高二數(shù)學(xué)不等式和絕對值不等式(編輯修改稿)
2024-12-15 23:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解 法 對 嗎 ？練習(xí)： θ是銳角，求 y=sinθcos2θ的最大值。 2 2 4 2 2 222232 2 21si n c os 2 si n c os c os21 2 si n c os c os 4( ) ,2 3 2732 si n c os 1 si n , si n323.9y ? ? ? ? ????? ? ? ???????? ? ? ??max解 ：當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即時(shí) 取 等 號(hào) ， 此 時(shí) y2P1 1 1 5 },2 .2bh??2b課 本 第 題 已 知 a0, b0, 且 h=min{a, a求 證 ：22222 2 2 2222 2 2 2222 0 , 0 , 2 ,112 , , ,22 0 h=m i n{ a , } ,0h= m i n{ a , } ,12,.22a b a b aba b ab bab a b a bbaabbba b a bbhaab? ? ? ??? ? ? ????????? ? ? ??證 明 ：即 a由 于從 而 h 1在對角線有相同長度的所有矩形中，怎樣的矩形周長最長，怎樣的矩形面積最大？ 1已知球的半徑為 R，球內(nèi)球圓柱的底面半徑為 r，高為 h，則 r與 h為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大？ 二、絕對值不等式 絕對值三角不等式 實(shí)數(shù) a的 絕對值 |a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 a的點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離： O a A x |a| x A B a b |ab| 任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為 A、 B，那么 |ab|的幾何意義是 A、 B兩點(diǎn)間的距離。 聯(lián)系絕對值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究 |a|,|b|,|a+b|,|ab|等之間的關(guān)系： 分 ab0和 ab0兩種情形討論： （ 1）當(dāng) ab0時(shí)，如下圖可得 |a+b|=|a|+|b| O x a b a+b O x a b a+b （ 2）當(dāng) ab0時(shí)，也分為兩種情況：如果 a0,b0，如下圖可得： |a+b||a|+|b| O b a x a+b 如果 a0, b0，如下圖可得： |a+b||a|+|b| a+b a b x O （ 3）如果 ab=0，則 a=0或 b=0，易得： |a+b|=|a|+|b| 定理 1 如果 a, b是實(shí)數(shù)，則 |a+b|≤|a|+|b| 當(dāng)且僅當(dāng) ab≥0 時(shí)，等號(hào)成立。 探究 如果把定理 1中的實(shí)數(shù) a, b分別換成向量 a, b, 能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？ abab?O x y 探究 當(dāng)向量 a, b共線時(shí)，有怎樣的結(jié)論？ 這個(gè)不等式稱為 絕對值三角不等式。 定理 1的代數(shù)證明： 22 2 2 2 20 | | , | | ( )2 | | 2 | | | | ( | | | | ) | | | |ab ab ab a b a ba ab b a ab b a b a b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證 明 ： 當(dāng) 時(shí) ，22 2 2 22 2 20 , | | ( )2 | | 2 | | | || | 2 | | | | ( | | | | ) | | | | , | | | | | | ,0ab ab ab a b a ba ab b a ab ba ab b a b a ba b a bab? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ??當(dāng) 時(shí) ，所 以當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 。探究 你能根據(jù)定理 1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|ab|等之間的其他關(guān)系嗎？例如：|a||b|與 |a+b|， |a|+|b|與 |ab|， |a||b|與 |ab|等之間的關(guān)系。 |a||b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a b|, |a||b|≤|a b|. 如果 a, b是實(shí)數(shù)，那么 |a||b|≤|a 177。 b|≤|a|+|b| 例 1 已知 ε 0， |xa|ε ,|yb|ε ，求證： |2x+3y2a3b|5ε . 證明： |2x+3y2a3b|=|(2x2a)+(3y3b)| =|2(xa)+3(yb)|≤|2(xa)|+|3(yb)| =2|xa|+3|yb|2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y2a3b|5ε . 定理 2 如果 a, b, c是實(shí)數(shù)，那么
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