(dòng)的影響是 ： 同宿結(jié)構(gòu) 3. 有理環(huán)面破裂與同 (異 )宿結(jié)構(gòu) 同 (異 )宿結(jié)構(gòu) 異宿結(jié)構(gòu) (3) 由于 映射是連續(xù)的，在雙曲點(diǎn) O外會(huì)產(chǎn)生一系列新同宿點(diǎn)，且要反復(fù)作用無(wú)限次數(shù)才能沿著接近到雙曲不動(dòng)點(diǎn) O。 (4) 在到達(dá)雙曲不動(dòng)點(diǎn) O前 ， 流線與交叉產(chǎn)生的同 (異 )宿點(diǎn)越來(lái)越密 ， 總共有無(wú)限多個(gè)點(diǎn) 。 由于是保守系統(tǒng) ， 相繼兩次交叉所包圍的面積是定值 ， 于是越趨近雙曲不動(dòng)點(diǎn) O， 在新宿點(diǎn)會(huì)越來(lái)越密同時(shí) ， 振蕩幅度越來(lái)越大 。 擾動(dòng)的影響是 ： 4. 阿諾德擴(kuò)散 若不可積擾動(dòng)足夠小 ， KAM無(wú)理環(huán)面仍然可以保持 ， 有理環(huán)面發(fā)生破裂 ， 產(chǎn)生出一系列新橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn) 。 新生橢圓不動(dòng)點(diǎn)在擾動(dòng)連續(xù)作用下 ， 又產(chǎn)生出更小一級(jí)的橢圓不動(dòng)點(diǎn)與雙曲不動(dòng)點(diǎn)； 在雙曲不動(dòng)點(diǎn)附近 ， 通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形構(gòu)成復(fù)雜的異宿結(jié)構(gòu) 。 它們是二維環(huán)面上的非規(guī)則運(yùn)動(dòng)區(qū) 。 KAM環(huán)面將環(huán)面上規(guī)則與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng)區(qū)域分隔開(kāi)來(lái) 。 在整個(gè)環(huán)面上共存了規(guī)則的與非規(guī)則的運(yùn)動(dòng) 。 擾動(dòng)對(duì)二維環(huán)面運(yùn)動(dòng)影響 4. 阿諾德擴(kuò)散 高維 KAM環(huán)面能否成為等能面的邊界 ， 對(duì)不滿足 KAM定理的導(dǎo)致不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的少數(shù)軌道 (即不穩(wěn)定軌道 )起限制作用 。 N個(gè)自由度系統(tǒng)具有 2N維的相空間和 2N－ 1維等能面 。 N維環(huán)面成為等能面邊界的條件：N≥2N－ 2。 即只有 N≤2系統(tǒng)的環(huán)面才有可能把等能面包圍起來(lái)或分割成幾個(gè)部分 。 N≥3系統(tǒng)不會(huì)滿足這樣條件 。 高維相空間里 KAM環(huán)面不會(huì)被等能面隔離 ， 不穩(wěn)定軌道會(huì)在各個(gè) KAM環(huán)面之間來(lái)回穿行 ， 并逐步擴(kuò)散到整個(gè)等能面上去 ， 這種現(xiàn)象被稱為 阿諾德擴(kuò)散 。 高維空間的阿諾德擴(kuò)散 5. 標(biāo)準(zhǔn)映射 與耗散系統(tǒng)中兩系統(tǒng)間的同步與鎖模相對(duì)應(yīng) ， 單自由度保守系統(tǒng)受周期性外力作用時(shí)產(chǎn)生不規(guī)則運(yùn)動(dòng) 。 系統(tǒng)哈密頓為： 運(yùn)動(dòng)方程為： 選取時(shí)間系列： t0, t1, t2,… ， 運(yùn)動(dòng)方程退化為 離散映射 ： 該映射給出 I 和 ? 在前后兩個(gè)時(shí)間點(diǎn) 上關(guān)系，又可寫成： t),(+)(0 ?? IVIH 39。 = H????????????????????IVIIHtHdtdI??????????)(39。V 39。???????),(),(nnn1n1????IIII nnnn離散映射 ??????????????IITTIIVTII??????????),V()(),(T為擾動(dòng)的特征時(shí)間 5. 標(biāo)準(zhǔn)映射 穩(wěn)定性條件 設(shè)擾動(dòng)勢(shì)只與廣義坐標(biāo) ? 有關(guān)： ????? TIIVV)(39。)(c o s=)(00???????????????0000 s i nIITTTVII???????? I0 ? V T0? ? ?? 39。 /I 0 0二維映射 ??????????????IITTIIVTII??????????),V()(),(1 0? ?? ? ???? ?? ? ? ?39。 ( )TT V ( )1 T V ( )2I I39。 ( )二維映射 ? ? ? ? ?2 2? ?( 39。 ( )I T V ( )) + 1 = 02? ?2 2 1 0? ? ? ?( )K? 1 2 21 12 1 12 1, [( ) ]? ? ? ? ?K KKK? ?? ? ?0 10 111( )( )??穩(wěn)定性條件為： 本征值方程 本征值方程的解 5. 標(biāo)準(zhǔn)映射 采用無(wú)量綱作用量 ? 0 0T /I I I?略去常數(shù)相位因子 ?0TI I? ?,? ??1,02s i n0c o s00?????mmKIIK???),2()0,2(21???mrmr??由不動(dòng)點(diǎn)的條件 即： ??????????0000 s i nIITTTVII???????????????IKII???s in標(biāo)準(zhǔn)映射 可得由此可得兩個(gè)奇點(diǎn) 與耗散系統(tǒng)圓映射情況有點(diǎn)相似 ， 在保守系統(tǒng)中 ， 標(biāo)準(zhǔn)映射給出的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)行為與參數(shù) K 取值有關(guān) 。 對(duì)不同參數(shù) K 值進(jìn)行數(shù)值計(jì)算 ， 并畫出 I? 平面上的 相 。 標(biāo)準(zhǔn)映射 5. 標(biāo)準(zhǔn)映射 ?K ?K隨機(jī)海 K= ， 在周期 1與周期 2區(qū)之間 ， 除了一些橫貫左右的點(diǎn)線外 ， 還存在一些光滑曲線 。 點(diǎn)線是破裂了的有理線 ， 光滑曲線是沒(méi)有破裂的 KAM不變線 。 說(shuō)明隨機(jī)性受 KAM不變線約束而存在于局部區(qū)域內(nèi)； K= ， 周期 1與周期 2區(qū)之間的光滑曲線消失 ， 成了彌散點(diǎn) ， KAM線破裂了 。 隨 KAM不變線破裂 ， 局部隨機(jī)區(qū)逐步向全局?jǐn)U散 ， 匯成廣泛彌散開(kāi)的大海 — 隨機(jī)海 (Stochastic sea)。 這是一種全局性的混沌形態(tài) 。 5. 標(biāo)準(zhǔn)映射 標(biāo)準(zhǔn)映射相圖 ?K ?K第六節(jié) 電子混沌電路 LC諧振電路 如果在通常的 LC諧振電路中 ， 使用非線性電阻 、 電容或電感等一些非線性電子元件 ， 如果這些元件的數(shù)值 （ 電阻值 、 電容量或電感量 ） 是外加電壓或頻率的函數(shù) ， 就構(gòu)成一種 非線性 LC 諧振電路 ， 在合適的驅(qū)動(dòng)電壓作用下 ， 將會(huì)呈現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌特性 。 這里以單結(jié)晶體管作為非線性電阻 ， 變?nèi)荻O管作為非線性電容為例 ，介紹一下外激勵(lì)非線性 LC 電路進(jìn)入混沌的基本情況 。 LC 諧振電路 非線性 LC諧振電路 這里將一只單結(jié)晶體管聯(lián)結(jié)為一個(gè)非線性電阻。 單結(jié)晶體管也稱雙基極二極管 ， 它有兩個(gè)基極 b1 和 b2 和一個(gè)發(fā)射極 e 。 e 對(duì)基極 b1和 b2 就是一個(gè) PN 結(jié) ， 具有單向?qū)щ娦?。 兩個(gè)基極之間的電阻是半導(dǎo)體的內(nèi)電阻 。 當(dāng) b2 b1 間加上電壓 ubb， b2 b1 間的發(fā)射極電位決定于內(nèi)電阻上的分壓比 h： 當(dāng)發(fā)射極外加電壓高于 e點(diǎn)電位的二極管壓降 ud()時(shí) ， uehubb+ud, e b1導(dǎo)通 。 在混沌電路中 ， 通常將基極 b2和發(fā)射極聯(lián)在一起 ， 成了二端元件 。 當(dāng)