【文章內(nèi)容簡介】 利用牛頓第二定律可以分析得到水平方向的合力為： （49）由上圖可知其垂直于車身的合力為： （410） 繞車身質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的合力為： （411）通過(式410)和(式411)可以推出如下關(guān)系式： （412）將其進(jìn)行整理可得： （413） 通過(式48)和(式49)可以得到如下關(guān)系式： （414）將(式413)和(式414)聯(lián)立得： （415） （416）在這個(gè)建模過程中，假定垂直向上的方向上有一很小的角度必，滿足其關(guān)系θ=π + φ，由此可得 Cos θ=sin θ=φ （417） （418）將其上述數(shù)學(xué)模型(組4l)線性化，得到如下關(guān)系式： 其狀態(tài)空間表達(dá)式為： 式中：狀態(tài)變量分別代表小車的車輪位移、車輪的速度、小車的傾角和小車的角速度。表41給出了該系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)的物理意義。表41系統(tǒng)各個(gè)參數(shù)的物理意義：x：車輪的水平位移C：電機(jī)施加給車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩θ：車體偏移垂直方向的角度P：車輪對(duì)車體的反作用力r：車輪的半徑l：車輪中心到機(jī)器人的質(zhì)心的距離g：重力加速度H：車體對(duì)車輪水平方向的作用力：車輪水平方向的加速度：轉(zhuǎn)矩常量：車輪水平方向的速度：反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)：電機(jī)的阻抗：輸入電壓：車輪的重量：車身的重量：車輪的旋轉(zhuǎn)角度：車輪與地面之間的摩擦力：車體慣量：車輪慣量通過上述的建模并在一定條件下進(jìn)行線性化處理，可以得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為下面的控制算法研究提供一定的理論依據(jù)和準(zhǔn)備工作。由上面的數(shù)學(xué)模型可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：其中：上述狀態(tài)方程亦可以寫成：=Ax+Bu；系統(tǒng)的輸出則通常與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入信號(hào)有關(guān)，即y=Cx+Du。兩式聯(lián)合整理得： （419） 在不考慮輸入信號(hào)的情況下，即D=0。B(41) ∫dtC(24)A(44)u + x y + PID技術(shù)控制技術(shù)是運(yùn)動(dòng)控制的核心，各種先進(jìn)控制技術(shù)的研究不斷推動(dòng)著運(yùn)動(dòng)控制的發(fā)展，比如自適應(yīng)控制技術(shù)和以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制為代表的智能控制技術(shù)，但在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中應(yīng)用最普遍的還是各種以PID為代表的基本控制技術(shù)按照偏差的比例、積分和微分進(jìn)行控制的調(diào)節(jié)器，簡稱為PD調(diào)節(jié)器，是連續(xù)系統(tǒng)中技術(shù)成熟且應(yīng)用廣泛的一種調(diào)節(jié)器。本節(jié)將對(duì)系統(tǒng)用到的PID控制技術(shù)做相應(yīng)的介紹和研究，傳感器將車體的角度和運(yùn)動(dòng)速度等信息傳遞給系統(tǒng)控制器，控制器經(jīng)分析處理運(yùn)用PID控制技術(shù)，將目標(biāo)命令傳遞給電機(jī)驅(qū)動(dòng)器來完成系統(tǒng)的閉環(huán)控制。 應(yīng)用現(xiàn)狀在電機(jī)伺服系統(tǒng)的控制中，經(jīng)典的PID控制具有其結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)以及現(xiàn)場(chǎng)對(duì)Pro的廣泛使用積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)等優(yōu)點(diǎn)，在無刷直流電動(dòng)機(jī)的控制方面一直占有很重要的地位。PID的引入保證了其系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，穩(wěn)定了閉環(huán)控制器，補(bǔ)償了由逆變器引起的控制誤差[25][26]。PID控制器就是將偏差的比例(Proportional)、積分(Integral)和微分(Differential)通過線性組合構(gòu)成控制量，用這一控制量對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制。 PID算法是目前工業(yè)過程控制中應(yīng)用最廣泛的控制算法。PID算法應(yīng)用如此廣泛，是因?yàn)樗哂腥缦聝?yōu)點(diǎn):(1)算法較為簡單，易于實(shí)現(xiàn)；(2)基于線性控制理論，具備許多成熟的穩(wěn)定性分析方法，有較高的可靠性；(3)可以在很寬的操作條件內(nèi)保持較好的魯棒性，對(duì)于控制對(duì)象模型參數(shù)小范變化不敏感；(4)不要求了解控制對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型。利用許多成熟的參數(shù)整定方法，可以根據(jù)控制對(duì)象的實(shí)際響應(yīng)曲線來計(jì)算PID控制器的參數(shù)；(5)允許工程技術(shù)人員以一種簡單直接的方式來調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)，以達(dá)到希望得到的控制性能，如上升時(shí)間、最大超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差等。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來確定，這時(shí)應(yīng)用PID控制技術(shù)最為方便。即當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象，或不能通過有效的測(cè)量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用PID控制技術(shù)。 PID調(diào)節(jié)規(guī)律PID控制分為兩大類，一個(gè)是模擬PID控制，一個(gè)是數(shù)字PM控制。在模擬控制系統(tǒng)中，PID是最常用的控制方法。比例系數(shù)Kp積分系數(shù)Ki微分系數(shù)Kd被控對(duì)象 r(t) c(t) + _ + + u(t) y(t) + 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，使用的是數(shù)字PID控制器。將連續(xù)的模擬量進(jìn)行離散化處理，則可得 （420）在數(shù)字PID控制中，采樣周期相對(duì)于系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)來說一般是很短。因此其參數(shù)可按模擬PID控制器中的方法來選擇。由于要保持動(dòng)態(tài)的平衡，則小車的傾角在一定的范圍內(nèi)要求可控。故本文選擇系統(tǒng)的小車的傾角作為輸出量，利用PID技術(shù)對(duì)其進(jìn)行分析。由上述理論分析可以看出:其比例、積分、微分三者是彼此影響；同時(shí)要使其系統(tǒng)保持穩(wěn)定，PID三參數(shù)必須滿足上述關(guān)系；為了讓系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)其動(dòng)態(tài)的平衡，需要通過反復(fù)試湊的方法來解決，而且整定的參數(shù)多導(dǎo)致反復(fù)試湊的次數(shù)極大的增加，控制器的參數(shù)較難選取[27]。加之系統(tǒng)經(jīng)過線性化處理，即使所選參數(shù)滿足上述的關(guān)系式，仍需要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際模型進(jìn)行調(diào)整，這大大增加了調(diào)試的難度。鑒于此我們考慮采用其極點(diǎn)配置的方法來考察分析其系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 極點(diǎn)配置所謂極點(diǎn)配置就是指利用狀態(tài)反饋或輸出反饋使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置。由于系統(tǒng)的性能和它的極點(diǎn)位置密切相關(guān)，因此極點(diǎn)配置問題在系統(tǒng)中是很重要的?？刂葡到y(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標(biāo)很大程度上由閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位置決定。零點(diǎn)和極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面中的分布狀況決定了相應(yīng)表達(dá)式中該函數(shù)前的系數(shù)大小。一組零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布就對(duì)應(yīng)了一個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)。極點(diǎn)配置的問題，就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。極點(diǎn)配置決定了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性[28]。對(duì)于系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，需要解決兩個(gè)問題:一是建立極點(diǎn)可配置的條件；二是確定其反饋增益矩陣。 極點(diǎn)配置條件狀態(tài)能控性、狀態(tài)能觀性及其穩(wěn)定性都是控制系統(tǒng)的重要屬性。要設(shè)計(jì)相應(yīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)，必須先考察其能控性和能觀性。狀態(tài)能控性問題只考察系統(tǒng)在u(t)作用下狀態(tài)的轉(zhuǎn)移情況，與輸出量y(t)無關(guān)。對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時(shí)間區(qū)間[t0，tf]內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，則該狀態(tài)就是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。本文小車參數(shù)參考LEGO公司提供的主要機(jī)器人組建參數(shù)如下表：小車的車輪質(zhì)量（Mw）小車的車輪半徑（r）車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Iw）車身的質(zhì)量（Mp）車輪中心到機(jī)器人的質(zhì)心的距離（l）車身轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Ip）電機(jī)慣量（Jm）電機(jī)的電阻（Rm）反電動(dòng)勢(shì)常量（ke） sec/rad電機(jī)轉(zhuǎn)矩常量（km） Nm/A該系統(tǒng)的能控性矩陣可表示為： （421）利用文獻(xiàn)[27]中對(duì)系統(tǒng)能控性的判定定理，即線性非時(shí)變系統(tǒng)為完全能控系統(tǒng)的充分必要條件是能控判別矩陣滿秩。即若rank(Tc)=4，則系統(tǒng)能控。利用MATLAB仿真工具，調(diào)用其中函數(shù)為Tc=ctrb(A，B)。其代碼及結(jié)果如下所示。 A=[0 1 0 0: 0 16 0: 0 0 0 1: 0 525 0] B=[0: : 0: ] Ic=ctrb(A,B)% 求系統(tǒng)的能控判別矩陣Ic = +008 *0 0 rank(Tc)% 求矩陣的值，若此數(shù)值是4，則該系統(tǒng)完全可控ans = 4由上可以看出，其rank(Tc)=4，這說明兩輪自平衡小車系統(tǒng)是完全能控的，只有在此基礎(chǔ)才可以設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)平衡控制。狀態(tài)能觀性問題是指對(duì)于任意給定的輸入u(t)在有限觀測(cè)時(shí)間tft0，使得根據(jù)[t0，tf]期間的輸出y(t)能唯一的確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)，則該狀態(tài)x(t0)是能觀測(cè)的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀。該系統(tǒng)狀態(tài)可觀性矩陣為： （422）利用文獻(xiàn)平[42]中對(duì)系統(tǒng)能觀性的判定定理，即線性非時(shí)變系統(tǒng)為完全能觀系統(tǒng)的充分必要條件是能觀判別矩陣滿秩。即若rank(To)=4，則系統(tǒng)能觀。同樣利用MATLAB仿真工具，調(diào)用其中函數(shù)為To=obsv(A，C)；其代碼及結(jié)果如下所示。 A=[0 1 0 0 : 0 16 0: 0 0 0 1:0 525 0]: C=[1 0 0 0 : 0 0 1 0]: To =obsv (A,C)% 求系統(tǒng)能觀判別矩陣To = +004 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rank (To)% 求矩陣的值，若數(shù)值為4，則該系統(tǒng)完全可觀ans = 4從上中可得出：其rank(To)=4，則該系統(tǒng)能觀。在控制系統(tǒng)中，反饋控制信息是由系統(tǒng)的輸出或者狀態(tài)變量組合而成的。但是并非所有系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測(cè)得，于是能否通過對(duì)輸出的測(cè)量獲得全部的狀態(tài)變量的信息，便是系統(tǒng)的能觀測(cè)問題。此時(shí)系統(tǒng)能觀，可以設(shè)計(jì)控制器對(duì)那些不能測(cè)量的量進(jìn)行觀測(cè)，觀測(cè)系統(tǒng)變動(dòng)對(duì)它們的影響。由上述分析可得該系統(tǒng)能控且能觀，滿足極點(diǎn)配置的條件，因此可以利用狀態(tài)反饋或輸出反饋來配置該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。 極點(diǎn)配置控制器極點(diǎn)配置的問題，就是通過選擇反饋增益矩陣，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面上期望的位置，以獲得所希望的動(dòng)態(tài)性能。極點(diǎn)配置決定了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文通過狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置。系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)(ABC)任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)能控。，因此可以利用狀態(tài)反饋法來任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。對(duì)于系統(tǒng)(組42)引入狀態(tài)反饋，假定考慮進(jìn)入受控系統(tǒng)的信號(hào)為u=vkx且D=0的情況，其中v為系統(tǒng)的外部參考輸入信號(hào)，則可將系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)方程寫成(組43)。 （423）由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的前提，因此選擇調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量作為考察系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。為了讓系統(tǒng)滿足如下的性能要求：超調(diào)量：調(diào)節(jié)時(shí)間： 取ε=、由可得該閉環(huán)系統(tǒng)的期望主導(dǎo)極點(diǎn)為：s1，2=3177。4i，同時(shí)要求另外的兩個(gè)極點(diǎn)在主導(dǎo)極點(diǎn)左邊且遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)，一般取其距離主導(dǎo)極點(diǎn)的4到5倍左右，本設(shè)計(jì)選取15和20。這樣高階系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)來處理。所謂極點(diǎn)配置問題是指通過尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)(即矩陣A—BK的特征值)位于預(yù)先給定位置的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問題。B(41)C(24)A(44)K(14)由線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可知，當(dāng)v=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)方程的穩(wěn)定性由其變化系統(tǒng)矩陣(ABK)的特征值決定，即其矩陣(ABK)的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。而由經(jīng)典控制理論知道，矩陣(ABK)的特征值也將影響諸如衰減速度、振蕩、超調(diào)等過渡過程特性。因此需要找到一個(gè)合適的矩陣K，使得矩陣(ABK)的特征值位于復(fù)平面預(yù)先給定的特定位置，同時(shí)具有所期望的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。5 總結(jié)兩輪自平衡小車是復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，是驗(yàn)證各種控制算法的理想平臺(tái)。作為輪式移動(dòng)機(jī)器人一個(gè)重要分支，它具有體積小，運(yùn)動(dòng)靈活，適于在狹小和危險(xiǎn)的環(huán)境下工作的特點(diǎn)，同時(shí)還可以作為一種運(yùn)輸和載人工具，有著重要的理論研究意義和廣闊的應(yīng)用前景。論文所完成的工作和所取得的結(jié)論如下：（1） 完成了兩輪自平衡小車硬件驅(qū)動(dòng)電路的設(shè)計(jì)，并通過實(shí)驗(yàn)從功能上驗(yàn)證了該驅(qū)動(dòng)板基本滿足系統(tǒng)的要求。（2） 設(shè)計(jì)復(fù)合互補(bǔ)型濾波器，對(duì)傳感器所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理，得到一個(gè)更能反映車體姿態(tài)的數(shù)據(jù)信息，以便于微控制器更好的決策。（3） 由于LEGO機(jī)器人的模型與所設(shè)計(jì)的小車模型在本質(zhì)上相同，在車體未加工完成的情況下，利用LEGO機(jī)器人完成了系統(tǒng)的建模，為后續(xù)研究控制算法提供理論基礎(chǔ)。（4） 利用上述數(shù)學(xué)模型，完成了兩種控制策略的研究：PID控制與極點(diǎn)配置。并分析了各自的優(yōu)缺點(diǎn)。（5） 以LEGO機(jī)器人平臺(tái)，通過平衡和