【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)。其中，termID為4輸入向量，用來(lái)指定項(xiàng)的位置和性質(zhì)。對(duì)于termID(1) ：若該項(xiàng)位于第n個(gè)LMI的左邊，則termID(1)=+n，若該項(xiàng)位于第n個(gè)LMI的右邊，則termID(1)= n。對(duì)于termID(2: 3) ：若該項(xiàng)屬于LMI的第（i, j）塊，則termID(2: 3)=[i, j]，若該項(xiàng)屬于外部因子，則termID(2: 3)=[0 0]。對(duì)于termID(4) ：若該項(xiàng)屬于常數(shù)項(xiàng)，則termID(4)=0，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)A*X*B，則termID(4)=m，若該項(xiàng)屬于變量項(xiàng)A*XT*B：termID(4)=m，其中，m 為由函數(shù)lmivar返回的變量X的標(biāo)識(shí)。A可以是外部因子，常數(shù)項(xiàng)或者變量項(xiàng)A*X*B或A*XT*B的左系數(shù)，B是變量項(xiàng)A*X*B或A*XT*B的右系數(shù)。Flag：設(shè)置flag=’s’，在一個(gè)lmiterm函數(shù)內(nèi)快捷定義表達(dá)式A*X*B+BT*XT*AT。4. LMIs=getlmis：如果系統(tǒng)已經(jīng)用lmivar和lmiterm進(jìn)行了完整描述，則返回這個(gè)LMI系統(tǒng)的內(nèi)部描述LMIs。內(nèi)部描述LMIs能夠直接傳遞到求解工具或者其它LMILab函數(shù)中去。5. [tmin,xfeas]=feasp (LMIs, options, target)：求解LMI系統(tǒng)定義的線性矩陣不等式約束條件問題的可行解。如果問題是可解的，則輸出xfeas將是待求向量的一個(gè)可解值。給定L(X) R(X)的可解性問題，解決凸優(yōu)化過程：對(duì)：L(X) R(X) +t*I求：minimize t。如果LMI系統(tǒng)可解，則極小化值tmin將是負(fù)的。feasp在每次迭代過程中給出t的當(dāng)前最佳值。LMIs：LMI約束的描述；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量。Target（選擇項(xiàng)）：tmin的目標(biāo)值（缺省值=100）。一旦tTarget，則代碼終止。tmin：終止時(shí)的t。而且僅當(dāng)LMI系統(tǒng)是可解的，tmin≤0。xfeas：相應(yīng)的極小化值，如果tmin≤0, xfeas將是LMI約束的一個(gè)可行向量。使用dec2mat可以從xfeas取出相應(yīng)的矩陣變量的值。6. [copt ,xopt]=mincx (LMIs ,c ,options ,xinit，Target)：針對(duì)約束L(X)R(X)，極小化cTX.。其中，X是待求變量。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；c：與X同維的向量；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；xinit（選擇項(xiàng)）：X的初始值。Target（選擇項(xiàng)）：目標(biāo)值，一旦可行的X找到，即：cTXTarget，中斷迭代；copt：目標(biāo)cTX的極小化值；xopt：待求變量X的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值。7. [tmin,xopt] = gevp(LMIs,nlfc,options,t0,x0,target)：求解廣義特征值最小化問題。對(duì)LMI約束C(x) 0，0 Bj(x)以及Aj(x) t * Bj(x) ( j=1,..,nlfc )，求minimize t。這里，x表示待求變量。正定約束Bj(x) 0必須很好限定，涉及t的LMIs必須最后限定。LMIs：LMI約束的系統(tǒng)描述；nlfc：涉及t的LMIs的數(shù)目；options（選擇項(xiàng)）：控制參數(shù)的5輸入向量；t0，x0（選擇項(xiàng)）：t，x的初始值；target（選擇項(xiàng)）：tmin的目標(biāo)值，只要t小于這個(gè)值，則代碼終止；tmin：t的最小值；xopt：待求變量x的極小化值。使用dec2mat可以從xopt取出相應(yīng)的矩陣變量的值。這里用一個(gè)例子說(shuō)明如何建立LMI。例題 求滿足PI的對(duì)稱矩陣P，使得 其中：，此問題應(yīng)用LMI工具箱中有關(guān)函數(shù)編程如下：A1=[1 2。1 3]； %常數(shù)矩陣A2=[ 。 ]；A3=[ 。 ]；na=size(A, 2)； %矩陣A的列數(shù)setlmis([]) %建立一個(gè)新的LMIP=lmivar(1,[na,1]) %定義矩陣變量P=PT，其維數(shù)為nalmiterm([1 1 1 P],1,A1,’s’) %LMI A1TP+PA1 1lmiterm([2 1 1 P],1,A2,’s’) %LMI A2TP+PA2 2lmiterm([3 1 1 P],1,A3,’s’) %LMI A3TP+PA3 3 lmiterm([4 1 1 P],1,1) %LMI P 4lmiterm([4 1 1 0],1) %LMI I lmis=getlmis [tmin,xfeas]=feasp(lmis) %計(jì)算可行性向量：xfeaspp=dec2mat(lmis,xfeas,P) %返回相應(yīng)的矩陣變量在求解后，矩陣變量P如下：P=上述的計(jì)算結(jié)果表明，可找到一個(gè)對(duì)稱的矩陣使線性矩陣不等式PI 成立，同時(shí)滿足前面提到的三個(gè)條件。3 LMI算法應(yīng)用互聯(lián)大系統(tǒng)的有機(jī)結(jié)構(gòu)控制實(shí)質(zhì)上是這樣一個(gè)問題：對(duì)于一個(gè)具有多個(gè)子系統(tǒng)的互聯(lián)大系統(tǒng)，在它運(yùn)行期間受到了不確定的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)，即某些子系統(tǒng)暫時(shí)脫離了大系統(tǒng)，在這種結(jié)構(gòu)擾動(dòng)下，如何確定各子系統(tǒng)的自主分散控制律，使整個(gè)大系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行。在這個(gè)問題中，由于將整個(gè)大系統(tǒng)看成是一個(gè)有機(jī)體，因此把對(duì)它的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)的控制以及對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定稱為大系統(tǒng)的有機(jī)結(jié)構(gòu)控制。它包含三層基本含義：一是系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性問題，即當(dāng)子系統(tǒng)脫離大系統(tǒng)時(shí)，大系統(tǒng)仍能保持是穩(wěn)定的，這是有機(jī)結(jié)構(gòu)控制最基本的含義。在這一層中，有機(jī)結(jié)構(gòu)控制實(shí)質(zhì)上就是如何來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在突然的結(jié)構(gòu)重構(gòu)后仍能保持系統(tǒng)是穩(wěn)定的。它的第二層意思是考慮控制器投入與切除時(shí)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定問題。從控制的可靠性出發(fā)，我們可以對(duì)一個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)多個(gè)控制器，構(gòu)成多控制器的可靠控制系統(tǒng)。在這一層中，有機(jī)結(jié)構(gòu)控制實(shí)質(zhì)上就是如何來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在任何一個(gè)控制器故障后仍能保持系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第三層意思是考慮多對(duì)象問題，即一個(gè)控制器控制多個(gè)對(duì)象。在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，有很多這樣的系統(tǒng)。在這一層中，有機(jī)結(jié)構(gòu)控制實(shí)質(zhì)上就是如何來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自主分散控制律，使系統(tǒng)能夠在被控對(duì)象中的某一個(gè)脫離該控制器時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定?，F(xiàn)在最主要的任務(wù)是找到一種控制方法使系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)擾動(dòng)下是穩(wěn)定的。魯棒控制的LMI算法便可以使上述問題得到解決。下面就對(duì)該方法做一下簡(jiǎn)單介紹?？紤]一個(gè)具有N個(gè)子系統(tǒng)的互聯(lián)系統(tǒng)S： ()相應(yīng)的N個(gè)子系統(tǒng)為： ()這里，是第i個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)，是第i個(gè)子系統(tǒng)的輸入，是子系統(tǒng)間的互聯(lián)。我們假設(shè)子系統(tǒng)間的互聯(lián)項(xiàng)是關(guān)于t和x 的分段連續(xù)函數(shù)，且滿足二次約束： ()這里，是不確定互聯(lián)的界，約束矩陣是常數(shù)矩陣。將互聯(lián)大系統(tǒng)寫成緊縮形式： ()這里，是大系統(tǒng)的狀態(tài)，且；是大系統(tǒng)的輸入，且；和是相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，且。在這個(gè)緊縮形式中，系統(tǒng)的互聯(lián)函數(shù)為，其二次約束可寫為： ()為了使大系統(tǒng)S鎮(zhèn)定，我們利用下面的分散狀態(tài)反饋控制律： ()整個(gè)系統(tǒng)()的控制規(guī)律有類似的塊對(duì)角形式 ()為了求得控制增益,保證閉環(huán)系統(tǒng) ()的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性。Siljak采用Liapunov理論進(jìn)行分析，選擇二次型能量函數(shù)為： ()其中。要保證系統(tǒng)()的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，必須滿足下式()，即： ()將式()寫成二次不等式形式 ()根據(jù)S過程引理，當(dāng)滿足式()時(shí)，式()等價(jià)于下式 ()其中。將式()左乘式()，并右乘式() () ()可以得到 ()其中。利用Schur補(bǔ)引理進(jìn)行等價(jià)變換，式()重寫為 ()其中。由于式()并不是關(guān)于變量Y和K的線性矩陣不等式，因此設(shè) ()這時(shí)，式()變?yōu)? ()為了保證式()的結(jié)果易于實(shí)現(xiàn)，必須限制每一個(gè)子系統(tǒng)控制陣Ki（i=1,2,…N）。在限制控制陣Ki時(shí)，可以借助于每一個(gè)子系統(tǒng)的Li和Yi1（i=1,2,…N）來(lái)實(shí)現(xiàn)。設(shè)， ， ()式()等價(jià)于線性矩陣不等式 ， ()同樣，設(shè)， ， ()式()等價(jià)于線性矩陣不等式， ()為了得到滿意的互聯(lián)界，作如下約束 ， ()其中，為每一個(gè)子系統(tǒng)給定的互聯(lián)界最小值。這樣，閉環(huán)系統(tǒng)（）的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性問題可歸結(jié)為下面的線性矩陣不等式最小化 使得 ()這里。通過求解線性矩陣不等式()，可以得到。根據(jù)式()，便可以得到控制器增益陣。 LMI編程中的拆分矩陣法對(duì)于基于LMI算法的魯棒分散控制方法，應(yīng)用MATLAB軟件中的LMI工具箱進(jìn)行具體仿真，在描述式()所示的線性矩陣不等式中的項(xiàng)時(shí)，由于互聯(lián)電力系統(tǒng)的模型中B陣為長(zhǎng)方形矩陣，導(dǎo)致式()中矩陣變量LD為長(zhǎng)方形對(duì)角矩陣，并且每個(gè)對(duì)角塊均為長(zhǎng)方形矩陣。同時(shí)，函數(shù)lmivar(type,struct)中，type=2時(shí)，struct=(m,n)代表矩陣變量的維數(shù)。這使得編程過程中不能直接定義矩陣變量LD，必須單獨(dú)定義矩陣變量LD中的每個(gè)對(duì)角塊元素。本人經(jīng)過研究和具體的仿真實(shí)驗(yàn)，得出了下面的解決方法。根據(jù)分塊矩陣的定義，可將階A矩陣分塊為： （）其中的維數(shù)為，并且。為便于說(shuō)明，令m=2，n=2。根據(jù)矩陣乘法，如下的列向量與行向量的乘積為： （）其中；，是行數(shù)與的列數(shù)相同的單位陣；是列數(shù)與的行數(shù)相同的單位