【文章內容簡介】 地表達原始信號某些特征(如邊緣)的特點。同時它也與窗口傅立葉變換類似，它是將小波函數(shù)作為窗函數(shù)的一種積分變換。信號的小波變換有內積和卷積兩種表達方式，二者的本質是相同的。f(t)的內積型小波變換為： ()其中波函數(shù)相當于一個系統(tǒng)，對信號進行小波變換即為將該系統(tǒng)作用于信號，也即信號通過小波函數(shù)確定的系統(tǒng)。設滿足允許條件，令，則可得到f(t)的卷積型小波變換： ()進行小波變換首先要選擇母小波，母小波的選擇既不是唯一的，也不是任意的，它必須滿足允許條件()。只有滿足允許條件，小波變換才存在逆變換： ()同時，能用作母小波的函數(shù)必須滿足，否則會在處趨于無窮大。因為母小波必須滿足條件因為母小波必須滿足條件 ， （） 這說明波函數(shù)具有衰減性和波動性，且平均值為0，它們是一系列有限寬度的波。波動性表明是“波，衰減性要求是有限寬度的，即具有局部性，這種局部性稱為“小”，故稱為“小波”，這也是前文“小波”得名的原因。因此，小波變換的實質就是把信號和一個尺度伸縮的小波進行卷積，假設小波是實函數(shù)，因為小波的積分為0，所以小波系數(shù)度量的是以b為中心、半徑大小與a成比例的任何鄰域內信號的局部變化。因此通過小波變換能有效地檢測局部瞬變信號，它的窗口大小固定但其形狀可改變，它是一種時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽為“數(shù)學顯微鏡。（2）小波變換的特點根據(jù)小波及小波變換的定義，我們可以看出小波變換具有以下特點：① 有多分辨率，也叫多尺度的特點。可以粗及細地逐步觀察信號；② 可以看成用基本頻率特性為的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波。由于傅里葉變換的尺度特性可知這組濾波器具有品質因數(shù)恒定，即相對帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點。注意，a越大，相當頻率越低；③ 適當?shù)倪x擇基小波，使得在時域上為有限支撐，在頻域上也比較集中，就可以使得WT在時頻區(qū)域都具有表征信號局部特征的能力，因此有利于檢測信號的瞬態(tài)和奇異點。小波分析的主要優(yōu)點就是能夠分析信號的局部特征，例如可以發(fā)現(xiàn)疊加在一個非常規(guī)范的正弦信號上的一個非常小的畸變信號的出現(xiàn)時間。傳統(tǒng)的傅里葉變換得到的圖形為平坦的頻譜上的兩個尖峰。利用小波分析可以非常準確的分析出信號在什么時候發(fā)生畸變。小波分析亦可以檢測出許多其他分析方法忽略的信號特性。還能以非常小的失真度實現(xiàn)對信號的壓縮和消噪，它在圖像數(shù)據(jù)壓縮方面的潛力已經(jīng)得到了確認?？傊〔ㄗ儞Q作為一種數(shù)學理論和方法在科學技術和工程界引起了越來越多的關注和重視，尤其在工程應用領域，特別在信號處理、圖像處理、模式識別等領域被認為是近年來在工具和方法上研究的重大突破。 多分辨率分析1988年，[8]，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，多分辨率分析是小波分析中最重要的概念之一它從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示，將一個函數(shù)表示為一個低頻成分和不同分辨率下的高頻成分。正是有了多分辨分析，正交小波基的構造不再僅僅依賴于數(shù)學技巧。正交小波變換的快速算法如Mallat算法也是以多分辨率分析為基礎產(chǎn)生的。 多分辨率分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予以考慮。其分解的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基（或者是正交小波包基），這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶通濾波器。下面給出多分辨率分析（MRA）的定義：平方可積空間中的一系列閉子空間序列稱為的一個多分辨率分析(或多分辨率逼近、多尺度分析)，序列包括如下一些性質：① 函數(shù)空間序列，j∈Z的單調性：即,。② 函數(shù)空間序列，j∈Z的逼近性：,。③ 伸縮性：。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。④ 平移不變性：平移不變性是指在同一子空間中波形平移后不變化，即。⑤ Riesz基存在性：存在，使得構成的Riesz基?？梢宰C明，存在函數(shù)，使它在整數(shù)平移系構成的規(guī)范正交基，稱為尺度函數(shù)。定義函數(shù)， （）則函數(shù)系是規(guī)范正交的。設以表示分解中的低頻部分，表示分解中的高頻部分，則是在中的正交補，即= （） （）顯然= （）則多分辨率分析的子空間可以用有限個子空間來逼近，即有 （）空間序列具有以下性質：① ② ③ ，當時，對任意和一樣，需要找出一個特定的數(shù)，使得對每個，函數(shù)系構成的空間的規(guī)范正交基，其中。從包容關系,我們很容易得到尺度函數(shù)的一個極為有用的性質。由，所以可以用子空間的基函數(shù)展開，令展開系數(shù)為，則 （）這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。另一方面，由于，故,這意味著小波基函數(shù)可以用的子空間的正交基展開，令展開系數(shù)，即有 （）這就是小波函數(shù)的雙尺度方程[9]。由以上論述，分解過程如下圖： 的多分辨分解雙尺度方程（）和（）表明了需要構造的小波基可由尺度函數(shù)的平移和伸縮的線性組合獲得，這種構造方法歸結為濾波器和的設計。 綜上所述，為了使構成子空間的正交基，生成元應該具備以下性質：① 尺度函數(shù)的容許條件。② 能量歸一化條件。③ 尺度函數(shù)具有正交性，即。④ 尺度函數(shù)與基小波函數(shù)正交，即有。⑤ 跨尺度的尺度函數(shù)與相關，也就是滿足小波函數(shù)的雙尺度方程（）。⑥ 基小波函數(shù)和相關，也就是滿足小波函數(shù)的雙尺度方程（）。同時，尺度函數(shù)還應該是R域上的實值函數(shù)，并且是r次可微的。 Mallat算法Mallat提出了信號的塔式多分辨率分解與重構算法，即Mallat算法。Mallat算法是利用多分辨分析的特征進行快速小波變換的算法，它在小波分析中的地位相近于FFT在經(jīng)典Fourier分析中的地位。 一維DWT的塔式Mallat分解與重構信號的小波分解和重構可通過子帶濾波的形式實現(xiàn)?？梢宰C明，圖中G為高通濾波器，H為低通濾波器，和分別為G、H的鏡像濾波器。設原始信號序列{ }的分辨率和尺度均為1，它的分解過程是：信號經(jīng)過低通濾波器后再進行抽取去1/2，得到分辨率和尺度均減半的信號逼近()；另一方面，經(jīng)過高通濾波器后再抽取去，得到在減半的分辨率和尺度下的細節(jié)信息。它的逆過程是：低尺度和低分辨率的信號逼近通過兩個樣本之間插入零值進行拉伸，再經(jīng)過低通濾波器H得到在高尺度下的低分辨率的逼近；低尺度和低分辨率的細節(jié)同樣經(jīng)過提升尺度后得到高尺度下的細節(jié)；將它們相加就可以重構原始信號 ()下面介紹下分解與重構的過程：假定選擇了空間和函數(shù)，且是正交的，設是相伴的正交小波基，和是實的。正交小波的概念在下一小節(jié)介紹，而現(xiàn)在要做的是把初始序列分解到相應于不同頻帶的層。數(shù)據(jù)列構成的函數(shù)f： （）或者 （）顯然，這函數(shù)屬于，對于這個函數(shù)用上一節(jié)的多分辨分析。首先得計算相對于函數(shù)f的迭代和相對應于兩個迭代層次的差值。由于的元素f可以被分解為它的屬于和的分支： （）各個分支對應的正交基為和，被擴展為 （） （）序列表示原數(shù)據(jù)列的平滑形式，而表示和之間的信息差，序列和可以作為的函數(shù)用下式計算，由于是的正交基，有 （）其中， （）注意這里的包括正規(guī)化因子。類似地 （）其中， （）將上面（）和（）簡化，也是為了方便處理： （） （）其中，H、G是從到自身的有界算子： （） （）對這個過程進行一次迭代，由于，有 （） （） （）因此得到 （）從而驗證了 （）與j無關。于是得到 （）或者寫為 ()類似可以得到 ()根據(jù)需要多次迭代后得到 （）其中。這就是Mallat算法的分解過程。迭代是原始越來越低的分解形式，每次采樣點比它前一步少一倍。包含了和之間的信息差。并且在每一步中，Mallat算法都保持非零元總數(shù)。算法的分解部分如下：假定已知和，則有因而 = （）或者寫成 （）重構算法也是一個樹狀算法，而且與分解算法用的是同樣的濾波系數(shù)。 正交尺度函數(shù)與正交小波（1） 正交尺度函數(shù)在第二小節(jié)里已經(jīng)提出了尺度函數(shù)的方程式，從各種小波構造和小波算法來看，小波函數(shù)總是和尺度函數(shù)密切聯(lián)系在一起，在第二節(jié)里多分辨分析的時候可以知道小波函數(shù)的構造實際上是從構造尺度函數(shù)開始的，為此，我們在構造函數(shù)之前先研究下正交尺度函數(shù)的構造方法。[10]可以得到正交尺度函數(shù)的構造步驟：步驟尋找滿足尺度方程（）的尺度系數(shù)；并計算濾波器；步驟驗證是否滿足和；步驟計算，通過Fourier逆變換求出；步驟驗證矩陣A的特征值1是否非退化；如果是非退化的，則即為所求的正交尺度函數(shù)，其中A由構造， （）為了構造尺度函數(shù)，希望由兩尺度方程的解來得到滿足多分辨率分析的尺度函數(shù)，最終構造出小波函數(shù)。下面來看方程是否有解，如何求解兩尺度方程。對于上面提出的問題，假設兩尺度序列，則我們可以通過求解兩尺度方程 （）或其傅立葉變換 （）來構造相應的函數(shù)。下面采用頻域迭代法來構造：對雙尺度方程（）和（）兩邊進行傅立葉變換得到 （） （）其中，，稱，為雙尺度符號。同時，我們記。由式（）可以得到 （）若無窮乘積收斂，則。若,且，則。，下面給出一種簡單的代數(shù)構造法。根據(jù)MRA的定義，若要構造雙正交小波，關鍵問題就是構造對偶的尺度函數(shù)，尺度函數(shù)（）已經(jīng)給出，其對偶函數(shù)滿足如下形式： （）準備條件如下：設滿足： ，； ，和可以轉化為用與的條件來刻劃，可證明，等價于 （）若，和滿足： ；， （）則與以及與彼此正交，滿足此條件的小波即為雙正交小波。具體的定義過程和理論基礎將在第5小節(jié)里討論。由式（）、（）和（）可以得到 （）以及 （）利用（）可以得到 。 （）可以看出，若能求得，則可構造對偶的尺度函數(shù)。對偶尺度函數(shù)的構造過后再設法構造出小波函數(shù)及其對偶的小波函數(shù)，這方面內容將在后文提出。（2）正交小波假設滿足小波母波公式的容許條件，如果其二進伸縮和平移得到的小波基函數(shù)，即， （）構成的規(guī)范正交基。下面，將從多分辨分析的角度引入正交小波基和正交小波變換。 從第二小節(jié)多分辨率分析討論可知，任意給定一個多尺度分析，就可以相應地得到小波基函數(shù)以及一系列相互正交的小波空間。首先從給定的多尺度分析出發(fā)，根據(jù)（），將空間進行如下分解，即 （）則稱為正交小波，稱為正交小波基函數(shù)。而相應的離散小波變換，即 ， （）此即稱為正交小波變換。正交小波變換在數(shù)學上具有良好的正規(guī)性，他的存在使得信號的正交分解和重構都極為簡單。然而，數(shù)學家Daubechies已經(jīng)證明，除了Haar小波外，所有構造的正交基都不具有對稱性，而非對稱性會在某些應用場合引入相位失真，這就影響所要解決問題的完整性。為了解決這個問題，我們可以適當放寬正交性的要求，構造出雙正交基，使得小波基函數(shù)具有很多重要特性，應此下面便引入雙正交小波概念。 雙正交小波的概念及性質（1）雙正交基定義設、分別是多分辨率分析的尺度序列、的尺度函數(shù)，前文已經(jīng)給出方程式。定義小波函數(shù)：，使得構成了的Riesz基構成了的基，