第一章集合論初步(編輯修改稿)
2025-08-16 14:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 A中不在集合 B中的元素所組成的集合叫做集合 A與集合 B的差，記作 A\B, 也就是 A\B={x?A | x?B} ? 對(duì)稱差： A?B=(A?B)\(A?B) ? 設(shè)集合 A?E, E\A叫做 A關(guān)于 E的余集，當(dāng)E是公認(rèn)的時(shí)候，簡(jiǎn)稱為 A的余集，記為A?. 集合運(yùn)算的性質(zhì) (I) ? 1. A?A ? 2. A?B,(且 )B?A ? A=B ? 3. A?B,B?C ? A?C ? 4. A, ? ?A ? 5. (?a Aa) ? B= ?a ( Aa ? B) ? 6. (?a Aa) ? B= ?a ( Aa ? B) ? 7. A?B ?A?B = B, A ? B = A ? 8. A?A?=E, A ? A?= ? 集合運(yùn)算的性質(zhì) (II) ? 9. ??=E, E?= ? ? 10. (?aAa)?= ?aA?a ? 11. (?aAa)?= ?aA?a ? 12. A?B=(A\B)?(B\A) ? 證明舉例： 3, 4, 5, 8, 10. 強(qiáng)調(diào) – 如何證明集合相等 – 利用運(yùn)算的定義 ? 習(xí)題： 6,7,9,11,12 3. 笛卡爾積 ? 集合 A和 B的笛卡爾積 C=A?B表示所有元素對(duì) (a,b)的集合 , 其中 a?A, b?B. 也就是 A?B={(a,b) | a?A, b?B} ? 笛卡爾積是定義種種數(shù)學(xué)概念的基本手段之一 4. 映射和函數(shù) ? 映射的現(xiàn)代定義和傳統(tǒng)定義 ? 與映射相關(guān)的術(shù)語(yǔ) ? 映射的分類 映射的現(xiàn)代定義和傳統(tǒng)定義 ? 映射的定義 : 集合 A, B的笛卡爾積 A?B的子集 f叫做集合 A到集合 B的映射 , 如果下列條件成立 : x?A, ?! (x,y) ?f ? 映射、函數(shù)和變換等等說(shuō)法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的意義下是同義詞，在實(shí)際使用中有所側(cè)重 ? 映射的記法 : f: A?B, 或 A?^f B ? 由集合 A到集合 B映射 f是這樣一個(gè)法則： x?A, ?! y?B與 x對(duì)應(yīng) , 記作 y=f(x) 與映射相關(guān)的術(shù)語(yǔ) ? 考慮映射 f: A?B. 有 x?A, ?! y?B使得 (x,y)?f. – 元素 y叫做 x在映射 F下的像 , 并且記為 y=f(x) – 元素 x叫做元素 y在映射 f下的一個(gè)原像 – A叫做映射 f的定義域 – f(A)={y?B | ?x?A, y=f(x)}叫做 f的值域 – x?A叫做自變量的值 (簡(jiǎn)稱自變量 ) – y=f(x)叫做函數(shù)在 x處的值 映射的分類 ? 考慮映射 f: A?B. – 滿射 : 如果
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