第八章第二節(jié)直線方程(編輯修改稿)
2025-08-19 10:14 本頁面
【文章內容簡介】 2－ a＝ 0(a∈ R)． (1)若 l在兩坐標軸上截距相等，求 l的方程； (2)若 l不經過第二象限，求實數 a的取值范圍． a [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)當直線過原點時，該直線在 x軸和 y軸上的截距為零， ∴ 相等． ∴ a＝ 2，方程即為 3x＋ y＝ 0. 當直線不過原點時，由截距存在且均不為 0， ∴ ＝ a－ 2(a≠－ 1)，即 a＋ 1＝ 1， ∴ a＝ 0，方程即為 x＋ y＋ 2＝ 0. 綜上可知， l的方程為 3x＋ y＝ 0或 x＋ y＋ 2＝ 0. (2)法一： 將 l的方程化為 y＝－ (a＋ 1)x＋ a－ 2， ∴ 或 ∴ a≤－ 1. 綜上可知 a的取值范圍是 a≤－ 1. 法二： 將 l的方程化為： (x＋ y＋ 2)＋ a(x－ 1)＝ 0(a∈ R)． 它表示過 l1： x＋ y＋ 2＝ 0與 l2： x－ 1＝ 0交點 (1，－ 3)的直線系 (不包括 x＝ 1)．由圖象可知 l的斜率－ (a＋ 1)≥0，即 a≤－ 1時，直線 l不經過第二象限 . 利用直線方程解決問題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡化運算． 1．一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式． 2．從所求的結論來看，若求直線與坐標軸圍成的三角形面積或周長，常選用截距式或點斜式． [特別警示 ] “截距 ”并非 “距離 ”，可以是正的，也可以是負的，還可以是 0. 如圖，過點 P(2,1)作直線 l， 分別交 x、 y軸正半軸于 A、 B兩點． (1)當 △ AOB的面積最小時，求直線 l的方程； (2)當 |PA||PB|取最小值時，求直線 l的方程． [思路點撥 ] [課堂筆記 ] (1)法一： 設所求的直線方程為 ＝ 1(a0， b0)， 由已知得 ＝ 1，于是 . 當且僅當 ， 即 a＝ 4， b＝ 2時， 取最大值 ， 此時 S△ AOB＝ ab取最小值 4. 故所求的直線 l的方程為 ＝ 1，即 x＋ 2y－ 4＝ 0. 法二： 設直線 l的方程為 y－ 1＝ k(x－ 2)(k0)． 則 A(2－ ， 0)， B(0,1－ 2k)， ∴ S△ AOB＝
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