【文章內(nèi)容簡介】 來證明在對應(yīng)點(diǎn)和有相同的主法線. 在相同的參數(shù)點(diǎn)處，的主法線是過(的終)點(diǎn)且垂直于的直線，所以的方程為，.同理，在相同的參數(shù)點(diǎn)處，的主法線是過點(diǎn)且垂直于的直線. 所以(因?yàn)樗鼈兌即怪庇?. 由定義可知在直線上，所以與重合. □下面考慮空間撓曲線，即撓率的曲線. 設(shè)和是Bertrand曲線偶. 則和在對應(yīng)點(diǎn)的距離是常數(shù)，并且和在對應(yīng)點(diǎn)的切線成定角. 證明 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為，F(xiàn)renet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為和. 因?yàn)楹椭g存在一一對應(yīng)，設(shè)上與對應(yīng)的點(diǎn)是，是的一般參數(shù)，的Frenet標(biāo)架為，曲率和撓率分別為和. 再設(shè)的弧長參數(shù)為. 由條件，在曲線上的點(diǎn)處的主法線上，所以，并且. 因此可設(shè)， ()其中是常數(shù)，是可微函數(shù).將()兩邊對求導(dǎo)，利用Frenet公式，得 . ()以分別與上式兩邊作內(nèi)積，可得，是常數(shù). 再由()得，即和在對應(yīng)點(diǎn)的距離是常數(shù)，因?yàn)楹筒恢睾?.設(shè)，則. 因?yàn)?，所以是常?shù)，從而是常數(shù). □ 設(shè)正則曲線的曲率和撓率都不為零. 則是Bertrand曲線的充分必要條件是：存在常數(shù)，且，使得. 證明 必要性. 設(shè)曲線有侶線，它們的參數(shù)方程分別是和，其中是的弧長參數(shù). ，設(shè)和分別是和的Frenet標(biāo)架，分別是的曲率和撓率，是的弧長參數(shù). 現(xiàn)在()和()分別成為， (). ()其中是常數(shù). 因此由得，其中也是一個常數(shù). ，是常數(shù). 用與()兩邊作內(nèi)積，得.由可知，從而是常數(shù). 這就是說，存在常數(shù)，使得. 充分性. 設(shè)正則弧長參數(shù)曲線的曲率和撓率滿足，其中是常數(shù)，且. 令，則.所以由參數(shù)方程定義的曲線是正則曲線，并且與曲線不重合(因?yàn)?.由于，曲線的單位切向量場，其中是常數(shù)，滿足，.設(shè)是的弧長參數(shù)，利用Frenet公式，有.如果，則有，從而曲線是的侶線，和是Bertrand曲線偶(在參數(shù)相同的點(diǎn)，和得主法線有相同方向，并且在處的主法線上). 如果，則. 結(jié)合可知和都是非零常數(shù)，是圓柱螺線，從而是Bertrand曲線. □ 如果兩條曲線之間存在一個一一對應(yīng)，使得曲線在任意一點(diǎn)的切線正好是在對應(yīng)點(diǎn)的法線(即垂直于在該點(diǎn)的切線)，則稱曲線是的漸伸線. 同時稱曲線是的漸縮線. 設(shè)是正則弧長參數(shù)曲線. 則的漸伸線的參數(shù)方程為. ()證明 設(shè)漸伸線上與對應(yīng)的點(diǎn)為. 則在曲線上點(diǎn)處的切線上，故有函數(shù)使得. ()由漸伸線的定義，所以.由此得，. 代入()即得(). □曲線的漸伸線可以看作是該曲線的切線族的一條正交軌線，位于的切線曲面上. . 則的漸縮線的參數(shù)方程為. ()證明 設(shè)漸縮線上與對應(yīng)的點(diǎn)為. 由定義，可設(shè). ()求導(dǎo)得 . 因?yàn)?，所以，即有? ()所以，且由()第2式得，.所以有(). □課外作業(yè)：習(xí)題4，8167。 平面曲線本節(jié)研究平面曲線的特殊性質(zhì). 一、平面曲線的Frenet標(biāo)架在平面上取定一個正交標(biāo)架(右手直角標(biāo)架). 則平面曲線的弧長參數(shù)方程為 ， . ()它的單位切向量為 ， ()其中是由到的有向角(允許相差的整數(shù)倍)，逆時針方向?yàn)檎? 當(dāng)區(qū)間是閉區(qū)間時，函數(shù)可以成為定義在整個上的連續(xù)可微函數(shù). 將右旋，得到與正交的單位向量，. ()這樣，得到沿曲線的(平面)Frenet標(biāo)架. 二、平面曲線的Frenet公式由于是單位切向量場，有，故，可設(shè) ， ()其中 ()稱為曲線的相對曲率. 曲線的曲率為. 的符號的幾何意義見圖28.利用()得到平面曲線的Frenet公式 ()因此曲線的曲率中心為，這也是的漸縮線方程. 三、相對曲率的幾何意義由()，()和()可得.因此 ， ()即相對曲率是有向角對弧長的變化率.四、平面曲線論基本定理定理 (平面曲線論基本定理) 設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù). 則在不計的一個剛體運(yùn)動的情況下，存在唯一的平面曲線，它以為弧長參數(shù)，以給定的函數(shù)為相對曲率. 證明 存在性. 取. 令，.再令，.則平面曲線，滿足：以為弧長參數(shù)，以為相對曲率.唯一性. 設(shè)另有一條平面曲線也以為弧長參數(shù)，以為相對曲率. 令為的Frenet標(biāo)架，. 通過的一個剛體運(yùn)動，可設(shè)，.由及可知. 從而.再由得到，. □五、旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理雖然有向角允許相差的整數(shù)倍，但是有向角的總變差是不變的. 事實(shí)上，若也是由到的有向角，則. 由于和都是連續(xù)函數(shù)，必為常數(shù)(因?yàn)殚]區(qū)間是連通的). 從而，即總變差與有向角函數(shù)連續(xù)分支的取法無關(guān). 由()可知總變差為 . ()光滑閉曲線，分段光滑曲線，簡單閉曲線，旋轉(zhuǎn)指標(biāo) (旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理) 若是平面上一條連續(xù)可微的簡單閉曲線，則它的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)為. 若是分段光滑的簡單閉曲線，指標(biāo)定理仍然成立. 但()右端要加上在各角點(diǎn)的外角和. 即若是曲線的角點(diǎn)(不光滑點(diǎn))，則， ()其中 . ()課外作業(yè)：習(xí)題1(2, 4, 6)，3，5目 錄第三章 曲面的第一基本形式 27167。 正則參數(shù)曲面 27一、參數(shù)曲面 27二、參數(shù)變換 28三、正則曲面 29四、正則曲面的例子 30167。 切平面和法線 33一、曲面的切空間，切平面和法線 33二、連續(xù)可微函數(shù)的等值面 34三、微分的幾何意義 35167。 第一基本形式 35167。 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性 38167。 保長對應(yīng)和保角對應(yīng) 40一、曲面到曲面的連續(xù)可微映射 40二、切映射 40三、保長對應(yīng)(等距對應(yīng)) 42四、保角對應(yīng)(共形對應(yīng)) 44167。 可展曲面 4526第三章 曲面的第一基本形式本章內(nèi)容：曲面的定義，參數(shù)曲線網(wǎng)，切平面，單位法向量，第一基本形式，正交參數(shù)網(wǎng)，等距對應(yīng)和共形對應(yīng)，可展曲面計劃學(xué)時：12學(xué)時，含習(xí)題課4學(xué)時. 難點(diǎn)：正交參數(shù)網(wǎng)的存在性，等距對應(yīng)和共形對應(yīng)167。 正則參數(shù)曲面一、參數(shù)曲面從平面的一個區(qū)域(region，即連通開集)到中的一個連續(xù)映射的象集稱為中的一個參數(shù)曲面(parameterized surface). 在中取定正交標(biāo)架，建立笛卡爾右手直角坐標(biāo)系. 則參數(shù)曲面可以通過參數(shù)(parameter)表示成參數(shù)方程 ， ()或?qū)懗上蛄繀?shù)方程，. ()為了使用微積分工具，本書中要求向量函數(shù)都是3次以上連續(xù)可微的. 曲線：讓固定，變化，向量的終點(diǎn)描出的軌跡. 曲線，參數(shù)曲線網(wǎng). 直觀上，參數(shù)曲面就是將平面中的區(qū)域經(jīng)過伸縮、扭曲等連續(xù)變形后放到歐氏空間中的結(jié)果. 曲紋坐標(biāo)，即.一般來說，由()給出的連續(xù)映射并不能保證曲面上的點(diǎn)與該點(diǎn)的參數(shù)之間是一一對應(yīng)的. 為了使得曲紋坐標(biāo)能真正起到坐標(biāo)的作用，需要對參數(shù)曲面加上正則性條件. 定義 設(shè)為中的參數(shù)曲面. 如果在點(diǎn)，兩條參數(shù)曲線的切向量 ， ()線性無關(guān)，即，則稱或是的正則點(diǎn)(regular point). 如果上每一點(diǎn)都是正則點(diǎn)，則稱是正則參數(shù)曲面.以下總假定是正則曲面. 在正則曲面上每一點(diǎn)，由于， ()通過重新選取正交標(biāo)架，不妨設(shè).根據(jù)反函數(shù)定理，存在的鄰域，使得有連續(xù)可微的反函數(shù)，即有.此時有的鄰域和同胚映射. 從而有連續(xù)映射. 于是在的鄰域內(nèi)可用參數(shù)方程表示為， (*) 或表示為一個二元函數(shù)的圖像，其中. ()上式稱為曲面片的Monge形式，或稱為的顯式方程. 從(*)式可見是一一對應(yīng)，從而也是一一對應(yīng). 這說明正則性條件至少保證了局部是一一對應(yīng). 為了確定起見，以下約定正則曲面與其定義域之間總是一一對應(yīng)的，從而參數(shù)可以作為曲面上點(diǎn)的曲紋坐標(biāo). 反之，由顯式方程表示的曲面總是正則的：如果 ， ()則，從而.二、參數(shù)變換曲面的定向(orientation)：對于曲面，規(guī)定所指的一側(cè)為的正側(cè).由于參數(shù)曲面的參數(shù)方程中，參數(shù)的選擇不是唯一的，在進(jìn)行參數(shù)變換(transformation of parameter)時，要求參數(shù)變換 ()滿足：(1) 是的3次以上連續(xù)可微函數(shù)；(2) 處處不為零. 這樣的參數(shù)變換稱為可允許的(patible)參數(shù)變換. 當(dāng)時，稱為保持定向(preserve the orientation)的參數(shù)變換. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，在新的參數(shù)下， .因此 . ()上式說明在可允許的參數(shù)變換下，正則性保持不變；在保持定向的參數(shù)變換下，曲面片的正側(cè)保持不變. 三、正則曲面正則參數(shù)曲面在具體應(yīng)用總是十分方便，十分廣泛的. 但是有的曲面不能夠用一張正則參數(shù)曲面來表示，例如球面. 將與等同，賦予普通的度量拓?fù)?，即以的?biāo)準(zhǔn)度量確定的拓?fù)? 設(shè)是的一個子集，具有相對拓?fù)? 如果對任意一點(diǎn)，存在在中的一個鄰域(，其中是在中的鄰域)，和中的一個區(qū)域，以及同胚 ，使得是中一個正則參數(shù)曲面，則稱是中的一張正則曲面(regular surface)，簡稱曲面. 上述的鄰域和同胚的逆映射合在一起，將稱為該曲面的一個局部參數(shù)化(local parameterization)，或坐標(biāo)卡(coordinate chart). 注 的拓?fù)涫亲鳛榈淖蛹瘡恼T導(dǎo)的相對拓?fù)洌醋鳛榈耐負(fù)渥涌臻g的拓?fù)? 如果兩個局部參數(shù)化，滿足，那么正則參數(shù)曲面就有兩個參數(shù)表示和. 由此自然產(chǎn)生了參數(shù)變換.利用正則參數(shù)曲面的3次以上連續(xù)可微性和正則性，可以證明上述參數(shù)變換是可允許的. 直觀上看，正則曲面是由一些正則參數(shù)曲面“粘合”而成的. 只有那些與參數(shù)的選擇無關(guān)的量才是曲面本身的幾何量. 如果一個正則曲面有一族保持定向的局部參數(shù)化(為指標(biāo)集)，使得構(gòu)成的開覆蓋，則稱該曲面是可定向的(orientable). 除非特別指出，本課程一般是研究正則參數(shù)曲面的幾何性質(zhì)，稱之為“局部微分幾何學(xué)”. 以下所說的“曲面”一般都是正則參數(shù)曲面，包括習(xí)題中出現(xiàn)的“曲面