【文章內(nèi)容簡介】 收端都是發(fā)出或接收一路信號。所以，前兩種濾波器還是現(xiàn)在濾波器設計的主要方面，例如在線譜分析、基音檢測、線性預測編碼等方面都有著廣泛的應用。 本來在計算量相等的情況下， IIR 數(shù)字濾波器比 FIR 濾波器的幅頻特性優(yōu)越，頻率選擇性也好，但是，它有著致命的缺點，相位特性不好控制。它的相位特性 f(w) ??argH( jwe )是使頻率產(chǎn)生嚴重的非線性的原因，這 種‘與’的非線性關系，使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發(fā)生了畸變。如果需要線性相位，就必須用全通網(wǎng)絡進行復雜的相位校正，但是，在對程序運行周期數(shù)要求十分嚴格的 DSP 處理中加上一個全通均衡器是十分浪費資源的。另外，即使加上全通均衡器，對于因果的 IIR 濾波器，仍將得不到線性的相位。 在現(xiàn)代電子系統(tǒng)中，如圖像處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中都越來越多的要求信道具有線性的相位特性。在這方面 FIR濾波器具有獨到的優(yōu)點，它可以在幅度特性隨意設計的同時，保證精確、嚴格的線性相位，因此這類濾波器應用很廣泛。 FIR 濾波器的基本結構 數(shù)字濾波是將輸入的信號序列，按規(guī)定的算法進行處理，從而得到所期望的輸出序列。一個線性位移不變系統(tǒng)的輸出序列 y(n)和輸入 x(n)之間的關系，應滿足常系數(shù)線性差分方程，見公式 ， ? ? ? ? ? ??? ??? ???? Mi iNi i inyainxbny 110 0?n () 其中， x(n)為輸入序列， y(n)為輸出序列， kk ba和 為濾波器系數(shù)， N是濾波器的階數(shù)。若上式中所有的 kb 均為零，則有 FIR濾波器的差分方程為： ??? ?? 10 )()( Nk k knxany () 對上式進行 Z變換得到 FIR濾波器的傳遞函數(shù)為： ? ? ? ?? ? ??? ??? 10Ni kk zbzX zYzH () 由上式可以看出， H(z)是 1?Z 的 N1次多項式，它在 z平面內(nèi)有 N1個零點，同時在原點處有 N1個重極點。 N階濾波器通常采用 N個延遲單元、 N個加法器與 N+1個乘法器 ，取圖 31 中 (a)、 (b)兩種結構。 圖 FIR濾波器的一般結構 因為 FIR濾波器的單位抽樣響應是有限長的，所以它永遠是穩(wěn)定的。另外，若對 h(n)提出一些約束條件，那么可以很容易地使 H(z)具有線性相位，這在信號處理的很多領域是非常重要的。 FIR濾波器的設計任務，是要決定一個轉移函數(shù) H(z)，使它的頻率響應滿足給定的要求。這里所說的要求，除了通帶頻率 p? 、阻帶頻率及兩個帶上的最大和最小衰減 p? 和 s? 外，很重要的一條是保證 H(z)具有線性相位。 FIR 濾波器的常規(guī)設計方法 FIR濾波器的設計任務就是給定要求的頻率特性，按一定的最佳逼近準則，選取濾波器轉移函數(shù) H(z)中的各個參數(shù) h(n)，即濾波器的單位抽樣響應及階數(shù) N，使得頻率特性滿足設計要求。通常 FIR濾波器的設計方法主要有三種：窗函數(shù)法、頻率抽樣法和切比雪夫等波紋逼近法。其中窗函數(shù)法可以應用比較現(xiàn)成的窗函數(shù)，因而設計簡單，在指標要求不高的場合使用方便靈活。下面我們來簡單介紹一下這三種設計方法。 窗函數(shù)法 窗函數(shù)法也稱為傅立葉級數(shù)法。理想的數(shù)字濾波器頻率特性 )( jweH 是無法實現(xiàn)的， FIR的設計就是要尋找一個可以得到的頻率特性 )( jweH =????10 )(Nnjwnenh 來逼近 )( jweH ，這相當于用一個可實現(xiàn)的單位脈沖響應 h(n)去逼近一個理想單位脈沖響應 )(nhd 。 )(nhd 可由理想頻率特性 )( jwd eH 通過傅氏反變換得到， ?? ?? deeHnh jwjwdd ??? )(21)( () 一般來說，這樣得到的理想單位脈沖響應序列 )(nhd 是個無限長序列，因而是非因果的。設有一個截止頻率為 c? 的理想線性相位低通，延時為 τ，其頻率特性是： ? ? ??? ?? ??? ??? ??ccjw ajwd eeH 0 0 () 得到： )(nhd ＝ ? ?)( )(sin ?? ?? ??n nc ????? n () 這是一個以ｎ＝τ為中心偶對稱的無限長非因果序列，要想用一個有限長的因果序列去逼近它，最簡單的方法是截取 ｎ 從 0到 N1的一段來表示它，即 h(n)= )(nhd )10( ??? Nn ；其他 N： h(n)=0。 同時，為了保證線性相位，還要滿足偶對稱 h(n)=h(N1n)。這就好像 通過一個窗口觀看到的一段 )(nhd ，因此 h(n)就表示成 )(nhd 和一個窗口函數(shù)的乘積，這樣對 h(n)的求解就變?yōu)?h(n)＝ )(nhd * nW ，這里的 nW 就稱為窗口函數(shù) , 既然一個頻域上的標準的矩形窗口對應于時域是一個無限長的序列 , 那么在時域上截取一段勢必造成頻域的矩形窗口的失真。結果就是截取出的信號也相應失真，為了補 償這種失真，只有改變原來窗口的形狀，修正經(jīng)過時域截取后的窗口失真。 窗函數(shù)設計方法的基本步驟是： (1) 把 ? ?jwd eH 展成 FS，得 )(nhd ； (2) 對 )(nhd 自然截短到所需的長度，如 2M+1； (3) 將截短后的 )(nhd 右移 M 個采樣間隔，得 h(n)； (4) 將 h(n)乘以合適的窗口，即得所要濾波器的沖擊響應，窗函數(shù)以 n=M 對稱。利用所求得的單位抽樣響應，即 可用硬件構成濾波器的轉移函數(shù) H(z)，也可利用 h(n)在計算機上用軟件來實現(xiàn)濾波。 頻率抽樣法 窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，用窗函數(shù)截取理想的 ??nhd 得到 h(n)，以此有限長的 h(n)近似 ??nhd ，這樣得到的頻率響應 ? ??jeH 逼近于理想的頻響 ? ?jwd eH 。頻率抽樣法是從頻率出發(fā)， 將給定的理想頻響 ? ?jwd eH 加以等間隔抽樣 。 ? ?jwd eH ? ?kHdNk?? ?? 2 () 然后以此 ??kHd 作為 FIR濾波器的頻率響應抽樣值 H(k)，再根據(jù) DFT（離散付氏變換）定義由頻域這 N個抽樣值來唯一確定一個有限長序列 h(n)，同樣也可以算出 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)及頻率響應 ? ??jeH ，可以推出頻率響應 ? ??jeH 是頻率抽樣值 H(k)與線性相位因子 ? ? 2/1?? Nje ? 及如下內(nèi)插函數(shù) S(ω , k) 的線性組合。 S(ω , k)=?????? ??NkNeN Nkj????2sin2sin1 () 所以，在各頻率取樣點上，實際濾波器的頻響是嚴格地和所要求的濾波器的頻響一致的，逼近誤差為零，但在抽樣點之間的頻響是各取樣點的內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成，有一定的逼近誤差，誤差大小取決于頻率響應曲線的圓滑程度和抽樣點的密度 為了減少誤差 就要增加抽樣點數(shù)目即增大采樣頻率，抽樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則逼近誤 差越大，在理想頻率特性的不連續(xù)點附近會產(chǎn)生肩峰和紋波。頻率抽樣法的優(yōu)點是可以直接在頻域設計，適于利用最優(yōu)化方法，而且這種方法特別適用于窄帶選頻濾波器， 但頻率抽樣法的抽樣頻率只能是 2π / N 的整數(shù)倍或 2π / N 的整數(shù)倍加上π / N不能保證截止頻率ω c的準確取值，要實現(xiàn)精確的ω c就必須取 N大，相應的計算量也大。此外，它的阻帶最大衰減一般，也只有 3050dB左右， 很難滿足頻域特性要求較高的場合。 Chebyshev 逼近法 窗函數(shù)法和頻率采樣法設計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對所給 理想頻率特性 ? ?jwd eH 的逼近。由數(shù)值逼近理論可知，對某個函數(shù) f(x)的逼近一般有以下三種方法： 插值法 (Interpolating Way) 最小平方逼近法 (Least Square Approaching Way) 一致逼近法 (Consistent Approaching Way) 切比雪夫最佳一致逼近的基本思想是，對于給定區(qū)間 [a， b]上的連續(xù)函數(shù) ??xf ，在所有 n次多項式的集合 n? 中，尋 找一個多項式 p (x)，使它在 [a， b]上對 ??xf 的偏差和其它一切屬于 n? 的多項式 p(x)對 f(x)的偏差相比是最小的，即 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?xfxpxfxp ??? m a xm i n?m a x () 切比雪夫逼近理論，這樣的多項式是存在的，且是唯一的，并指出了構造這種最佳一致逼近多項式的方法，就是有名的“交錯點組定理”。 切比雪夫逼近理論解決了 p(x)的存在性、唯一性和如何構造等問題。、 、 等人應用切比雪夫逼近理論提出了一種設計FIR濾波器的計算機輔助算法。這種算法由于是在一致意義上對 ? ?jwd eH 作最佳逼近，因而獲得了較好的通帶和阻帶性能，并能準確地指定通帶和阻帶的邊緣。但它的效率依賴于初始極值頻率點的估計，且通帶和阻帶內(nèi)波紋數(shù)較多，這是 Chebyshev方法的兩個主要缺點。 FIR 濾波器的 MATLAB 實現(xiàn) MATLAB信號處理工具箱提供了基于窗函數(shù)法的 FIR濾波器的設計函數(shù) fir1。 fir1是采用經(jīng)典窗函數(shù)法 設計線性相位 FIR數(shù)字濾波器，且具有標準低通、帶通、高通和帶阻等類型 ]12~11[ 。 語法格式： B=fir1（ n, nW ） B=fir1（ n, nW ,‘ftype‘） B=fir1（ n, nW ,window） B=fir1（ n, nW ,‘ftype‘， window） 其中， n 為 FIR 濾波器的階數(shù)，對于高通、帶阻 濾波器 n 取偶數(shù)。 nW 為濾波器截止頻率，取值范圍為 0~1。對于帶通、帶阻濾波器， nW =[ 1W ， 2W ]，且 1W 2W 。 ‘ftype‘為濾波器類型。缺省時為低通或帶通濾波器，為‘ high’時是高通濾波器，為‘ stop’時是帶阻濾波器。 Window 為窗函數(shù)，列向量，其 長度為 n+1；缺省時，自動取 hamming窗。輸出參數(shù) B 為 FIR 濾波器系數(shù)向量，長度為 n+1。 帶通濾波器的 MATLAB 實現(xiàn) 使用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗、布萊克曼窗四種窗對帶通原型進行截取。帶通濾波器的指標性能給出如下： 下阻帶邊緣： ?? ?s ， dBAs 60? 下通帶邊緣： ?? ?p ， dBRp 1? 上通帶邊緣： ?? ?p ， dBRp 1? 上阻帶邊緣： ?? ?s ， dBAs 60? 設計結果如 、 、 、 。 圖 矩形窗設計 圖 圖 hamming 窗設計 圖 布萊克曼窗設計 低通濾波器的 MATLAB 實現(xiàn) 用窗函數(shù)法設計 FIR低通濾波器，其技術指標如下： 250?fs kHz, 20?pf kHz， 30?sf kHz， 通帶最大衰減 3dBpA ? ，阻帶最小衰減50dBsA ? 。 將其換算成數(shù)字域的性能指標如下： 通帶截止頻率 p???，通帶最大衰減 3dBpA ?； 阻帶截止頻率 ??? ，阻帶最小衰減 50dBsA ? 。 根據(jù)窗函數(shù)法的設計原則，由表 ，海明窗（ hamming） 可提供大于 50dB的衰減。 要求濾波器的過渡帶為： 0. 24 0. 16 0. 08sp? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由表 ，利用海明窗設計的濾波器的過渡帶 8/N???? ，所以低通濾波器單位脈沖響應的長度為： 88 1000 .0 8N ????? ? ?? ，取 N=101。 通過 FIR1函數(shù)設計出濾波器的單位沖激響應序列，用它來作為在下一章中 DSP設計程序中的系 數(shù)。其設計結果如圖 。 (a)幅度響應 (b)相位響應 圖 hamming窗濾波器的幅度響應與相位響應 4 FIR 濾波器的應用及其 DSP 實現(xiàn) FFT/IFFT 算法程序及應用 FFT 設計方法 FFT是 DFT的一個快速算法，是為減少 DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法。它是將 DFT分解開來進行運算，理論上是一致的，只是通過分解 DFT運算來達到減少運算量的目的。其突出的優(yōu)點在于能快速高效地和比較精確地完成 DFT的計算。 利用一定的運算結構變換，將 N點的 DFT 轉化成多個小的點數(shù) DFT 的運算，再利用 knNW 的周期性和對稱性，就能大大減少計算量。 FFT 算法將長序列的 DFT分解為短序列 DFT， N 點的DFT先分解為 2個 N/2點的 DFT，每個 N/2點的 DFT又分解為 N/4點的 DFT，如此這般。這里最小的變換點數(shù)即所謂的基數(shù)（ radix），因此，基數(shù)為 2的 FFT算法的最小變換或稱蝶形變換就是 2點 DFT，是最基本的運算單位，一般 N點 FFT對應于 N個輸入樣值，有 N個頻域樣值與之對應。 DFT 分解法基本上分為兩類：一類是將時間序列 x(