直線與橢圓位置關(guān)系(經(jīng)典)(編輯修改稿)
2025-08-18 17:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 線與橢圓的交點坐標，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得?、? 設(shè)直線與橢圓的交點為，則、是①的兩根，∴∵為中點，∴，．∴所求直線方程為．方法二：設(shè)直線與橢圓交點，．∵為中點，∴，．又∵，在橢圓上，∴，兩式相減得，即．∴．∴直線方程為．方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點．∵、在橢圓上，∴ ?、?。 ?、趶亩?，在方程①－②的圖形上，而過、的直線只有一條，∴直線方程為．說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法．若已知焦點是、的橢圓截直線所得弦中點的橫坐標是4，則如何求橢圓方程？例題已知橢圓及直線．（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即．，解得．（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，．根據(jù)弦長公式得 ：．解得．方程為．說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式．用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程．例題 已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.【解前點津】 由題設(shè)條件，不能確定焦點是在x軸，還是在y軸上，且對于a、b、c的關(guān)系條件未作定性說明，故可設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0，n0)簡便.【規(guī)范解答】 設(shè)橢圓方程為：mx2+ny2=1(m0，n0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由中消去y并依x聚項整理得：(m+n)x2+2nx+(n1)=0，Δ=4n24(m+n)(n1)0，即m+nmn0，OP⊥OQ等價于x1x2+y1y2=0，將y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴ ①又|PQ|=＝ ②聯(lián)立①②并解之得： 經(jīng)檢驗這兩組解都滿足Δ0，故所求橢圓方程為x2+3y2=2或3x2+
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