基于頻率抽樣法二維非遞歸濾波器設(shè)計(jì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)(編輯修改稿)
2025-07-24 21:17 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1）點(diǎn)，另外（N/21）點(diǎn)（從N/2+1到N1）則需根據(jù)線性相位的奇偶對(duì)稱(chēng)條件求得。對(duì)N為奇數(shù)，設(shè)計(jì)公式為 (35) (36) (37)對(duì)N為偶數(shù)，設(shè)計(jì)公式為 (38) (39) (310) (311) 最小二乘優(yōu)化設(shè)計(jì)單位脈沖響應(yīng)為{h(n1,n2),n1=0,1,…,N11,n2=0,1,…,N21}的二維FIR 濾波器,其頻率響應(yīng)為 (312)二維FIR 濾波器的約束最小二乘設(shè)計(jì)是指選擇N1N2個(gè)脈沖響應(yīng)系數(shù)h(n1,n2) ,使H(ejω1,ejω2) 逼近某個(gè)期望響應(yīng), 在逼近誤差小于預(yù)定值的條件下, 使平方逼近誤差的積分最小.一般情形下, N1N2個(gè)脈沖響應(yīng)是獨(dú)立的。當(dāng)滿(mǎn)足一定對(duì)稱(chēng)性時(shí), 獨(dú)立脈沖響應(yīng)系數(shù)有所減少, 且濾波器具有大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合所要求的線性相位。 為描述簡(jiǎn)單, 考慮N1 , N2 均為奇數(shù)、脈沖響應(yīng)矩形對(duì)稱(chēng)的情形,即h(n1,n2)=h(N11n1,n2)=h(n1,N21n2)=h(N11n1,N21n2) ………………………………………………………………(313)此時(shí),共有數(shù)目為n=(N1+1)(N2+1)/4的獨(dú)立脈沖響應(yīng),即h(n1,n2),n1=0,1,…,r1,n2=0,1,…，r2,其中r1=(N11)/2,r2=(N21)/2；頻率響應(yīng)變?yōu)? (314)其中,相頻響應(yīng)為(r1ω1+r2ω2),是頻率ω1,ω2的線性函數(shù)(線性相位) ,幅頻響應(yīng)P(ω1,ω2)等于 (315)是獨(dú)立脈沖響應(yīng)的線性函數(shù)。用{αi|i=1,2,…，n}來(lái)表示獨(dú)立的脈沖響應(yīng),則幅頻響應(yīng)可表示為： (316)其中是w1,w2的某個(gè)函數(shù)。當(dāng)αi=h(n1,n2),0≤n1r1,0≤n2r2時(shí) (317)當(dāng)αi=h(n1,r2),0≤n1r1時(shí) (318)當(dāng)αi=h(r1,n2),0≤n2r2時(shí)當(dāng)αi=h(r1,r2)時(shí), =1。令=[，…，]T，α=[α1,α2,…,αn]T ,則幅頻響應(yīng)可進(jìn)一步化為 (319)當(dāng)所設(shè)計(jì)的濾波器就是一個(gè)線性相位濾波器時(shí),只需考慮幅頻響應(yīng)的逼近問(wèn)題,問(wèn)題簡(jiǎn)化為:使P(ω1,ω2)按如下約束最小二乘準(zhǔn)則逼近期望幅頻響應(yīng)D(ω1,ω2)： (320) (321)其中Ω1及Ω2是頻率區(qū)域{(ω1,ω2)p≤ω1≤p,p≤ω2≤p}的子集,ε(ω1,ω2) 為預(yù)定的逼近誤差上限函數(shù)。容易看到,P(ω1,ω2)關(guān)于ω1,ω2矩形對(duì)稱(chēng), 因此要求D(ω1,ω2)也具有矩形對(duì)稱(chēng)性,并且只需考慮頻率子區(qū)域Π≡{(ω1,ω2)0≤ω1≤p,0≤ω2≤p}上的逼近問(wèn)題。此時(shí),逼近問(wèn)題仍然表示為(1)、(2) ,但其中的Ω1和Ω2是頻率子區(qū)域Π的子集。一般情況下,式(416) 的積分需采用數(shù)值方法計(jì)算,式(417)的約束用稠密頻率點(diǎn)集上的約束集代替。為此,我們將頻率子區(qū)域Π離散化為稠密的頻率點(diǎn)集Ω={(ω1i,ω2j) =(ip/L,jp/L)|i,j=0,1,…,L}L是一個(gè)充分大的正整數(shù)。將式(416)積分替換為Ω1∩Ω上的求和,將式(417)約束替換為Ω2∩Ω上的約束集。二維線性相位FIR濾波器的約束最小二乘設(shè)計(jì)問(wèn)題可化為:[6] (322) (323) 基于頻率抽樣法二維FIR濾波器的程序?qū)崿F(xiàn)Matlab信號(hào)處理工具箱中的firls函數(shù)用來(lái)設(shè)計(jì)具有最小二乘線性相位FIR濾波器。該濾波器可使指定頻段內(nèi)的理想分段線性函數(shù)與濾波器頻響應(yīng)之間的誤差平方和最小[7]。b=firls(n,f,m)可得到n階FIR濾波器，其幅頻特性與由f和m指定的性能匹配。濾波器系數(shù)矢量b共包含有n+1個(gè)系數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)關(guān)系b(k)=b(n+2k) k=1，…，n+1 對(duì)應(yīng)濾波器即為Ⅰ型和Ⅱ型線性相位濾波器。b=firls（n,f,m,w）可利用權(quán)值矢量w對(duì)各頻率段進(jìn)行加權(quán)擬合，w的長(zhǎng)度為f和m長(zhǎng)度的一半，用以指定各頻率段的權(quán)值。b=firls(n,f,m,`ftype`)和b=firls（f,m,w,`ftype`）可指定濾波器的類(lèi)型：當(dāng)ftype=hilbert時(shí)，設(shè)計(jì)的濾波器為奇對(duì)稱(chēng)的線性相位濾波器（Ⅲ型和Ⅳ型），b的系數(shù)滿(mǎn)足以b(k)=b(n+2k),k=1,…,n+1。這類(lèi)濾波器包括Hilbert變換器。當(dāng)ftype=differentiator時(shí)，也可設(shè)計(jì)出Ⅲ型和Ⅳ型濾波器，但采用了特殊的加權(quán)技術(shù)，對(duì)非零幅值的頻段，將誤差乘以(1+f)2，這樣可使低頻段誤差大大小于高頻段誤差。[8]fsamp2函數(shù)是使用頻率抽樣法設(shè)計(jì)二維FIR濾波器。h= fsamp2(hd),設(shè)計(jì)一個(gè)頻率響應(yīng)為hd的二維FIR濾波器，返回濾波器系數(shù)到矩陣h,濾波器h有一個(gè)頻率響應(yīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)hd。如果hd是在M、N之間，那么H 也在M、N之間。hd是一個(gè)包含理想頻率響應(yīng)采樣點(diǎn)的矩陣， 之間的等間隔點(diǎn)上，, 或pi弧度。為了結(jié)果的準(zhǔn)確, 使用 FREQSPACE返回頻率點(diǎn)得到hd。h = fsamp2(f1,f2,hd,[M N])產(chǎn)生一個(gè)從M到N 的FIR濾波器 ，使濾波器響應(yīng)hd在f1和f2之間。得到的濾波器盡可能接近理想的頻率響應(yīng)。最好的結(jié)果是必須有至少M(fèi)*N個(gè)理想的頻率點(diǎn)。如果您指定的點(diǎn)少于M*N點(diǎn),fsamp2將出現(xiàn)警告。[3]下面是利用該函數(shù)和二維FIR濾濾器的頻率采樣設(shè)計(jì)函數(shù)fsamp2進(jìn)行設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)要求：利用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一20階的具有最小二乘線性相位的FIR帶阻濾波器。首先必須給出一維的相應(yīng)FIR濾波器。f=[0 1]。m=[1 1 1 0 0 0 0 1 1 1]；產(chǎn)生一個(gè)20階的具有最小二乘線性相位的一維FIR帶阻濾波器。B=firls(20,f,m,`Hilbert`)。[h0,w]=f
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