第三章晶格振動(dòng)(編輯修改稿)
2025-08-28 12:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 22n n n nM ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?。 原子鏈中含有 N 個(gè)原胞時(shí)，就得到 2N 個(gè)方程的聯(lián)立方程組。 容易驗(yàn)證，該方程組有如下形式的格波解： ? ? ? ?2 2 12 2 1, .i t na q i t n aqnnAe Be???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????17 將格波解代入到運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到 222 c o s 2 , 2 c o s 2 .m A B a q AM B A a q B? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 將上述方程看作關(guān)于 A、 B的線性方程組，則其有非零 解條件為： ? ?222222 2 c o s 02 c o s 241 1 sin .m aqaq Mm M m MaqmM mM? ? ?? ? ?????????? ? ? ??????18 將 2? 代回線性方程組可得 ? ? 2 22 c o smBAaq???????? . 相鄰原胞（即相鄰 P 原子或 Q 原子） 的位相差為 2 aq 。 2 aq改變 2?的整數(shù)倍，晶格振動(dòng)保持不變。通常限制2 aq??? ? ?或22qaa?????，在該范圍內(nèi)，不同的 q 對(duì)應(yīng)于不同的格波；該范圍外的 q 不給出新的格波解。這個(gè)范圍就是一維雙原子鏈的B r i l l oui n 區(qū)。 每一個(gè) q 有兩個(gè)格波解，格波可以有任意的振幅和位相，但是兩種原子的振幅比和位相差是確定的。 19 仍采用周期性邊界條件? ?2 2 ,N a q h??即 22hqNa?? ，其中22NN h? ?? 。 h 有 N 個(gè)不同的取值，對(duì)應(yīng)于 N 個(gè)不同的 q 和 2 N 個(gè)不同的格波，格波的 數(shù)目等于鏈的自由度。 同一 q 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不同的格波中，較大 ( 小 ) 的一個(gè)頻率記作? ?????，對(duì)應(yīng)的格波稱作 光學(xué)波 ( 聲學(xué)波 ) 。0q ?的長(zhǎng)波在許多實(shí)際問題中有重要的作用，光學(xué)波和聲學(xué)波的命名來(lái)源于其長(zhǎng)波極限的性質(zhì)。 20 先來(lái)討論聲學(xué)波，當(dāng) q 很小時(shí)，有 ? ? ? ?? ?222244s i n 1m M m Ma q a qm M m M???? ? 222aqmM?? ????或 2qamM?? ? ??. 21 長(zhǎng)聲學(xué)波就是把一維鏈看作連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波，這也是稱之為聲學(xué)波的原因。對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，0q ?時(shí)，有0? ? ?，/1BA ? 。表明在 長(zhǎng)聲學(xué)波時(shí)，原胞中兩種原子的運(yùn)動(dòng)是完全一致的，振幅和位相都沒有差別 。 對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，0q ?時(shí)， ? ?2,mMmM????? BmAM ?????????. 易知 , 當(dāng)0q ?時(shí) , 同一種原子具有相同的位相 , 像剛體一樣整體振動(dòng) 。 而不同原子具有完全相反的位相 , 長(zhǎng)光學(xué)波極限實(shí)際上是兩種原子構(gòu)成的格子的相對(duì)振動(dòng) ,振動(dòng)保持質(zhì)心不變 。 22 離子晶體中的長(zhǎng)光學(xué)波具有特別重要的作用 . 不同離子間的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定的電偶極矩 , 從而可以和電磁波相互作用 . 可以證明 , 對(duì)于單聲子過(guò)程 , 電磁波只和波數(shù)相同的格波相互作用 , 如果它們具有相同的頻率就可以發(fā)生共振 . 離子晶體中光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在? ?附近的強(qiáng)烈吸收 ,這是紅外光譜的一個(gè)重要效應(yīng) . 23 三維晶格的振動(dòng) 考慮 原胞含有 n 個(gè)原子構(gòu)成的復(fù)式晶格， 原胞 以 l 表示，表明它位于格點(diǎn)? ? 1 1 2 2 3 3R l l l l? ? ?? ? ?。 原 胞中 原子的位置, , ,12l l lR R Rn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?表示， 偏離格點(diǎn)的位移 則表示為, , ,12l l ln? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?。 第 l 個(gè)
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