【文章內(nèi)容簡介】 格分別為 P1，P2，消費(fèi)者的收入為M。分別求出該消費(fèi)者關(guān)于商品 1 和商品 2 的需求函數(shù)。 解答：根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的均衡條件：MU1/MU2=P1/P23 5其中，由以知的效用函數(shù)U = x18 x28 可得：dTU355MU==x8 x8dx81121dTU533MU==x8 x8dx282123558x8 x8P1于是，有：12=33P25 x8 x8812整理得： 3x2 = P15x1 P2即有 x2 =5 p1 x1（1）3 p2P x + P5P1 x1= M3P一（1）式代入約束條件 P1X1+P2X2=M，有： 1 1 22解得： x1 = 3M8P1代入（1）式得 x2 = 5M8P2所以，該消費(fèi)者關(guān)于兩商品的需求函數(shù)為x =3Mx2=5M18P18P2令某消費(fèi)者的收入為 M，兩商品的價格為 P1，P2。假定該消費(fèi)者的無差異曲線是線性的， 切斜率為a。求：該消費(fèi)者的最優(yōu)商品組合。 解：由于無差異曲線是一條直線，所以該消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)選擇有三種情況，其中的第一、 第二種情況屬于邊角解。第一種情況：當(dāng) MRS12P1/P2 時，即 a P1/P2 時，如圖，效用最大的均衡點(diǎn) E 的位置發(fā)生 在橫軸，它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解，即 X1=M/P1，X2=0。也就是說，消費(fèi)者將全 部的收入都購買商品 1，并由此達(dá)到最大的效用水平，該效用水平在圖中以實(shí)線表示的無差 異曲線標(biāo)出。顯然，該效用水平高于在既定的預(yù)算線上其他任何一個商品組合所能達(dá)到的效 用水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的效用水平。第二種情況：當(dāng) MRS12P1/P2 時，a P1/P2 時，如圖，效用最大的均衡點(diǎn) E 的位置發(fā)生在 縱軸，它表示此時的最優(yōu)解是一個邊角解，即 X2=M/P2，X1=0。也就是說，消費(fèi)者將全部 的收入都購買商品 2，并由此達(dá)到最大的效用水平，該效用水平在圖中以實(shí)線表示的無差異 曲線標(biāo)出。顯然，該效用水平高于在既定的預(yù)算線上其他任何一個商品組合所能達(dá)到的效用 水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的效用水平。第三種情況：當(dāng) MRS12=P1/P2 時，a= P1/P2 時，如圖，無差異曲線與預(yù)算線重疊，效用最 大化達(dá)到均衡點(diǎn)可以是預(yù)算線上的任何一點(diǎn)的商品組合，即最優(yōu)解為 X1≥0，X2≥0，且滿足 P1X1+P2X2=M。此時所達(dá)到的最大效用水平在圖中以實(shí)線表示的無差異曲線標(biāo)出。顯然，該 效用水平高于在既定的預(yù)算線上其他任何一條無差異曲線所能達(dá)到的效用水平，例如那些用 虛線表示的無差異曲線的效用水平。假定某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U = + 3M ，其中，q 為某商品的消費(fèi)量，M 為收入。求：（1）該消費(fèi)者的需求函數(shù)； （2）該消費(fèi)者的反需求函數(shù)；（3）當(dāng) p = 121 ，q=4 時的消費(fèi)者剩余。解：（1）由題意可得，商品的邊際效用為： MU = 182。U = 1 182。Q 2貨幣的邊際效用為：l = 182。U = 3182。M于是，根據(jù)消費(fèi)者均衡條件 MUP = l ，有： 12 = 3 p整理得需求函數(shù)為q = 1/ 36 p2（2）由需求函數(shù)q = 1/ 36 p2 ，可得反需求函數(shù)為： p = 16 （3）由反需求函數(shù)，可得消費(fèi)者剩余為：4111411CS =242。0q dq 4=q242。0=612333以 p=1/12,q=4 代入上式，則有消費(fèi)者剩余：Cs=1/39 設(shè)某消費(fèi)者的效用函數(shù)為柯布道格拉斯類型的，即U = xa xb ，商品 x 和商品 y 的價格格分別為 Px 和 Py，消費(fèi)者的收入為 M，a 和 b 為常數(shù)，且a + b = 1（1）求該消費(fèi)者關(guān)于商品 x 和品 y 的需求函數(shù)。（2）證明當(dāng)商品 x 和 y 的價格以及消費(fèi)者的收入同時變動一個比例時，消費(fèi)者對兩種商品 的需求關(guān)系維持不變。（3）證明消費(fèi)者效用函數(shù)中的參數(shù)a 和b 分別為商品 x 和商品 y 的消費(fèi)支出占消費(fèi)者收入的份額。解答：（1）由消費(fèi)者的效用函數(shù)U = xa xb ，算得：MU x = 182。U = axa 1 yb182。QMU y = 182。U = bxa yb 1182。y消費(fèi)者的預(yù)算約束方程為 Px + Py = M根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的均衡條件236。 MU x = Px239。237。 MU y Py 239。238。Px x + Py y = M236。axa 1yb=Px239。bxa yb 1Py得237。239。P x + P y = M238。xy解方程組（3），可得x = aM / pxy = bM / py式（4）即為消費(fèi)者關(guān)于商品 x 和商品 y 的需求函數(shù)。 上述休需求函數(shù)的圖形如圖（2）商品 x 和商品 y 的價格以及消費(fèi)者的收入同時變動一個比例，相當(dāng)于消費(fèi)者的預(yù)算線變?yōu)閘px x + lpy y = lM（6）其中為一個非零常數(shù)。此時消費(fèi)者效用最大化的均衡條件變?yōu)閍xa 1 yb=pxbxa yb 1py（7）lpx x + lpy y = lM由于，故方程組（7）化為236。axa 1yb=Px239。bxa yb 1Py（8）237。239。P x + P y = M238。xy顯然，方程組（8）就是方程組（3），故其解就是式（4）和式（5）。這表明，消費(fèi)者在這種 情況下對兩商品的需求關(guān)系維持不變。（3）由消費(fèi)者的需求函數(shù)（4）和（5），可得a = px x / M（9）b = p y y / M（10）關(guān)系（9）的右邊正是商品 x 的消費(fèi)支出占消費(fèi)者收入的份額。關(guān)系（10）的右邊正是商品 y 的消費(fèi)支出占消費(fèi)者收入的份額。故結(jié)論被證實(shí)。10 基數(shù)效用者是求如何推導(dǎo)需求曲線的？ （1）基數(shù)效用論者認(rèn)為, 效用越小,隨著消費(fèi)量的增加,消費(fèi)者 格在圖上繪出來,消費(fèi)曲線 是右下方傾斜的. （2）在只考慮一種商品的前提下，消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡條件：MU /P= l 。由此均 衡條件出發(fā)，可以計(jì)算出需求價格，并推導(dǎo)與理解（1）中的消費(fèi)者的向右下方傾斜的需求 曲線。11 用圖說明序數(shù)效用論者對消費(fèi)者均衡條件的分析，以及在此基礎(chǔ)上對需求曲線的推導(dǎo)。 解：消費(fèi)者均衡條件:可達(dá)到的最高無差異曲線和預(yù)算線相切,即 MRS12=P1/P2需求曲線推導(dǎo):從圖上看出,在每一個均衡點(diǎn)上,都存在著價格與需求量之間一一對應(yīng)關(guān) 系,分別繪在圖上,就是需求曲線 X1=f (P1)12 用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，并進(jìn)一步說明這三類 物品的需求曲線的特征。解：要點(diǎn)如下：（1）當(dāng)一種商品的價格發(fā)生變化時所引起的該商品需求量的變化可以分解為兩個部分，它 們分別是替代效應(yīng)和收入效應(yīng)。替代效應(yīng)是指僅考慮商品相對價格變化所導(dǎo)致的該商品需求 量的變化，而不考慮實(shí)際收入水平（即效用水平）變化對需求量的影響。收入效用則相反， 它僅考慮實(shí)際收入水平（即效用水平）變化導(dǎo)致的該商品需求量的變化，而不考慮相對價格 變化對需求量的影響。（2）無論是分析正常品，還是抵擋品，甚至吉分品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，需要運(yùn)用的一 個重要分析工具就是補(bǔ)償預(yù)算線。在圖 115 中，以正常品的情況為例加以說明。圖中，初 始的消費(fèi)者效用最的化的均衡點(diǎn)為 a 點(diǎn)，相應(yīng)的正常品（即商品 1）的需求為 X11。價格 P1 下降以后的效用最大化的均衡點(diǎn)為b 點(diǎn)，相應(yīng)的需求量為X12。即P1 下降的總效應(yīng)為X11X12， 且為增加量，故有總效應(yīng)與價格成反方向變化。然后，作一條平行于預(yù)算線 AB`且與原有的無差異曲線 相切的補(bǔ)償預(yù)算線 FG（以虛線表 示），相應(yīng)的效用最大化的均衡點(diǎn)為 c 點(diǎn)，而且注意，此時 b 點(diǎn)的位置一定處于 c 點(diǎn)的右邊。 于是，根據(jù)（１）中的闡訴，則可以得到：由給定的代表原有效用水平的無差異曲線 U1 與 代表 P1 （即斜率不同） a、c 兩點(diǎn)， 表示的是替代效應(yīng)，即替代效應(yīng)為 X11X13 且為增加量，故有替代效應(yīng)與價格成反方向的變 化；由代表不同的效用水平的無差異曲線 U1 和 U2 分別與兩條代表相同價格的（即斜率相 同的）預(yù)算線 FG。AB`相切的 c、b 兩點(diǎn)，表示的是收入效應(yīng)，即收入效應(yīng)為 X13X12 且為增 加量，故有收入效應(yīng)與價格成反方向的變化。最后，由于正常品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)都分別與價格成反方向變化，所以，正常品的總效 應(yīng)與價格一定成反方向變化，由此可知，正常品的需求曲線向右下方傾斜的。 （３）關(guān)于劣等品和吉分品。在此略去關(guān)于這兩類商品的具體的圖示分析。需要指出的要點(diǎn) 是：這兩類商品的替代效應(yīng)都與價格成反方向變化，而收入效應(yīng)都與價格成同一方向變化， 其中，大多數(shù)的劣等品的替代效應(yīng)大于收入效應(yīng)，而劣等品中的特殊商品吉分品的收入效應(yīng) 大于替代效應(yīng)。于是，大多數(shù)劣等品的總效應(yīng)與價格成反方向的變化，相應(yīng)的需求曲線向右 下方傾斜，劣等品中少數(shù)的特殊商品即吉分品的總效應(yīng)與價格成同方向的變化，相應(yīng)的需求 曲線向右上方傾斜。 （４）基于（３）的分析，所以，在讀者自己利用與圖１－１５相類似的圖形來分析劣等品 和吉分品的替代效應(yīng)和收入效應(yīng)時，在一般的劣等品的情況下，一定要使 b 點(diǎn)落在 a、c 兩 點(diǎn)之間，而在吉分品的情況下，則一定要使 b 點(diǎn)落在 a 點(diǎn)的左邊。唯由此圖，才能符合（３） 中理論分析的要求。第四章練習(xí)題參考答案1.（1）利用短期生產(chǎn)的總產(chǎn)量（TP）、平均產(chǎn)量（AP）和邊際產(chǎn)量（MP）之間的關(guān)系，可 以完成對該表的填空，其結(jié)果如下表：可變要素的數(shù)量可變要素的總產(chǎn)量可變要素平均產(chǎn)量可變要素的邊際產(chǎn)量12222126103248124481224560121266611677010487035/4096377（2）所謂邊際報酬遞減是指短期生產(chǎn)中一種可變要素的邊際產(chǎn)量在達(dá)到最高點(diǎn)以后開始逐 步下降的這樣一種普遍的生產(chǎn)現(xiàn)象。本題的生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出邊際報酬遞減的現(xiàn)象，具體地說， 由表可見，當(dāng)可變要素的投入量由第 4 單位增加到第 5 單位時，該要素的邊際產(chǎn)量由原來的24 下降為 12。2．（1）.過 TPL 曲線任何一點(diǎn)的切線的斜率就是相應(yīng)的 MPL 的值。（2）連接 TPL 曲線上熱和一點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的線段的斜率，就是相應(yīng)的 APL 的值。（3）當(dāng) MPLAPL 時，APL 曲線是上升的。當(dāng) MPLAPL 時，APL 曲線是下降的。當(dāng) MPL=APL 時，APL 曲線達(dá)到極大值。：（1）由生產(chǎn)數(shù) Q=,且 K=10，可得短期生產(chǎn)函數(shù)為：Q=*102 =于是，根據(jù)總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量的定義，有以下函數(shù)： 勞動的總產(chǎn)量函數(shù) TPL=勞動的平均產(chǎn)量函數(shù) APL=勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù) MPL=20L（2）關(guān)于總產(chǎn)量的最大值：20L=0 解得 L=20所以，勞動投入量為 20 時，總產(chǎn)量達(dá)到極大值。 關(guān)于平均產(chǎn)量的最大值：+50L2=0 L=10（負(fù)值舍去） 所以，勞動投入量為 10 時，平均產(chǎn)量達(dá)到極大值。 關(guān)于邊際產(chǎn)量的最大值：由勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù) MPL=20L 可知，邊際產(chǎn)量曲線是一條斜率為負(fù)的直線?？紤]到勞動 投入量總是非負(fù)的，所以，L=0 時，勞動的邊際產(chǎn)量達(dá)到極大值。 （3）當(dāng)勞動的平均產(chǎn)量達(dá)到最大值時，一定有 APL=MPL。由（2）可知，當(dāng)勞動為 10 時， 勞動的平均產(chǎn)量 APL 達(dá)最大值，及相應(yīng)的最大值為：APL 的最大值=10 MPL=2010=10很顯然 APL=MPL=10：（1）生產(chǎn)函數(shù)表示該函數(shù)是一個固定投入比例的生產(chǎn)函數(shù)，所以，廠商進(jìn)行生產(chǎn)時，Q=2