【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在求和過(guò)程中 相加為零，所以右端總和為零 。假如天體的ijr?? 10niimr????質(zhì)量 m 與時(shí)間 t 無(wú)關(guān),積分上 式得： ，其中 是積分常數(shù)，()式表明11niimrC???1n 個(gè)天體在相互引力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的總動(dòng)能量守恒。將()式對(duì)時(shí)間再積分一次，得： 121niirt????()是又一積分常數(shù)。設(shè) 是 N 體系質(zhì)心的位置矢量，利用質(zhì)心的定義2C?cr? ，將（）式可以寫(xiě)成：11nniciiimr???12cMrCt??()其中 M 為系統(tǒng)質(zhì)量之總和。 （）和（）式，可得： 10niimr???? 。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程立即可降低 6 價(jià)。21niimrC??167。 角動(dòng)量守恒將方程（）兩端乘 ，并將 i 求和：ir?311nnijii iji jGmmr??????()同樣由于 項(xiàng)與 之和為零，故上式ijr?ijr右端總和也為零，積分后得： 31niiirC???()稱(chēng)為角動(dòng)量積分常數(shù)。由此可見(jiàn)通過(guò)系統(tǒng)的質(zhì)心作一個(gè)平面垂直于 ，該平面3C 3C不隨天體運(yùn)動(dòng)而改變，故稱(chēng)不變平面，對(duì)于太陽(yáng)系，過(guò)太陽(yáng)的這一平面稱(chēng)為拉普拉斯不變面。167。 能量積分將運(yùn)動(dòng)方程兩端點(diǎn)乘 并對(duì) i 求和： ir?11nniiii iUmrr??????????()限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用51niidUrt?????? ()故()式右端是 ，積分后得：dt21niimrE????() E 為積分常數(shù)，上式左端為系統(tǒng)的總動(dòng)能 T，可將()寫(xiě)作：T—U=E，故()式的物理意義是能量守恒。至此，我們得到三個(gè)動(dòng)量積分()，三個(gè)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)積分(),三個(gè)角動(dòng)量積分 ()和一個(gè)能量積分，() 共十個(gè)積分，這十個(gè)積分稱(chēng)作 N體問(wèn)題的首次積分，利用這十個(gè)首次積分可將低 N 體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程的價(jià)數(shù)。167。 二體問(wèn)題運(yùn)動(dòng)方程二體問(wèn)題是天體力學(xué)中 N=2 時(shí)唯一能得到完全解的一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)二體問(wèn)題又往往是多體問(wèn)題和復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的一級(jí)近以，它是研究 天體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基礎(chǔ)，故是天體力學(xué)中一個(gè)基本問(wèn)題。設(shè)有兩個(gè)天體 P1 和 P2 ，它們的質(zhì)量分別是 M， m, 根據(jù)相互的引力作用下，它們?cè)趹T性系的運(yùn)動(dòng)方程是： 13Gmrr???????()這里 ，如將原點(diǎn)選擇在質(zhì)心 O，如圖（11） ，21r???根據(jù)質(zhì)心的定義有 ，因此（）式可寫(xiě)成：12120, Mrmr?????312232()Gmrrr?????????()r?2r?1r?新疆大學(xué) 2022屆本科生畢業(yè)論文6（）式是兩組相互獨(dú)立的二價(jià)常微分方程，每一組有三個(gè)二價(jià)常微分方程組成，其完全解應(yīng)有六個(gè)獨(dú)立積分。根據(jù)（）, 相對(duì) 的運(yùn)動(dòng)方程是：2p1 3()GMmrr????()（）式也是三個(gè)二價(jià)常微分方程?？梢?jiàn)對(duì)于二體問(wèn)題，無(wú)論是相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)還是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程都是六價(jià)的，可列成如下的統(tǒng)一形式： 3()rr????()若是相對(duì)運(yùn)動(dòng) 。若是相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng) （）式的完全解()GMm???32()GMm?應(yīng)該有六個(gè)獨(dú)立積分。第二章 限制性三提問(wèn)題167。 什么叫限制性三體問(wèn)題 一般三體問(wèn)題經(jīng)過(guò)降價(jià)后，仍沒(méi)有解決，并且連一個(gè)新的初積分都還沒(méi)有找到。對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際問(wèn)題，但大家采用數(shù)值方法或攝動(dòng)方法找出問(wèn)題的近以解。另外，又從理論上提出一些近以模型。這些模型當(dāng)然是叁照天體具體情況提出的。試圖通過(guò)解決一些近以的問(wèn)題 促進(jìn)一般問(wèn)題的解決。限制性三提問(wèn)題就是一種重要的近以模型。從本節(jié)開(kāi)始，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的基本情況作些介紹。 先談一下更廣泛的限制性問(wèn)題。在討論天體或天體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)該考慮所有的作用力。但是作用力是很難全部考慮完的，使全部找出后，運(yùn)動(dòng)方程也是無(wú)法解出的。就以 n 體問(wèn)題為列，其中只考慮 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間萬(wàn)有引力，運(yùn)動(dòng)方程也解不出來(lái)。主要困難在于運(yùn)動(dòng)方程的價(jià)數(shù)太高，很難用分析方法或定性方法進(jìn)行討論。于是，邦加雷等人提出一種簡(jiǎn)化模型：只討論一個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)，而這個(gè)天體所受的作用力是以知的，可以用時(shí)間的已知函數(shù)來(lái)表示。這種類(lèi)型的問(wèn)題中已進(jìn)行過(guò)大量研究的有：希耳問(wèn)題，兩個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題，多個(gè)不動(dòng)中心問(wèn)題，或法都問(wèn)題，限制性三體問(wèn)題等 。這里只介紹最后一個(gè)。限制性三體問(wèn)題是從太陽(yáng)系實(shí)際情況提出來(lái)的。在太陽(yáng)系中，有很多質(zhì)量非常小的天體，如絕大多數(shù)小星行，衛(wèi)星，流星等。根本不必考慮它們對(duì)其它天體的引力。由此抽象出下面一種力學(xué)模型：三體 m1 m2 m 中，設(shè) m 無(wú)窮小，認(rèn)為它對(duì) m1 m2沒(méi)有引力，只考慮 m1 m2的相互吸引力和對(duì) m 的引力。研究此三體情況的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就叫做限制性三體問(wèn)題。限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用7167。 圓形限制性三體問(wèn)題 運(yùn)動(dòng)方程圖（12） 代表兩個(gè)有限質(zhì)量的12,p天體，通常稱(chēng)主星體，OP2r?1r???yx12P圖（12）它們的質(zhì)量分別是 ，它們繞質(zhì)心 o 作運(yùn)動(dòng)。P 代表小天體，其質(zhì)量為 m，m 12,m ， 為一固定坐標(biāo)系， 平面與 的軌道平面重合，12,m?????n?12,p在該坐標(biāo)系中 的位置分別用 和 表12,p 2(0)(,0)R??(,)r???示之， 至 的2,距離用 表示，P 點(diǎn)的引力為函數(shù)：1r 12GmVr??()小天體 P 的運(yùn)動(dòng)方程： 1122331233()()rrmGr????????? ????? ????????? ?? ??()P1，P 2相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)角速度 n，側(cè)有：新疆大學(xué) 2022屆本科生畢業(yè)論文81122coscosin, in000RtRt??????????????????????????()顯然式()右端含之間 t， 如果選用以 n 為角速度的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 oxyz，使 xy 平面重合于 平面，x 軸始終指向 P1 ，在該坐標(biāo)系??中 P1，P 2和 P 的位置分別是根據(jù)坐標(biāo)系變換212(,0)(,)(,RxrxyzRR???常 數(shù) ， 常 數(shù) 。 12332 123()()001 =mxxVryynynyGyzzzzzr???????????????????????????????????()但 應(yīng)該用新坐標(biāo)表示，12,r22211r()xyz???()（)式也可以寫(xiě)成： 12GmVr??()2Vxnyxyxz????????????()若令 2221211=()Gmnnxyr??（ +y） V=()側(cè)運(yùn)動(dòng)方程()成為 12r?()限制性三體問(wèn)題的已知解及其應(yīng)用9 ()2xnyz???????????? 習(xí)慣上質(zhì)量較小的主星體的質(zhì)量 2112,R=1m??????為 ， 故 有 ， 12GmVr??()是等效面：?212212()()nxyrrz?????() Lagrange 特解運(yùn)動(dòng)方程()存在一組常數(shù)解，這時(shí)小天體相對(duì)旋轉(zhuǎn)系位置不變，即。由 r =0,? 0xyz???()得到該組特解應(yīng)滿(mǎn)足： 3312133121()()0()0xxrryzr?????????????()12GmVr?()由()第三式看出 z=0，所以特解必在 xy 平面上第二式的解，可分兩種情況：新疆大學(xué) 2022屆本科生畢業(yè)論文10 312()0,0yr????()將（） 式代入()第一式得 3312(()rr??）()故對(duì)應(yīng)的特解應(yīng)與 ，構(gòu)成等邊三角形，如圖（13）的12,r?2,p.顯然45(,)LXY和 （ ） m2m1 L5L4 L1L2L3 Lagrange 平動(dòng)點(diǎn)（13）圖稱(chēng)為等邊三角形解。45(,)LXY和 （ ,），這時(shí)特解在 x 軸上，故可令 第??312200yr????12r,1xr????一形式： 33(1)(+)x0x?????()分別是兩個(gè)奇點(diǎn)，容易看出（）式分別在 以,1x??? ??,1,()???及 三區(qū)內(nèi)有，且僅