【文章內(nèi)容簡介】 （217）將拉格朗日函數(shù)寫成向量的形式 （218）將向量形式的拉格朗日函數(shù)(216)代入廣義動量(219)，即得 （219）式(218)表示了三者的關系，從中即可解出 （220）代入哈密頓函數(shù)(218)即可消去q，使哈密頓函數(shù)H 的表述中只剩下兩類獨立變量：廣義位移q和廣義動量p?；喓蟮墓茴D函數(shù)記為 （221）式中。將式(221)代入哈密頓正則方程可得 （222）將式(122)寫成向量形式 （223）引用式(211)，將共同組成一個狀態(tài)向量，則式(222)可合并寫成一個一階微分方程形式的哈密頓正則方程 （224）式中 ，矩陣 H 稱為哈密頓矩陣，辛的這個性質(zhì)與哈密頓體系是分不開的，凡是保守體系均可納入哈密頓體系的軌道，因此都是具有辛的性質(zhì)的。 本章小結(jié) 本章首先推導了梁自由振動分析的拉格朗日方程，然后引入廣義位移的拉格朗日函數(shù)以及廣義動量,建立關于對偶變量的哈密頓函數(shù)，推導出了哈密頓正則方程，為下文在彎扭基礎上的振動分析做好鋪墊。3 雙閉室薄壁箱型截面梁橋的彎扭振動分析箱型結(jié)構因其諸多優(yōu)點而被廣泛應用，結(jié)構彎扭作用下的振動分析顯得尤為重要。箱型橋梁結(jié)構的結(jié)構的自振特性是其本身固有的極其重要的力學特性，其自振頻率、振型和阻尼等動力特性只是和結(jié)構自身的質(zhì)量和剛度有關，是結(jié)構本身所固有的屬性，是結(jié)構振動的內(nèi)因，也是結(jié)構動力學中的重要特性。阻尼的大小由試驗測定，自振頻率及振型則可通過計算來確定。目前，薄壁桿件結(jié)構動力分析方法有能量法，解析法。本章采用數(shù)值法，對考慮彎扭左右下的箱型截面梁橋作出假定，推導出箱型截面梁橋結(jié)構震動分析的計算公式。箱形截面橋梁的類型很多，根據(jù)其截面形式的不同，還可再分為T形截面橋梁、槽形截面橋梁、箱形截面橋梁等結(jié)構體系。箱形截面橋梁結(jié)構實際上屬于薄壁桿件，目前國內(nèi)外建成的鋼筋混凝土箱形截面橋梁結(jié)構，其跨度()、截面寬度(b)、壁厚(δ)大多均可滿足薄壁桿件的條件。故箱形截面橋梁實質(zhì)上可以看作是薄壁桿件結(jié)構的一種模型。薄壁桿件的橫截面最大幾何尺寸與長度相比較為小量級，它的壁厚與橫截面最大幾何尺寸相比也為小量級，通常滿足下列關系: (31)式中是截面輪廓曲線s的函數(shù)，b為截面寬度或高度的最大值，為桿件的長度。 薄壁桿件在外荷載作用下主要將發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)，若當某些外荷載達到一定數(shù)值時，桿件還有可能發(fā)生失穩(wěn)。所以，對薄壁桿件的研究主要集中在研究薄壁桿件的彎曲、扭轉(zhuǎn)和穩(wěn)定性問題。 工程中常見的箱形截面橋梁大多采用兩端扭轉(zhuǎn)固定的線形支承、一端固定另一端自由等支承形式，在豎向和扭轉(zhuǎn)荷載作用下，結(jié)構將發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)，在此先對烏曼斯基提出的閉口薄壁桿件的約束扭轉(zhuǎn)理論進行簡單介紹。烏曼斯基閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論是鳥曼斯基于1939年提出的，采用如下基本假定:在小變形條件下，桿件截面外形輪廓線在其自身平面內(nèi)保持剛性即不變形，在截面外方向(桿軸z方向)可以任意翹曲即扭轉(zhuǎn)前后截面在與縱軸垂直的截面上的投影不變。此即為符拉索夫剛周邊假定。此理論方法簡單且適用性強，是分析閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)問題的常用方法。進一步的研究表明，閉口薄壁桿件受截面周邊變形的影響實際上是不大的，而且箱形截面橋梁內(nèi)分布的橫隔板起到對截面的約束作用，更使其周邊變形可忽略不計，恰好迎合了符拉索夫剛周邊假定。所以應用烏曼斯基閉口薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)理論分析箱形截面橋梁結(jié)構，是一種較為合理的方法。建立如圖21中的直角坐標系，其中為截面形心,s為截面扭心，x軸和y軸為截面的形心主慣性軸，z軸與桿件的母線平行，且通過截面形心。曲線坐標s沿桿件外形輪廓線量取，桿件截面上任一點p可由坐標z和s完全確定。現(xiàn)規(guī)定，位移u,v,w分別沿x,y,z軸正向為正，轉(zhuǎn)角 及扭角 分別按右手法則繞x, y, z軸正向轉(zhuǎn)動為正。xyo圖21 選用坐標系 在薄壁桿件的彎扭作用問題中，不失一般性，我們考慮桿件在平面內(nèi)的彎曲，在平面內(nèi)的彎曲及繞軸的扭轉(zhuǎn)。在以下的薄壁桿件彎扭作用分析中，我們采用如下基本假定:① 研究薄壁桿件繞z軸扭轉(zhuǎn)時，將符拉索夫剛周邊假定應用于截面的切向位移 (32) 式中：為截面上任一點p的切線到扭心的距離； 為截面z的扭轉(zhuǎn)角。②此外，沿曲線坐標s方向的環(huán)向應力和法向應力遠比橫截面的軸向應力 小，可忽略不計。在薄壁桿件的彎扭作用問題中，為了更真實的表示薄壁桿件結(jié)構的實際變形，我們采取插值函數(shù)的思想對桿件的翹曲位移進行假定，以此達到逼近桿件實際變形的效果；將等效后的工字形薄壁結(jié)構依次劃分為若干個有限寬度得到條形單元，沿條形單元的豎向真實的的連續(xù)函數(shù)（廣義位移），而沿橫向用插值函數(shù)來模擬翹曲位移函數(shù)： (33)式中: 為截面所分條單元交界線處的縱向翹曲位移。為關于各交界線處縱向翹曲位移的插值函數(shù)?？梢赃x取線性、二次、三次或其他高次插值函數(shù)來模擬桿件的實際縱向翹曲位移。此處，我們只求清晰的介紹理論，故選用較簡單的分段線性插值函數(shù)來描述薄壁桿件的縱向翹曲位移： 圖32截面線性插值按圖32依次寫出 (34a) (34b) (34c) (34d) (34e) (34f) (34g)式中：——表示第 i 點的曲線坐標，設箱形截面左上角點為初始坐標，順時針依次為（如圖 32 所示）； ——表示薄壁桿件截面各分段間距，其值等于。將公式（34）求導，得 （35a） （35b） （35c） （35d） （35e） （35f） （35g）引用向量，則縱向翹曲位移函數(shù)用向量的形式可表示為 （36）由幾何方程可知: （37a）由物理方程可知： （37b）將公式(36)代入應變表達式(37)，可得用包含描述縱向位移的插值函數(shù)的向量表示的軸向應變和剪應變，分別為 (38)式中則體系總勢能為： （39） 式中：E 、G ——分別為材料的彈性模量和剪切模量； ——圣維南扭轉(zhuǎn)常數(shù)，其值等于——截面 z 的扭轉(zhuǎn)角；——分別為箱形截面橋梁受到沿縱向變化的分布荷載；——箱形截面橋梁受到的扭矩；，為箱形截面橋梁所產(chǎn)生的軸向應變能；；；；；——分別為截面繞 x 、 y 軸的慣性矩，其值分別為，；——繞扭心的極慣性矩，其值等于；——與布雷特剪應力對應的扭轉(zhuǎn)慣性矩，其值等于；——沿 x 方向的剪切面積，其值等于 ；——混合剪切面積，其值等于；——沿 y 方向的剪切面積，其值等于 ；——x 方向的剪切靜矩，其值等于；——y 方向的剪切靜矩，其值等于。由體系總勢能公式（38）可求得箱形截面橋梁的勢能密度，即拉格朗日函數(shù)： （310）將上式寫成矩陣的形式可表示為 （311）式中： ， ， 拉格朗日靜力平衡方程為： （312）由式（311）有： （313） （314）將式（313）、（314）帶入（311）得： （315）其中，當考慮結(jié)構自由振動時，設為結(jié)構單元的密度，在靜力平衡方程式（315）的基礎上，加上結(jié)構自由振動時的慣性力，并將相關方程改為運動方程便可得到結(jié)構的運動方程： （316） 其中， 在分析動力問題時，對時間t 常采用化為頻域的方法，此時采用： （317） 將式（317）代入式（316）可得結(jié)構自振問題的動力方程： （318）由于自振分析時，僅考慮自身的振動特性，即涉及自身頻率，陣型等動力特性問題，因此毋需施加外荷載，由此可取，帶入后可知： （319）式中： （320）對比系數(shù)可得： ， ，為了將方程導入哈密頓對偶體系，首先導入變量的對偶變量： （321）解出： （222）導入哈密頓密度函數(shù)： （323）于是得到哈密頓對偶方程： （324）其中：，，令，，則哈密頓正則方程還可表示為： （325）本問題中，， 接著可以運Matlab編制程序，進行求解計算，從而得到頻率。 本章小結(jié) 本章首先根據(jù)箱形截面橋梁的特點，基于薄壁桿件理論建立了箱形截面橋梁彎扭分析的計算模型，然后由模擬縱向翹曲位移的線性插值函數(shù)導出了箱形截面橋梁彎扭分析的哈密頓對偶求解體系，在由拉格朗日靜力方程導出振動分析的拉格朗日方程，并可由此編制相應的Matlab分析程序，得出高精度的數(shù)值解，作為在工程中分析薄壁箱型梁在受到作用力時變形的依據(jù)。4 工程算例如圖41所示：某懸臂等厚雙閉室箱形截面梁，跨度 L= 15m，其材料的力學參數(shù)和幾何參數(shù)分別為：材料為鋼筋混凝土， MPa，MPa，結(jié)構單元密度；截面尺寸上下翼緣寬 2a = ，腹板高 2b= ，厚度t=。Lzy圖41（a）雙壁室箱梁toyx2b2a圖41(b) 雙壁室箱梁 圖42 截面線性插值截面性質(zhì)：計算所得結(jié)果如下所示： 表41 各階頻率 頻率（1/s）計算結(jié)果107313 算例2如圖41所示：某等厚懸臂雙壁室箱形截面橋梁，跨度 l = 18m，其材料的力學參數(shù)和幾何參數(shù)分別為：材料為鋼筋混凝土， MPa，MPa，結(jié)構單元密度；截面尺寸上下翼緣寬 2a = ，腹板高 2b = ，厚度t=。截面特性；沿用圖42截面線性插值，則有計算所得結(jié)果如下所示：表42 各階頻率