【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 收端都是發(fā)出或接收一路信號(hào)。所以，前兩種濾波器還是現(xiàn)在濾波器設(shè)計(jì)的主要方面，例如在線譜分析、基音檢測(cè)、線性預(yù)測(cè)編碼等方面都有著廣泛的應(yīng)用。 本來(lái)在計(jì)算量相等的情況下， IIR 數(shù)字濾波器比 FIR 濾波器的幅頻特性?xún)?yōu)越，頻率選擇性也好，但是，它有著致命的缺點(diǎn)，相位特性不好控制。它的相位特性 f(w) ??argH( jwe )是使頻率產(chǎn)生嚴(yán)重的非線性的原因，這 種‘與’的非線性關(guān)系，使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生了畸變。如果需要線性相位，就必須用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行復(fù)雜的相位校正，但是，在對(duì)程序運(yùn)行周期數(shù)要求十分嚴(yán)格的 DSP 處理中加上一個(gè)全通均衡器是十分浪費(fèi)資源的。另外，即使加上全通均衡器，對(duì)于因果的 IIR 濾波器，仍將得不到線性的相位。 在現(xiàn)代電子系統(tǒng)中，如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中都越來(lái)越多的要求信道具有線性的相位特性。在這方面 FIR濾波器具有獨(dú)到的優(yōu)點(diǎn)，它可以在幅度特性隨意設(shè)計(jì)的同時(shí)，保證精確、嚴(yán)格的線性相位，因此這類(lèi)濾波器應(yīng)用很廣泛。 FIR 濾波器的基本結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波是將輸入的信號(hào)序列，按規(guī)定的算法進(jìn)行處理，從而得到所期望的輸出序列。一個(gè)線性位移不變系統(tǒng)的輸出序列 y(n)和輸入 x(n)之間的關(guān)系，應(yīng)滿(mǎn)足常系數(shù)線性差分方程，見(jiàn)公式 ， ? ? ? ? ? ??? ??? ???? Mi iNi i inyainxbny 110 0?n () 其中， x(n)為輸入序列， y(n)為輸出序列， kk ba和 為濾波器系數(shù)， N是濾波器的階數(shù)。若上式中所有的 kb 均為零，則有 FIR濾波器的差分方程為： ??? ?? 10 )()( Nk k knxany () 對(duì)上式進(jìn)行 Z變換得到 FIR濾波器的傳遞函數(shù)為： ? ? ? ?? ? ??? ??? 10Ni kk zbzX zYzH () 由上式可以看出， H(z)是 1?Z 的 N1次多項(xiàng)式，它在 z平面內(nèi)有 N1個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)在原點(diǎn)處有 N1個(gè)重極點(diǎn)。 N階濾波器通常采用 N個(gè)延遲單元、 N個(gè)加法器與 N+1個(gè)乘法器 ，取圖 31 中 (a)、 (b)兩種結(jié)構(gòu)。 圖 FIR濾波器的一般結(jié)構(gòu) 因?yàn)?FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，所以它永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的。另外，若對(duì) h(n)提出一些約束條件，那么可以很容易地使 H(z)具有線性相位，這在信號(hào)處理的很多領(lǐng)域是非常重要的。 FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)，是要決定一個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù) H(z)，使它的頻率響應(yīng)滿(mǎn)足給定的要求。這里所說(shuō)的要求，除了通帶頻率 p? 、阻帶頻率及兩個(gè)帶上的最大和最小衰減 p? 和 s? 外，很重要的一條是保證 H(z)具有線性相位。 FIR 濾波器的常規(guī)設(shè)計(jì)方法 FIR濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)就是給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準(zhǔn)則，選取濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù) H(z)中的各個(gè)參數(shù) h(n)，即濾波器的單位抽樣響應(yīng)及階數(shù) N，使得頻率特性滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。通常 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有三種：窗函數(shù)法、頻率抽樣法和切比雪夫等波紋逼近法。其中窗函數(shù)法可以應(yīng)用比較現(xiàn)成的窗函數(shù)，因而設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，在指標(biāo)要求不高的場(chǎng)合使用方便靈活。下面我們來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下這三種設(shè)計(jì)方法。 窗函數(shù)法 窗函數(shù)法也稱(chēng)為傅立葉級(jí)數(shù)法。理想的數(shù)字濾波器頻率特性 )( jweH 是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的， FIR的設(shè)計(jì)就是要尋找一個(gè)可以得到的頻率特性 )( jweH =????10 )(Nnjwnenh 來(lái)逼近 )( jweH ，這相當(dāng)于用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的單位脈沖響應(yīng) h(n)去逼近一個(gè)理想單位脈沖響應(yīng) )(nhd 。 )(nhd 可由理想頻率特性 )( jwd eH 通過(guò)傅氏反變換得到， ?? ?? deeHnh jwjwdd ??? )(21)( () 一般來(lái)說(shuō)，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)序列 )(nhd 是個(gè)無(wú)限長(zhǎng)序列，因而是非因果的。設(shè)有一個(gè)截止頻率為 c? 的理想線性相位低通，延時(shí)為 τ，其頻率特性是： ? ? ??? ?? ??? ??? ??ccjw ajwd eeH 0 0 () 得到： )(nhd ＝ ? ?)( )(sin ?? ?? ??n nc ????? n () 這是一個(gè)以ｎ＝τ為中心偶對(duì)稱(chēng)的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，要想用一個(gè)有限長(zhǎng)的因果序列去逼近它，最簡(jiǎn)單的方法是截取 ｎ 從 0到 N1的一段來(lái)表示它，即 h(n)= )(nhd )10( ??? Nn ；其他 N： h(n)=0。 同時(shí)，為了保證線性相位，還要滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng) h(n)=h(N1n)。這就好像 通過(guò)一個(gè)窗口觀看到的一段 )(nhd ，因此 h(n)就表示成 )(nhd 和一個(gè)窗口函數(shù)的乘積，這樣對(duì) h(n)的求解就變?yōu)?h(n)＝ )(nhd * nW ，這里的 nW 就稱(chēng)為窗口函數(shù) , 既然一個(gè)頻域上的標(biāo)準(zhǔn)的矩形窗口對(duì)應(yīng)于時(shí)域是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列 , 那么在時(shí)域上截取一段勢(shì)必造成頻域的矩形窗口的失真。結(jié)果就是截取出的信號(hào)也相應(yīng)失真，為了補(bǔ) 償這種失真，只有改變?cè)瓉?lái)窗口的形狀，修正經(jīng)過(guò)時(shí)域截取后的窗口失真。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法的基本步驟是： (1) 把 ? ?jwd eH 展成 FS，得 )(nhd ； (2) 對(duì) )(nhd 自然截短到所需的長(zhǎng)度，如 2M+1； (3) 將截短后的 )(nhd 右移 M 個(gè)采樣間隔，得 h(n)； (4) 將 h(n)乘以合適的窗口，即得所要濾波器的沖擊響應(yīng)，窗函數(shù)以 n=M 對(duì)稱(chēng)。利用所求得的單位抽樣響應(yīng)，即 可用硬件構(gòu)成濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù) H(z)，也可利用 h(n)在計(jì)算機(jī)上用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波。 頻率抽樣法 窗函數(shù)法是從時(shí)域出發(fā)，用窗函數(shù)截取理想的 ??nhd 得到 h(n)，以此有限長(zhǎng)的 h(n)近似 ??nhd ，這樣得到的頻率響應(yīng) ? ??jeH 逼近于理想的頻響 ? ?jwd eH 。頻率抽樣法是從頻率出發(fā)， 將給定的理想頻響 ? ?jwd eH 加以等間隔抽樣 。 ? ?jwd eH ? ?kHdNk?? ?? 2 () 然后以此 ??kHd 作為 FIR濾波器的頻率響應(yīng)抽樣值 H(k)，再根據(jù) DFT（離散付氏變換）定義由頻域這 N個(gè)抽樣值來(lái)唯一確定一個(gè)有限長(zhǎng)序列 h(n)，同樣也可以算出 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)及頻率響應(yīng) ? ??jeH ，可以推出頻率響應(yīng) ? ??jeH 是頻率抽樣值 H(k)與線性相位因子 ? ? 2/1?? Nje ? 及如下內(nèi)插函數(shù) S(ω , k) 的線性組合。 S(ω , k)=?????? ??NkNeN Nkj????2sin2sin1 () 所以，在各頻率取樣點(diǎn)上，實(shí)際濾波器的頻響是嚴(yán)格地和所要求的濾波器的頻響一致的，逼近誤差為零，但在抽樣點(diǎn)之間的頻響是各取樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成，有一定的逼近誤差，誤差大小取決于頻率響應(yīng)曲線的圓滑程度和抽樣點(diǎn)的密度 為了減少誤差 就要增加抽樣點(diǎn)數(shù)目即增大采樣頻率，抽樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則逼近誤 差越大，在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生肩峰和紋波。頻率抽樣法的優(yōu)點(diǎn)是可以直接在頻域設(shè)計(jì)，適于利用最優(yōu)化方法，而且這種方法特別適用于窄帶選頻濾波器， 但頻率抽樣法的抽樣頻率只能是 2π / N 的整數(shù)倍或 2π / N 的整數(shù)倍加上π / N不能保證截止頻率ω c的準(zhǔn)確取值，要實(shí)現(xiàn)精確的ω c就必須取 N大，相應(yīng)的計(jì)算量也大。此外，它的阻帶最大衰減一般，也只有 3050dB左右， 很難滿(mǎn)足頻域特性要求較高的場(chǎng)合。 Chebyshev 逼近法 窗函數(shù)法和頻率采樣法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)所給 理想頻率特性 ? ?jwd eH 的逼近。由數(shù)值逼近理論可知，對(duì)某個(gè)函數(shù) f(x)的逼近一般有以下三種方法： 插值法 (Interpolating Way) 最小平方逼近法 (Least Square Approaching Way) 一致逼近法 (Consistent Approaching Way) 切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，對(duì)于給定區(qū)間 [a， b]上的連續(xù)函數(shù) ??xf ，在所有 n次多項(xiàng)式的集合 n? 中，尋 找一個(gè)多項(xiàng)式 p (x)，使它在 [a， b]上對(duì) ??xf 的偏差和其它一切屬于 n? 的多項(xiàng)式 p(x)對(duì) f(x)的偏差相比是最小的，即 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?xfxpxfxp ??? m a xm i n?m a x () 切比雪夫逼近理論，這樣的多項(xiàng)式是存在的，且是唯一的，并指出了構(gòu)造這種最佳一致逼近多項(xiàng)式的方法，就是有名的“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”。 切比雪夫逼近理論解決了 p(x)的存在性、唯一性和如何構(gòu)造等問(wèn)題。、 、 等人應(yīng)用切比雪夫逼近理論提出了一種設(shè)計(jì)FIR濾波器的計(jì)算機(jī)輔助算法。這種算法由于是在一致意義上對(duì) ? ?jwd eH 作最佳逼近，因而獲得了較好的通帶和阻帶性能，并能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶的邊緣。但它的效率依賴(lài)于初始極值頻率點(diǎn)的估計(jì)，且通帶和阻帶內(nèi)波紋數(shù)較多，這是 Chebyshev方法的兩個(gè)主要缺點(diǎn)。 FIR 濾波器的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) MATLAB信號(hào)處理工具箱提供了基于窗函數(shù)法的 FIR濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù) fir1。 fir1是采用經(jīng)典窗函數(shù)法 設(shè)計(jì)線性相位 FIR數(shù)字濾波器，且具有標(biāo)準(zhǔn)低通、帶通、高通和帶阻等類(lèi)型 ]12~11[ 。 語(yǔ)法格式： B=fir1（ n, nW ） B=fir1（ n, nW ,‘ftype‘） B=fir1（ n, nW ,window） B=fir1（ n, nW ,‘ftype‘， window） 其中， n 為 FIR 濾波器的階數(shù)，對(duì)于高通、帶阻 濾波器 n 取偶數(shù)。 nW 為濾波器截止頻率，取值范圍為 0~1。對(duì)于帶通、帶阻濾波器， nW =[ 1W ， 2W ]，且 1W 2W 。 ‘ftype‘為濾波器類(lèi)型。缺省時(shí)為低通或帶通濾波器，為‘ high’時(shí)是高通濾波器，為‘ stop’時(shí)是帶阻濾波器。 Window 為窗函數(shù)，列向量，其 長(zhǎng)度為 n+1；缺省時(shí)，自動(dòng)取 hamming窗。輸出參數(shù) B 為 FIR 濾波器系數(shù)向量，長(zhǎng)度為 n+1。 帶通濾波器的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 使用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗、布萊克曼窗四種窗對(duì)帶通原型進(jìn)行截取。帶通濾波器的指標(biāo)性能給出如下： 下阻帶邊緣： ?? ?s ， dBAs 60? 下通帶邊緣： ?? ?p ， dBRp 1? 上通帶邊緣： ?? ?p ， dBRp 1? 上阻帶邊緣： ?? ?s ， dBAs 60? 設(shè)計(jì)結(jié)果如 、 、 、 。 圖 矩形窗設(shè)計(jì) 圖 圖 hamming 窗設(shè)計(jì) 圖 布萊克曼窗設(shè)計(jì) 低通濾波器的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下： 250?fs kHz, 20?pf kHz， 30?sf kHz， 通帶最大衰減 3dBpA ? ，阻帶最小衰減50dBsA ? 。 將其換算成數(shù)字域的性能指標(biāo)如下： 通帶截止頻率 p???，通帶最大衰減 3dBpA ?； 阻帶截止頻率 ??? ，阻帶最小衰減 50dBsA ? 。 根據(jù)窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)原則，由表 ，海明窗（ hamming） 可提供大于 50dB的衰減。 要求濾波器的過(guò)渡帶為： 0. 24 0. 16 0. 08sp? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由表 ，利用海明窗設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶 8/N???? ，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)度為： 88 1000 .0 8N ????? ? ?? ，取 N=101。 通過(guò) FIR1函數(shù)設(shè)計(jì)出濾波器的單位沖激響應(yīng)序列，用它來(lái)作為在下一章中 DSP設(shè)計(jì)程序中的系 數(shù)。其設(shè)計(jì)結(jié)果如圖 。 (a)幅度響應(yīng) (b)相位響應(yīng) 圖 hamming窗濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 4 FIR 濾波器的應(yīng)用及其 DSP 實(shí)現(xiàn) FFT/IFFT 算法程序及應(yīng)用 FFT 設(shè)計(jì)方法 FFT是 DFT的一個(gè)快速算法，是為減少 DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法。它是將 DFT分解開(kāi)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，理論上是一致的，只是通過(guò)分解 DFT運(yùn)算來(lái)達(dá)到減少運(yùn)算量的目的。其突出的優(yōu)點(diǎn)在于能快速高效地和比較精確地完成 DFT的計(jì)算。 利用一定的運(yùn)算結(jié)構(gòu)變換，將 N點(diǎn)的 DFT 轉(zhuǎn)化成多個(gè)小的點(diǎn)數(shù) DFT 的運(yùn)算，再利用 knNW 的周期性和對(duì)稱(chēng)性，就能大大減少計(jì)算量。 FFT 算法將長(zhǎng)序列的 DFT分解為短序列 DFT， N 點(diǎn)的DFT先分解為 2個(gè) N/2點(diǎn)的 DFT，每個(gè) N/2點(diǎn)的 DFT又分解為 N/4點(diǎn)的 DFT，如此這般。這里最小的變換點(diǎn)數(shù)即所謂的基數(shù)（ radix），因此，基數(shù)為 2的 FFT算法的最小變換或稱(chēng)蝶形變換就是 2點(diǎn) DFT，是最基本的運(yùn)算單位，一般 N點(diǎn) FFT對(duì)應(yīng)于 N個(gè)輸入樣值，有 N個(gè)頻域樣值與之對(duì)應(yīng)。 DFT 分解法基本上分為兩類(lèi)：一類(lèi)是將時(shí)間序列 x(