第02講簡(jiǎn)易邏輯(編輯修改稿)
2025-07-26 15:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．用反證法證明命題的一般步驟如下：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.2．反證法一般常用于有下述特點(diǎn)的命題的證明：①結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)；②結(jié)論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③結(jié)論涉及“存在或不存在”，“有限或無限”等形式；④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．用反證法證題的關(guān)鍵是“反設(shè)”，對(duì)一些特殊結(jié)論的反設(shè)見下表：原結(jié)論詞大于（）小于（）都是都不是至少n個(gè)至多n個(gè)反設(shè)詞不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一個(gè)是至多n－1個(gè)至少n+1個(gè)原結(jié)論詞有無窮多個(gè)存在唯一的對(duì)任意p，使…恒成立反設(shè)詞只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè)p，使…不成立2．反證法證題的難點(diǎn)是如何引出“矛盾”，用反證法證明命題“若p則q”時(shí)，引出矛盾的形式有下面三個(gè)方面：①由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到條件p不成立，即與原命題的條件矛盾，這種情況實(shí)際上是證明了命題的“逆否命題”正確；②由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到結(jié)論q成立，即由“非q為真”推出了“q為真”，形成了自相矛盾；③由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到一個(gè)恒假命題，即與某個(gè)“公理、定義、定理、性質(zhì)”矛盾，或與某個(gè)顯然的概念、結(jié)論矛盾.但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，究竟如何引出矛盾必須根據(jù)命題本身的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探索，有時(shí)很難事先估計(jì)如何引出矛盾或是否能用反證法證明成功，正是由于這些難點(diǎn)，所以在高考中反證法出現(xiàn)得較少.【例】用反證法證明下述命題：（Ⅰ）某班有49位學(xué)生，證明：至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月.[解析] “至少有5位”的反設(shè)是“至多只有4位”.[證明] 假設(shè)至多只有4位學(xué)生的生日在同一個(gè)月，即生日同在1，2，3，…12月的學(xué)生人數(shù)都不超過4人，∴該班學(xué)生總數(shù)m≤412=48人，與該班有49個(gè)學(xué)生的條件矛盾，∴假設(shè)不成立，∴至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月.（Ⅱ）設(shè)f(x)=x2+ax+b,①求證：|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|、中至少有一個(gè)不小于.③②[證
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