第二類曲線積分的計算(編輯修改稿)
2025-07-26 16:47 本頁面
【文章內容簡介】 （2） ，沿逆時針方向。解：（1）這是第一類曲線積分。線段的參數(shù)方程為線段的參數(shù)方程為.線段的參數(shù)方程為所以（2） 這是第二類曲線積分。在這個例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問題。 利用格林公式計算第二類曲線積分 設D是由分段光滑的曲線圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)，在其上有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有格林公式 其中取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無關問題中，在許多公式的推導中，在曲線積分的計算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個計算曲線積分的例子。例2. 用格林公式計算例1中（2）的第二類曲線積分。解： 顯然，這個積分滿足格林公式的條件。用格林公式，這比例1中的解法簡單一些。例3. 計算第二類曲線積分 其中為從A（2,0）到B（2,0）沿橢圓的上半部分的曲線。解：不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿軸的線段而成為封閉曲線。 此題重點提到的是針對于非封閉曲線如何利用格林公式通過補形的方法將第二類曲線積分的計算轉化為二重積分的計算。 利用對稱性計算第二類曲線積分定理1 設為平面上關于軸對稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設為。記分別為位于軸的上半部分與下半部分，分別在上的投影方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當關于為偶函數(shù)時，則 2） 當關于為奇函數(shù)時，則 證明：依定理條件不妨設從點變到點從點變到點于是由對坐標曲線積分的性質及計算方法有 故1）當關于為偶函數(shù)時，有2） 當位于為奇函數(shù)時，有 注1 對于有定理1的結論
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