【文章內(nèi)容簡介】 () 式為二維的傅立葉變換及其反變換。其中f(m,n)為原始圖像信號，表示頻域分量，的取值范圍為。 傅立葉變換雖然在平穩(wěn)信號的處理中顯示出了強(qiáng)大的優(yōu)越性，但是在實(shí)際問題中依然有其局限性，其局限性表現(xiàn)在傅里葉變換為全局變換，無法反映信號的局部頻率特征，此外信號往往并非平穩(wěn)信號，而且信號處理更加關(guān)注的是信號的突變，這些突變與傅立葉基函數(shù)通常并不十分相似，這也就限制了傅立葉變換在非平穩(wěn)信號上的信號表示能力。 余弦變換 傅里葉變換由于使用的系數(shù)都為復(fù)數(shù)，所以信號表示的數(shù)據(jù)量往往是實(shí)數(shù)形式下的兩倍，這也成為了傅里葉變換的一個(gè)很大的問題。離散余弦變換（DCT）的出現(xiàn)在一定程度上克服這一問題，找到了一種能夠?qū)崿F(xiàn)相同功能但是數(shù)據(jù)量又不大的信號表示方法。使用不同的頻率和幅值的正弦函數(shù)來近似表示一副圖像就是圖像的二維 DCT 變換，在圖像的 DCT 變換中大部分的可視化信息集中在少數(shù)的 DCT 數(shù)上。這一特性也就是 DCT 變換成為了 JPEG 壓縮標(biāo)準(zhǔn)的核心表示方法原因。壓縮方法也與傅立葉變換類似，對高頻系數(shù)大間隔量化，低頻部分小間隔量化。 離散余弦變換定義如下： () () 、 為離散余弦變換的正變化以及逆變換。其中,，,。 小波變換 小波變換理論是從傅立葉變換演變而來，可以根據(jù)需要選取所需的時(shí)間或者頻率精度，是一種以犧牲部分的時(shí)域性能來獲得一定的頻域內(nèi)性能的方法。小波是從一個(gè)單一函數(shù)（基函數(shù)，或者叫基本小波）通過在時(shí)域的尺度變換與位移產(chǎn)生函數(shù)。用來表示基本小波，其他小波則可以表示為： () 這里，a 和 b 是兩個(gè)任意實(shí)數(shù)。變量 a 和 b 分別表示在時(shí)間軸上的尺度變換和位移參數(shù)。從傅立葉變換到余弦變換再到小波變換，在正交變換的范疇內(nèi)，信號處理的能力也在不斷加強(qiáng)。但是正交變換在二維以及更高維的信號表示能力依然不盡人意。就小波而言，常用兩個(gè)一維小波的張積量來形成一個(gè)二維的可分離小波，其中只水平、垂直、對角三個(gè)方向能夠被基函數(shù)表示出來。而實(shí)際過程中信號的特征方向往往遠(yuǎn)不止三個(gè)。這也是造成正交變換信號表示結(jié)果不夠稀疏的原因。 超完備圖像表示 與調(diào)和分析中的傅里葉變換與小波變換不同，超完備表示不是通過基來對圖像進(jìn)行表示，而是采用函數(shù)的任意字典。字典D由一組函數(shù)組成，并且這組函數(shù)至少能張成整個(gè)空間。例如，正交基可以稱為字典，兩個(gè)正交基的聯(lián)合同樣可以稱為字典。超完備圖像表示是通過超完備的冗余函數(shù)系統(tǒng)對圖像進(jìn)行自適應(yīng)地表示，圖像的表示隨字典變化，表示更為靈活。 字典的使用意味著超完備的函數(shù)集。字典可以由任意函數(shù)集組成，甚至不同的函數(shù)族也可以存在同一個(gè)字典。在這種情況下，一個(gè)字典可以由不同的子字典構(gòu)成。通常，字典的選取必須依據(jù)實(shí)際的應(yīng)用。如果要確保圖像存在稀疏表示，則要求字典中的基函數(shù)必須具有幾何結(jié)構(gòu)特征。相反，如果要得到圖像最稀疏的表示，則要求所用字典具有有限的冗余性。而基于稀疏圖像表示的應(yīng)用研究，則要求字典的基函數(shù)必須具有某些特定的特征，如人眼視覺系統(tǒng)特性。根據(jù)生理學(xué)家和人類視覺系統(tǒng)的研究結(jié)果和自然圖像統(tǒng)計(jì)模型，一種“最優(yōu)”的圖像表示方法應(yīng)該具有如下的特性[10]：(1) 多分辨率，能夠?qū)D像從粗分辨率到細(xì)分辨率進(jìn)行連續(xù)近似，也即“帶通”性；(2) 局域性，在空域和頻域，該表示的“基函數(shù)”都必須是局部的；(3) 方向性，表示的“基函數(shù)”應(yīng)該具有不同的方向，不僅僅局限于二維可分離小波的三個(gè)方向；(4) 各向異性，“基函數(shù)”應(yīng)該具有不同的形狀，特別地具有不同的縱橫比，這樣有利于更稀疏地表示圖像的輪廓。 超小波圖像稀疏表示 最近幾年，出現(xiàn)了一些新的圖像變換表示方法： 如脊波( Ridgelet)，曲波(Curvelte)，輪廓波( Contourlet)，線波(Beamlet)，楔波( Wedgelet)，板波( Platelet) 等。這些方法的基本思想是為了使基函數(shù)能更好地表現(xiàn)圖像特征，放寬了對基函數(shù)的正交性要求，改用一組超完備的框架基作為圖像稀疏表示的原子。事實(shí)證明，基于超小波變換的圖像表示方法可以更加稀疏地表示圖像。超小波關(guān)注如何表達(dá)圖像的不連續(xù)性( 或奇異性) ，沿襲小波的理論模式，構(gòu)造出一些列能夠多分辨力表達(dá)圖像的基或標(biāo)架，這些超小波的母函數(shù)具有各向異性的特點(diǎn)，通過靈活地調(diào)整基的方向和支撐區(qū)間的形狀，可以用較少的系數(shù)快速有效地捕捉圖像的奇異信息。它們具有下列共同特點(diǎn)：（1）具有幾何規(guī)則性，能夠逼近圖像中任意方向的線或曲線的不連續(xù)性；（2）有容易計(jì)算的分析(正變換)和綜合(反變換)表達(dá)；（3）對分析(變換) 域的結(jié)果有明確的物理解釋，便于實(shí)施去噪，壓縮的近似處理，以及超分辨重建的進(jìn)一步工作。 Ridgelet (脊波) 變換 1998年，Candes在他的博士論文中提出“Ridgelet (脊波)”的概念。脊波變換是用一系列脊函數(shù)的疊加來表示相當(dāng)廣泛的函數(shù)類，同時(shí)具有基于離散變換的“近似正交”的脊函數(shù)框架。脊波的理論框架是由Candes和Donoho完成的，脊波能夠?qū)χ本€狀和超平面狀的奇異性進(jìn)行很好的逼近。數(shù)字脊波變換的核心思想是利用Radon變換把線狀奇異性變換成點(diǎn)狀奇異性，再利用小波變換來處理Radon域的點(diǎn)狀奇異性。因此對于具有直線奇異的函數(shù)來說，脊波的表示是最優(yōu)的[11]。設(shè)f是的函數(shù)，且沿某一直線是不連續(xù)的，除此之外均為α階連續(xù)，則函數(shù)f的脊波變換M項(xiàng)非線性逼近誤差衰減速度為： ()遺憾的是，對于含曲線奇異的多變量函數(shù)，脊波的逼近性能僅相當(dāng)于小波，不具有最優(yōu)的非線性逼近誤差衰減階。為了較好地解決含曲線奇異的多變量函數(shù)的稀疏表示問題，Candes 又提出了單尺度脊波變換的概念，并給出了其構(gòu)建方法。單尺度脊波變換的基本思想是利用剖分的方法，用直線來逼近曲線。設(shè)函數(shù)，用二進(jìn)方形剖分區(qū)域，其中，剖分尺度s0，為整數(shù)。設(shè)表示剖分尺度為s時(shí)的全體二進(jìn)方形集合，對每個(gè)塊進(jìn)行脊波變換得到脊波系數(shù)。設(shè)f是的函數(shù)，且沿某一直線是不連續(xù)的，除此之外均為α階連續(xù)，則函數(shù)的單尺度脊波變換M項(xiàng)非線性逼近誤差衰減速度為： ()由于單尺度脊波變換的基本尺度是固定的，導(dǎo)致了函數(shù)逼近的不稀疏性。 Curvelet (曲線波) 變換Curvelet(曲線波)變換理論由 Candes 于 1999 年提出，它由脊波變換理論衍生而來。曲線波變換克服了單尺度脊波變換固定尺度的缺陷，對曲線狀奇異特征具有稀疏的表示。曲線波變換的發(fā)展經(jīng)歷了二代，第一代曲線波變換主要基于脊波變換，其數(shù)字實(shí)現(xiàn)比較復(fù)雜；第二代曲線波變換通過對信號頻譜的多方向分解實(shí)現(xiàn)信號的多方向分解，它借助快速傅里葉變換，其數(shù)字實(shí)現(xiàn)更加簡單、快速。第一代曲線波變換的主要步驟如下：步驟 1. 對圖像進(jìn)行子帶分解；步驟 2. 對分解出的子帶進(jìn)行平滑分割處理；步驟 3. 對分割出的子塊進(jìn)行正則化處理；步驟 4. 對正則化后的塊進(jìn)行脊波變換，得到曲線波變換系數(shù)。第二代曲線波變換利用構(gòu)造出的多方向多尺度頻率窗對信號頻譜進(jìn)行分解，因此其關(guān)鍵在于方向多尺度頻率窗函數(shù)的構(gòu)造。在數(shù)字實(shí)現(xiàn)過程中，Candes 提出了兩種實(shí)現(xiàn)方案，即非等空間隔快速傅里葉變換(Unequallyspaced Fast FourierTransforms, USFFT)法和頻率Wrapping 法[12]。第二代曲線波變換實(shí)現(xiàn)步驟如下：步驟 1. 對圖像進(jìn)行二維傅里葉變換；步驟 2. 用構(gòu)造出的窗函數(shù)對圖像頻譜進(jìn)行分割，得到方向頻譜子帶；步驟 3. 對方向頻譜子帶進(jìn)行反傅里葉變換，得到曲線波變換系數(shù)。曲線波變換對曲線具有稀疏表示的重要原因在于，它的基函數(shù)的支撐區(qū)間表現(xiàn)為長方形，且滿足尺度關(guān)系，即滿足“各向異性尺度關(guān)系”。對于支撐在上的函數(shù)f，設(shè)其沿曲線奇異，則曲線波變換對該函數(shù)的M項(xiàng)非線性逼近誤差為： () Contourlet 變換2003年，Do 和 Vetterli提出了一種新的圖像多尺度幾何表示方法－Contourlet變換。它繼承了曲線波變換的各向異性尺度關(guān)系，基的支撐區(qū)間具有隨尺度變換的“長方形”結(jié)構(gòu)，具有良好的各向異性，能沿著圖像輪廓邊緣用最少的系數(shù)來逼近奇異曲線。與小波變換和其它多尺度幾何分析方法不同，Contourlet理論首先完成的是離散域的Contourlet構(gòu)建。與第二代離散曲線波變換不同，Contourlet變換通過空域的方向?yàn)V波器來實(shí)現(xiàn)圖像的多方向分解，而第二代離散曲線波變換通過頻域的方向?yàn)V波器來實(shí)現(xiàn)圖像的多方向分解。Contourlet 變換中尺度分析與方向分析是獨(dú)立進(jìn)行的，其數(shù)字實(shí)現(xiàn)主要包括兩步：步驟 1. LP (Laplacian Pyramid, LP) 濾波。使用 LP 濾波器對圖像進(jìn)行子帶分解，以捕獲二維圖像信號中存在的點(diǎn)奇異。一次 LP 分解將圖像信號分解為原圖像信號的近似分量和高頻分量；步驟 2. 多方向?yàn)V波。使用方向?yàn)V波器組(Directional Filter Bank, DFB)對高頻分量進(jìn)行方向變換，將分布在同一方向上的奇異點(diǎn)合成一個(gè)系數(shù)。Contourlet變換具有“最優(yōu)”變換所必須具備的條件，能稀疏地表示圖像輪廓邊緣。對于支撐在上的函數(shù) f ，且沿曲線奇異，則Contourlet變換對該函數(shù)的M項(xiàng)非線性逼近誤差為： ()這與曲線波的逼近效率是完全相同的。因此，Contourlet變換可以認(rèn)為是一種近似的曲線波變換。但與曲線波變換系數(shù)相比，Contourlet變換系數(shù)的冗余度要小得多。 Bandelet 變換 Bandelet變換最早是由Pennec和Mallat于2002年提出的，它是一種基于圖像邊緣的表示方法，能自適應(yīng)地跟蹤圖像幾何正則方向。Bandelet變換引入幾何矢量流，對圖像空間結(jié)構(gòu)灰度值變化的局部正則方向進(jìn)行刻畫，自適應(yīng)地獲得圖像的最稀疏表示[20]。 Bandelet變換提出至今經(jīng)歷了兩代，第一代Bandelet變換由于要對原始圖像重采樣，并要把任意幾何方向彎曲到水平和垂直方向，進(jìn)而借助二維可分離小波變換來處理，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度較高。第二代Bandelet變換巧妙地借助多尺度幾何分析和方向分析，既保留了第一代Bandelet的優(yōu)點(diǎn)，又能獲得更簡單的運(yùn)算。 第一代 Bandelet 變換首先采用四叉樹 (quadtree) 對原始圖像作二進(jìn)連續(xù)剖分，直到每剖分子塊中只含唯一的一個(gè)邊界，并將相應(yīng)的子區(qū)域分別標(biāo)示為水平區(qū)域、垂直區(qū)域、正則(或光滑) 區(qū)域或角點(diǎn)區(qū)域；然后通過彎曲 (warping) 算子把相應(yīng)區(qū)域內(nèi)的邊界彎曲至水平或垂方向；最后借助二維可分離小波來處理這種水平和垂直奇異性。Bandelet 變換實(shí)現(xiàn)過程中需要進(jìn)行重采樣操作，為避免二進(jìn)剖分時(shí)帶來塊狀效應(yīng)，在塊與塊相接的邊界處引入仿射函數(shù)，并采用改進(jìn)的提升程序。第二代 Bandelet 變換避免了重采樣和彎曲等繁雜操作，通過多尺度分析和幾何方向分析共同完成圖像的分解。多尺度分析通過二維小波變換完成，幾何方向分析通過幾何正交方向上的一維小波變換完成。首先對圖像進(jìn)行二維小波分解；然后對高頻系數(shù)圖作二進(jìn)四叉樹剖分，自底向上對四叉樹進(jìn)行修剪；最后分別找出平行于子塊中實(shí)際幾何方向的方向，通過這個(gè)方向上的正交投影，將二維小波系數(shù)轉(zhuǎn)換成一維離散信號，采用一維小波變換對該離散信號進(jìn)行分析，得到 Bandelet 系數(shù)。設(shè)f是的函數(shù)，除輪廓線外，函數(shù)為α階連續(xù)，則Bandelet變換M 項(xiàng)非線性逼近誤差性能為： ()從上式可以看出，Bandelet變換對輪廓線狀奇異性的非線性逼近性能與Ridgelet變換對線狀奇異性的非線性逼近性能一樣。第4章 圖像稀疏字典的設(shè)計(jì)和構(gòu)造 圖像的稀疏分解當(dāng)基于正交分解的信號表示方法已經(jīng)不能滿足研究人員的要求的時(shí)候,Coifman 和 Wicker hauser 等提出了稀疏分解的概念。以小波變換為基礎(chǔ)，Mallat 和 Zhang 提出了信號在過完備基上分解的思想。其基本思想就是：用一種過完備冗余函數(shù)來替代之前用于信號分解的基函數(shù)，這種新的過完備冗余函數(shù)被稱之為原子庫。同時(shí)在圖像稀疏表示中，我們將原子庫改稱為字典。字典的選擇并沒有任何特殊的限制，以讓信號能夠盡可能好的符合被分解的信號為準(zhǔn)。這一過程被賦予了新的名稱：信號的稀疏分解（Sparse deposition）。 稀疏分解的定義給定一個(gè)集合，其中的元素可以張成完整的 Hilber 空間的單位矢量，我們把其中的元素稱之為原子（或者基函數(shù)），對于任意的給定的維的圖像信號，都可以將其表示成為迭加的形式： ()上式表示在集合 D 的字典中選取一定個(gè)數(shù)的原子對信號 s 進(jìn)行逼近。其中為展開系數(shù)。如果字典 D 能夠張成為一個(gè)完整的 Hilber 空間，則稱字典 D 是完備的（Complete），如果 ，則稱字典為冗余的，如果冗余字典同時(shí)能夠張成完整的 Hilber 空間則稱 D 為過完備的（Overplete）。對于過完備字典，矢量內(nèi)的原子不是線性無關(guān)的，因此式 中的信號表示是非唯一的。表示結(jié)果的不唯一性也就意味著我們可以根據(jù)需要選擇最合適的表示系數(shù)，這恰恰為圖像的自適應(yīng)表示提供了可能。在稀疏分解的結(jié)果中，最好的結(jié)果是表示系數(shù)中系數(shù)向量的大部分分量為零，僅存在少數(shù)的非零系數(shù)，而這些非零系數(shù)又能很好的揭示圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。采用范數(shù)的稀疏性度量，過完備稀疏表示可以從所有表示中找出分解系數(shù)最為稀疏的一個(gè)，即， ()其中范數(shù)為范數(shù)時(shí)的極限形式，表示系數(shù)中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。對于式 而言，通常將其轉(zhuǎn)化為稀疏逼近的問題， ()即稀疏表示原子個(gè)數(shù)為k 時(shí)，求殘差 e 的最小表示。反之，用非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)作為約束