41微積分第四章第一節(jié)(編輯修改稿)
2025-08-20 07:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (a, b為常數(shù)且 a≠0) . 8 三 .不定積分的幾何意義 y = F(x )函數(shù) ?(x)的一個原函數(shù) , 稱 y = F(x) 的圖形是 ?(x)的一條積分曲線 。 而 是 ?(x)的原函數(shù)一般表達式 , 所以它對應(yīng)的圖形是一族積分曲線稱它為積分曲線族 , 其特點是 : ()f x dx? (1)積分曲線族中任意一條曲線可 由其中某一條 (如 y =F(x))沿 y軸平行 移動 |c|個單位而得到 . (如圖 )當 c0時 , 向上移動 。 當 c0時 , 向下移動 . o x y x y=F(x) { |c| 9 o x y x y=F(x) ( ( ) ) ( ) ( )F x C F x f x??? ? ?(2) 即橫坐標相同點處 , 每條積分曲線上 相應(yīng)點的切線斜率相等 , 都為 ?(x) . 從而相應(yīng)點的切線相互平行 . 注 4:當需要從積分曲線族中求出 過點 的一條積分曲線時 , 則只須把 代入 y = F(x) + C中解出 C即可 . 00( , )xy00( , )xy 10 例 4 已知一條曲線在任意一點的切線斜率等于該點橫坐標 的倒數(shù) , 且過點 求此曲線方程 . 3( ,5),e解 設(shè)所求曲線為 y = ?(x) , 則 1 dydx x?由題意1 lny d x x Cx? ? ? ??3 5 xey ? ?由條件 知有 35 ln ,eC?? 2 .C ?得故所求曲線為 y = ln|x| + 2 四 .不定積分的性質(zhì) 性質(zhì) 1 ( 1 ) [ ( ) ] ( ) f x d x f x? ?? 或[ ( ) ] ( ) .d f x d x f x d x??.即積分與求導二者作用抵消11 即 是 ?(x) 177。 g(x)的原函數(shù) . 性質(zhì) 3的推廣 11( ) ( )nniiiif x d x f x d x???????性質(zhì) 2 ( ) ( ) ( 0 )k f x d x k f x d x k????性質(zhì) 3 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )f x g x d x f x d x g
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