第二類曲線積分的計(jì)算(編輯修改稿)
2024-07-26 16:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （2） ，沿逆時(shí)針?lè)较?。解：?）這是第一類曲線積分。線段的參數(shù)方程為線段的參數(shù)方程為.線段的參數(shù)方程為所以（2） 這是第二類曲線積分。在這個(gè)例子中，必須注意第一類曲線積分與第二類曲線積分的不同處理方法，尤其是方向性問(wèn)題。 利用格林公式計(jì)算第二類曲線積分 設(shè)D是由分段光滑的曲線圍成的連通有界閉區(qū)域，函數(shù)，在其上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式 其中取正向。格林公式建立了第二類曲線積分也二重積分之間的聯(lián)系。凡是建立了兩個(gè)重要概念的聯(lián)系的公式都是極為重要的，格林公式正是這樣的公式。在討論曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題中，在許多公式的推導(dǎo)中，在曲線積分的計(jì)算中，格林公式都是很重要的工具。這里再列舉兩個(gè)計(jì)算曲線積分的例子。例2. 用格林公式計(jì)算例1中（2）的第二類曲線積分。解： 顯然，這個(gè)積分滿足格林公式的條件。用格林公式，這比例1中的解法簡(jiǎn)單一些。例3. 計(jì)算第二類曲線積分 其中為從A（2,0）到B（2,0）沿橢圓的上半部分的曲線。解：不是一條封閉曲線，不能直接用格林公式。增加沿軸的線段而成為封閉曲線。 此題重點(diǎn)提到的是針對(duì)于非封閉曲線如何利用格林公式通過(guò)補(bǔ)形的方法將第二類曲線積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算。 利用對(duì)稱性計(jì)算第二類曲線積分定理1 設(shè)為平面上關(guān)于軸對(duì)稱的一條有向光滑曲線弧，其方程是一雙值函數(shù)，設(shè)為。記分別為位于軸的上半部分與下半部分，分別在上的投影方向相反，函數(shù)在上連續(xù)，那么1） 當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，則 2） 當(dāng)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，則 證明：依定理?xiàng)l件不妨設(shè)從點(diǎn)變到點(diǎn)從點(diǎn)變到點(diǎn)于是由對(duì)坐標(biāo)曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算方法有 故1）當(dāng)關(guān)于為偶函數(shù)時(shí)，有2） 當(dāng)位于為奇函數(shù)時(shí)，有 注1 對(duì)于有定理1的結(jié)論
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