【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 和實(shí)行的辦法是要思考的問(wèn)題” （ 2）教學(xué)中的關(guān)鍵 ? 如何很好地去處理教學(xué)的“預(yù)設(shè)性”與“生成性”之間的關(guān)系，也即如何能夠圍繞核心問(wèn)題去進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)又能使之真正成為學(xué)生自己的問(wèn)題，包括針對(duì)學(xué)生的具體情況作出必要的調(diào)整？ [例 1] ―異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)（吳正憲） ? 教師出示了這樣 3道題： 1/4 + 7/12=？ 1/4 + 5/6=？ 1/4 – 1/7=？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎觥? ? 學(xué)生做完訂正后，老師又提了這樣幾個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題 1：這 3道題同學(xué)們都把異分母轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意什么？ 問(wèn)題 2：轉(zhuǎn)化的目的是什么？ 問(wèn)題 3：通過(guò)計(jì)算，你認(rèn)為異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法是什么？ 問(wèn)題 4：在計(jì)算時(shí)要注意什么問(wèn)題？ [例 2] ―百分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué) （黃愛(ài)華） ? 教學(xué)中教師首先要求學(xué)生自由地提出各種與百分?jǐn)?shù)直接相關(guān)的問(wèn)題；但與“放任自流”不同，教師通過(guò)對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行梳理歸納出了以下幾個(gè)問(wèn)題： 問(wèn)題 1：什么是百分?jǐn)?shù)的意義？ 問(wèn)題 2：百分?jǐn)?shù)有什么好處？ 問(wèn)題 3：在什么情況下用百分?jǐn)?shù)？ 問(wèn)題 4：百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)比較有什么不同？ （ 1）：努力增強(qiáng)課堂提問(wèn)的啟發(fā)性 ? 基本立場(chǎng)：立足日常的教學(xué)工作。 ? 現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題：重視課堂提問(wèn)是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要特色；但在現(xiàn)實(shí)中卻有普遍存在“問(wèn)題”多而不精這樣一個(gè)弊病。 ? 方向：努力增強(qiáng)課堂提問(wèn)的“啟發(fā)性”。 ―啟發(fā)性”的基本涵義 ?既有一定的啟示意義，即是有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展；但又非對(duì)于學(xué)生的硬性 規(guī)范，而是有一定的開(kāi)放性或自由度，也即能給學(xué)生的獨(dú)立思考留下充分的空間。 [例 ] 韋達(dá)定理的教學(xué) ? 兩種不同的提問(wèn)方式和教學(xué)設(shè)計(jì)： （ 1）先列表讓學(xué)生填充，然后問(wèn)：你認(rèn)為根與系數(shù)有什么關(guān)系？ 方程 X1 X2 X1 +X2 X1 X2 X2–X 12 = 0 X2 –6X +5 = 0 X2 –2X 35 = 0 另一種提問(wèn)方式 （ 2）什么是一元二次方程的主要成分？在一元二次方程的根與系數(shù)可能存在什么樣的關(guān)系？如何去作出發(fā)現(xiàn)？又應(yīng)如何去證明？ 相關(guān)的論述 ? ―教師的工作是通過(guò)向?qū)W生問(wèn)他們應(yīng)當(dāng)自己?jiǎn)栕约旱膯?wèn)題來(lái)對(duì)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決進(jìn)行指導(dǎo)。這是參與性的，不是指示性的；其基礎(chǔ)不是要尋找正確答案，而是針對(duì)專業(yè)的問(wèn)題解決者當(dāng)時(shí)會(huì)向自己提出的那些問(wèn)題?！保ò屠寂c達(dá)菲） 當(dāng)前的努力方向（ 2）：幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維 ? 數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有高度：不是停留于如何去做，而應(yīng)是如何去想！ ? 數(shù)學(xué)思維的具體表現(xiàn)：一些定型的問(wèn)題與策略。 ? “善于提問(wèn)”的主要涵義：解題策略的恰當(dāng)應(yīng)用，特別是，如何能夠提出對(duì)于當(dāng)前的學(xué)習(xí)活動(dòng)具有特別重要性的問(wèn)題。 當(dāng)前的努力方向（ 3）：加強(qiáng)學(xué)習(xí)，加強(qiáng)研究（聚焦“問(wèn)題解決”） ? 波利亞的貢獻(xiàn)：“問(wèn)題解決”現(xiàn)代研究的主要奠基者。 ? 主要工作：“數(shù)學(xué)啟發(fā)法” （解題策略）的研究 ? 代表性著作： 《 怎樣解題 》 ； 《 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) 》 ； 《 數(shù)學(xué)與猜想 》 。 ? 實(shí)質(zhì)：“一些定型的問(wèn)題和建議”。 ―怎樣解題”表 ? 解題過(guò)程的四個(gè)步驟 ：（ 1） 弄清問(wèn)題；（ 2）擬定計(jì)劃；（ 3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃；（ 4）回顧。 ? （ 1）“弄清問(wèn)題”。未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 學(xué)習(xí)的主要途徑 ? 相關(guān)的主張：數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求用。 ? 主要途徑：從案例著手。 [例 ] ―找次品問(wèn)題”的教學(xué) ?問(wèn)題：如果 243個(gè)產(chǎn)品（螺絲釘）中有一個(gè)次品（較輕），用天平至少稱幾次能保證將把它找出來(lái)？ ? 教學(xué)中的兩個(gè)關(guān)鍵： （ 1）如何幫助學(xué)生很好地理解題意？（ 2）特殊化方法的適當(dāng)應(yīng)用。 具體化 （ 1）弄清條件。 ? 什么是天平的主要特點(diǎn)？ ? 對(duì)于所需檢驗(yàn)的產(chǎn)品、特別是次品我們知道些什么？ （ 2）明確目標(biāo)。 ? 什么是“至少稱幾次能保證將把它找出來(lái)”的準(zhǔn)確涵義？ 教學(xué)建議 ? 第一，教學(xué)中不應(yīng)停留于詞語(yǔ)的分析，而應(yīng)通過(guò)實(shí)例使學(xué)生獲得切實(shí)的體驗(yàn)。 ? 第二，就所說(shuō)的特例而言，我們并可首先圍繞日常生活中經(jīng)常會(huì)想到的一些問(wèn)題去組織學(xué)生進(jìn)行討論，如 “如果運(yùn)氣好的話，只要稱幾次就可以了？” “如果有幾種不同的稱法，這幾種方法中哪一種方法最好？” …… 關(guān)鍵 ? 教學(xué)中必須超越日常生活過(guò)渡到數(shù)學(xué)思維，后者又不僅是指用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去逐漸取代日常語(yǔ)言，包括由不精確的語(yǔ)言逐步過(guò)渡到精確的表述，更是指這樣一種思維方式：我們?cè)诖怂P(guān)注的已不是現(xiàn)實(shí)中究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況，而是如何能夠基于各種可能性的綜合思考得出普遍性的結(jié)論。 插入：對(duì)于波利亞的“超越” ? 背景： 20世紀(jì) 80年代的改革運(yùn)動(dòng)：“問(wèn)題解決” ? 實(shí)踐中的問(wèn)題：為什么學(xué)了“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”學(xué)生還是不會(huì)解題？ ? 認(rèn)識(shí)的重要發(fā)展：除去“解題策略”以外，我們還應(yīng)高度重視其它的一些環(huán)節(jié)，特別是，元認(rèn)知的發(fā)展，正確觀（信）念的養(yǎng)成。 聚焦“元認(rèn)知”：一項(xiàng)比較研究 ? 不成功的解題者往往采取“盲目干”的作法，即是不加思考地采取某一方法或解題途徑，或總是在各種可能的“解題途徑”之間徘徊，而對(duì)自己在干什么、特別是為什么要這樣干始終缺乏明確的認(rèn)識(shí)；另外，在沿著某一解題途徑走下去時(shí)，又往往不能對(duì)自己目前的處境作出清醒的評(píng)估并由此而作出必要的調(diào)整，卻只是“一股勁地往前走”，直至最終陷入了僵局而一無(wú)所措。 ? ―好的解題者”在采用某一方法或解題途徑前能對(duì)各種可能性進(jìn)行仔細(xì)的考慮；在整個(gè)解題過(guò)程中也能始終作到“心中有數(shù)”，即清楚地知道自己在干什么和為什么要這樣干；他們并能對(duì)目前的處境作出清醒的自我評(píng)估，從而就能夠及時(shí)作出必要的調(diào)整；即使出現(xiàn)了錯(cuò)誤他們也不會(huì)輕易地拋棄已有的工作，而是力圖從中吸取有益的成分；最后，在成功地解決了問(wèn)題以后，他們又能自覺(jué)地對(duì)所已進(jìn)行的工作作出回顧，特別是深入地思考是否還存在更為有效的解題途徑 相應(yīng)的教學(xué)措施 ? 元認(rèn)知：對(duì)于自身所從事的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的自我意識(shí)、自我評(píng)估與及時(shí)調(diào)整。 ? 元認(rèn)知與“教師的適當(dāng)提問(wèn)”：什么？為什么？如何？ ? 更高的目標(biāo)：幫助學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的提問(wèn)習(xí)慣。 3. 更高的追求：努力提高學(xué)生提出問(wèn)題的能力 ? ―問(wèn)題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的又一重要啟示或教訓(xùn)：“取得解答，繼續(xù)前進(jìn)?！? ? 更為一般的思考：創(chuàng)造力的重要表現(xiàn) ? 結(jié)論：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力提高學(xué)生提出問(wèn)題的能力。 從數(shù)學(xué)思維的角度看 ? 數(shù)學(xué)家們總是不滿足于某些具體結(jié)果或結(jié)論的獲得，而是希望能夠獲得更為深入的理解，后者不僅直接導(dǎo)致了對(duì)于嚴(yán)格的邏輯證明的尋求，也促使數(shù)學(xué)家積極地去從事進(jìn)一步的研究，如在這些看上去并無(wú)聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍