數(shù)學(xué)物理方程主要內(nèi)容(編輯修改稿)
2025-08-15 17:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 條件 (1) 第一類（ Dirichlet）邊界條件 | ( )su f t?(設(shè) S為給定區(qū)域 V 的邊界 ) (2) 第二類（ Neumann）邊界條件 ( ) 0qt ?當(dāng)(3) 第三類（ Robin）邊界條件 牛頓冷卻定律 ：單位時(shí)間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。 1( ) d d d dud Q h u u S t k S tn?? ? ? ??熱交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度 , h1u1 SSuh u k h un??????? ???(齊次邊界條件 ) （齊次，表示絕熱） k 為 熱 傳 導(dǎo) 系 數(shù)11uu ?當(dāng) =0 （ 第 三 類 齊 次 邊 界 條 件 ） ， 當(dāng) 0 （ 第 三 類 非 齊 次 邊 界 條 件 ）熱場 SVndS1uu( ) 0ft ?當(dāng)()suk q tn????定解問題 定解問題的概念 (1) 初始問題 （ Cauchy問題） =泛定方程 +初始條件 ： 只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題； (2) 邊值問題 =泛定方程 +邊界條件 ： 沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題； (3) 混合問題 =泛定方程 +初始條件 +邊界條件 ： 既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 波動(dòng)方程 輸運(yùn)方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一類邊界條件 第二類 第三類 周期性 邊界條件 有界性 條件 ???? 演化方程 穩(wěn)定方程 線性邊界條件 自然邊界條件 初始狀態(tài) 初始速度 ??泛定方程 邊界條件 初始條件 ?定解問題 ?定解問題的適定性 一個(gè)定解問題是否能夠反映實(shí)際，從數(shù)學(xué)的角度看主要是三個(gè)方面的問題： ? 解的存在性 : 在給定的定解條件下， 定解問題是否有解 ? ? 解的唯一性 : 在給定的定解條件下，定解問題的 解若存在，是否唯一 ? ? 解的穩(wěn)定性 ： 當(dāng)定解條件 及方程中的參數(shù) 有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng) 。如果當(dāng) 定解條件及方程中的參數(shù)有微小變化時(shí)，其解僅有微小的變動(dòng) , 則稱該定解問題的解是 穩(wěn)定的 ，否則稱它的解是 不穩(wěn)定的 。因?yàn)槎ń鈼l件中的一些已知量，通?？偸抢脤?shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，不可避免地會(huì)有一定的誤差，所以人們自然會(huì)關(guān)心定解條件的微小擾動(dòng)是否會(huì)導(dǎo)致解的變化很大。 定解問題的適定性（ 存在 + 唯一 + 穩(wěn)定 ）： 如果一個(gè)定解問題存在唯一的穩(wěn)定解，則此問題是 適定的 。否則就稱它為 不適定的 。 由于許多數(shù)學(xué)物理問題均可以用適定的定解問題 來處理 ， 長期以來 ， 人們認(rèn)為不適定數(shù)學(xué)物理問題 的研究是沒有意義的，然而在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到不適定的問題。 例如，對于某物體，希望在某時(shí)刻具有一個(gè)實(shí)際的 溫度分布，那么在初始時(shí)刻物體應(yīng)當(dāng)具有一個(gè)什么樣的 溫度分布才能達(dá)到此目的？ 這就是一個(gè)不適定的問題它是所謂的數(shù)學(xué)物理問題 的反問題。 通過研究，人們找到了處理這類不適定問題的 一些辦法。現(xiàn)在對不適定問題的研究已成為偏微分 方程的一個(gè)重要的研究方向。 線性方程的解具有有限（無限）疊加特性
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