【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 主極化分量可以看出，傾斜方向相同時(shí)是反相激勵(lì)，傾斜方向相反時(shí)是同相激勵(lì)。（b）b b（a）Fig. The layout of oblique slots array in the narrow face of a waveguide諧振式縫隙陣是側(cè)射陣，方向性圖主瓣最大值方向指向縫隙面的法線方向。當(dāng)工作頻率改變時(shí)，間距不再等于，不能保持各縫隙同相激勵(lì)，引起主瓣方向改變，并且天線的匹配也將急劇變差。所以這類縫隙陣是窄頻帶的。非諧振式縫隙陣的間距大于或小于，波導(dǎo)末端接匹配負(fù)載，屬行波天線，故能在較寬的頻帶內(nèi)保持良好匹配。天線陣的各縫隙不同相激勵(lì)，具有一個(gè)固定相差，所以方向性圖主瓣將偏離縫隙面的法線一定角度。第3章 時(shí)域有限差分法的基本應(yīng)用時(shí)域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一種直觀的電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算技術(shù)，它的直觀性來(lái)源于對(duì)麥克斯韋方程組的處理方式上，事實(shí)上它沒(méi)有對(duì)麥克斯韋方程組做任何變換處理，而是直接把旋度方程中對(duì)空間和時(shí)間變量的偏微分運(yùn)算離散化為對(duì)空間和時(shí)間變量的差商運(yùn)算，當(dāng)離散間隔足夠小時(shí)，差商運(yùn)算的結(jié)果將達(dá)到足夠的精度。事實(shí)上，從感性上來(lái)說(shuō)，微分運(yùn)算也就是極限意義下的差商運(yùn)算。所以為了體現(xiàn)該方法固有的直觀性，本文對(duì)它的介紹也將以如何離散化Maxwell旋度方程而展開(kāi)，包括一維、二維、三維電磁問(wèn)題的FDTD基本技術(shù)，并給出相應(yīng)的源代碼（使用MATLAB語(yǔ)言）。不求面面俱到，只為說(shuō)明該方法的主要構(gòu)成脈絡(luò)和基本應(yīng)用技術(shù)。本章只講述有關(guān)FDTD的一維和二維情形，三維情形將在第4章結(jié)合單縫隙天線予以介紹。在正式介紹之前，作如下兩點(diǎn)處理說(shuō)明：由于和在數(shù)值上相差若干數(shù)量級(jí)，致使電場(chǎng)和磁場(chǎng)的數(shù)值不在相同的數(shù)量級(jí)上，在編寫程序時(shí)，應(yīng)考慮到編程語(yǔ)言數(shù)據(jù)類型的精度范圍，所以為了使電場(chǎng)和磁場(chǎng)在某種編程語(yǔ)言下具有相同的精度，可令，這種歸一化處理有助于計(jì)算準(zhǔn)確度的提高[27]。使用電通密度對(duì)媒質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)一處理： 通常，對(duì)Maxwell方程組的處理都是基于和的兩個(gè)旋度方程展開(kāi)的，即 （）我們看到，如果媒質(zhì)是導(dǎo)電的，則有項(xiàng)存在于第一個(gè)式子，使得兩式結(jié)構(gòu)不 對(duì)稱，不利于編程。解決辦法是利用電通密度把媒質(zhì)的特性統(tǒng)一到一個(gè)式子中集中處理，具體如下： （）這樣，不管媒質(zhì)是導(dǎo)電的還是色散的，計(jì)算的復(fù)雜性都包括在式（）的第二個(gè)式子中，而第一和第三兩式保持對(duì)稱。 自由空間一維電磁波傳播的FDTD模擬自由空間Maxwell旋度方程如下： （）F/m是自由空間介電常數(shù)；H/m 是自由空間導(dǎo)磁率。上述旋度方程中和均為三維矢量，所以等價(jià)于六個(gè)標(biāo)量方程，我們僅以其中的和為代表展開(kāi)一維FDTD問(wèn)題的表述，即 （）這是沿z方向傳播的一維平面波方程，電場(chǎng)方向是x方向，磁場(chǎng)是y方向。對(duì)此偏微分方程組進(jìn)行中心差分離散得[28]： （）上角標(biāo)，，均表示時(shí)間點(diǎn)，小括號(hào)中的，，均為空間位置，從上式可看出，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間上和時(shí)間上相互交替咬合步進(jìn)發(fā)展。對(duì)式（）整理可得： （）仔細(xì)觀察此式不難看出它所表述的含義：空間某位置任意時(shí)間步的電場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的電場(chǎng)與鄰近磁場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和；空間某位置任意時(shí)間步的磁場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的磁場(chǎng)與鄰近電場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和。令，可得： （）根據(jù)Courant穩(wěn)定性條件[29]，取，其中是自由空間中的光速，由此可推知，于是可得程序代碼（MATLAB語(yǔ)言）如下： ()注意，代表時(shí)間的上角標(biāo)已經(jīng)略掉，在程序中需要設(shè)置一個(gè)代表時(shí)間步的循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)間上的迭代，k和k+不符合MATLAB語(yǔ)言的數(shù)組規(guī)范，所以分別用k1和k+1來(lái)指代，式中，是在MATLAB中定義的分別用來(lái)保存電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變量。附錄A的程序代碼模擬了高斯脈沖在自由空間的傳播過(guò)程，在這個(gè)程序中問(wèn)題空間的大小設(shè)為200個(gè)空間步長(zhǎng)，即k由1變化到200，其中脈沖源設(shè)置在k=100處，這樣能使我們得以同時(shí)觀察向正負(fù)z兩個(gè)方向傳播的一維平面波，程序中保存時(shí)間步總數(shù)的變量“nsteps”可由讀者重新設(shè)定，以根據(jù)需要觀測(cè)波形的變化。 經(jīng)過(guò)100個(gè)時(shí)間步時(shí)的電場(chǎng)磁場(chǎng)波形Fig. The electric field and magnetic field waveform after 100 time steps隨著迭代時(shí)間步的增大，脈沖將到達(dá)問(wèn)題區(qū)間的外邊緣，如果不做任何處理，將導(dǎo)致脈沖反射。Fig. The electric field and magnetic field waveform after 300 time steps為了消除這種反射，我們可以在程序中增加設(shè)置吸收邊界的代碼。前面我們根據(jù)Courant條件取，這意味著對(duì)于自由空間中的一維電磁波傳播問(wèn)題，波前將以兩個(gè)時(shí)間步來(lái)前進(jìn)一個(gè)完整網(wǎng)格的距離，亦即，根據(jù)這一事實(shí)，我們可以得到一維自由空間問(wèn)題的吸收邊界條件為： （）式（）的第一式和第二式分別對(duì)應(yīng)問(wèn)題區(qū)間的左邊界和右邊界。具體的，在代碼實(shí)現(xiàn)上，可以通過(guò)增設(shè)兩個(gè)暫存變量來(lái)實(shí)現(xiàn)邊界處場(chǎng)量的傳遞，詳細(xì)程序代碼見(jiàn)附錄B。，由Maxwell旋度方程出發(fā)，并引入歸一化，即，可得： （）取和分量構(gòu)成一維平面電磁波： （）對(duì)時(shí)間和空間變量進(jìn)行中心差分離散: （）取并進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得： （）于是可寫出程序代碼如下： （）其中，用來(lái)保存計(jì)算出來(lái)的關(guān)于煤質(zhì)的參數(shù)，用來(lái)保存媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。附錄C給出了模擬一維高斯脈沖平面波經(jīng)過(guò)相對(duì)介電常數(shù)的無(wú)耗介質(zhì)的FDTD代碼，其中空間上設(shè)置從到是自由空間，從開(kāi)始是相對(duì)介電常為6的無(wú)耗介質(zhì)。當(dāng)脈沖到達(dá)介質(zhì)時(shí)，由于媒質(zhì)的不連續(xù)性，導(dǎo)致一部分波向源的方向反射，一部分波透過(guò)介質(zhì)繼續(xù)向前傳播。 The reflection and transmission of one dimentional electromagnetic wave hitting on a lossless dielectric在導(dǎo)電損耗介質(zhì)中，Maxwell旋度方程形式如下 （）電流密度的存在使得式（）中的兩式結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，這種不對(duì)稱將導(dǎo)致編程的復(fù)雜性，故正如本章引言所述，引入電通密度對(duì)媒質(zhì)特性進(jìn)行集中處理，即由下式出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)： （）令，進(jìn)行歸一化處理得： （）以后為書寫方便將省略歸一化場(chǎng)量的上波浪線“~”。導(dǎo)電損耗介質(zhì)一般具有如下形式[30]： （）帶入式（）中的第二式，可以得到 （）將式（）變換到時(shí)域?yàn)? （）對(duì)式（）進(jìn)行時(shí)域離散化： （）式（）等價(jià)于 （）這樣，對(duì)于給定的時(shí)刻，就能寫出由求的公式： （）令，則可把式（）關(guān)于n時(shí)刻電場(chǎng)E的求解化為兩個(gè)式子聯(lián)合求解: （）同樣，根據(jù)Courant條件取，便可獲得如下代碼： （）其中，是程序中定義的用來(lái)計(jì)算相關(guān)參數(shù)的變量，用來(lái)保存媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，用來(lái)保存電導(dǎo)率，用來(lái)保存時(shí)間步長(zhǎng)，保存真空中的介電常數(shù)。程序代碼詳見(jiàn)附錄D。對(duì)于色散媒質(zhì)，也完全可以采用與在導(dǎo)電損耗媒質(zhì)情況下類似的處理方法，在此舉例說(shuō)明。假如色散媒質(zhì)形式如下[31]： （）其中最后一項(xiàng)變換到時(shí)域是，為單位階躍函數(shù)。令，頻域的乘積運(yùn)算相當(dāng)于時(shí)域的卷積運(yùn)算，即 （）對(duì)式（）進(jìn)行時(shí)域離散化，得到： （）進(jìn)而又可求得：所以可推出與的關(guān)系如下 （）現(xiàn)在可以寫出由式（）描述的媒質(zhì)中的FDTD計(jì)算式 （）從而可通過(guò)此式求得電場(chǎng)： （）于是總的求解過(guò)程可用如下的MATLAB代碼描述： 其中 ， ， ， 。所涉及到的程序變量在名稱上與諸公式中的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)應(yīng)。 對(duì)于自由空間中二維電磁問(wèn)題FDTD公式的推導(dǎo)，也是從Maxwell旋度方程出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，如式（）?？紤]到場(chǎng)量的歸一化處理，即和[32]，對(duì)于TM模，可獲得如下的標(biāo)量偏微分方程組： （）其中的場(chǎng)量已略掉表示歸一化的上波浪線。對(duì)式（331）進(jìn)行中心差分離散可得： （）注意，為方便起見(jiàn)，式（）中不同坐標(biāo)軸方向的空間增量均用表示，以后進(jìn)入三維FDTD問(wèn)題時(shí)，還將沿用此記法。附錄E給出了二維TM波的FDTD代碼，采用高斯脈沖源，置于平面上問(wèn)題區(qū)域的中心，、=45時(shí)的波形,注意比較幅度的起伏變化。 高斯脈沖TM波經(jīng)過(guò)20個(gè)時(shí)間步時(shí)的波形Fig. The Gauss pulse TM wave after 20 time stepsFig. The Gauss pulse TM wave after 30 time stepsFig. The Gauss pulse TM wave after 45 time steps、隨著時(shí)間步的繼續(xù)增加，波將傳播到外邊界，如果不做任何處理，波將反射，干擾原問(wèn)題空間內(nèi)的波形，使其不能反映真實(shí)物力情形。為了在有限的計(jì)算機(jī)資源空間中模擬開(kāi)域的電磁問(wèn)題，需在問(wèn)題空間的外圍增設(shè)一層具有一定厚度的吸收層，使得電磁波在進(jìn)入該吸收層時(shí)無(wú)反射，并且在進(jìn)入該層后迅速衰減。無(wú)反射則要求反射系數(shù)，其中和分別是自由空間和吸收層的波阻抗；有衰減則要求磁導(dǎo)率和介電常數(shù)為復(fù)數(shù)。對(duì)于二維和三維電磁問(wèn)題，我們將采用各向異性完全匹配層（UPML）來(lái)作為吸收邊界[3339]。 將方程組： （）變換到頻域[40]： （）為了構(gòu)造各向異性PML，添加假象的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率： （）欲構(gòu)成各向異性完全匹配層，必須滿足以下兩點(diǎn)1：，這里，對(duì)于二維問(wèn)題，下角標(biāo)或y表示了所添加的假想介質(zhì)參數(shù)的各向異性性。2：，即在與吸收層某一邊界垂直那個(gè)方向上的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別等于其它方向上介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的倒數(shù)。PMLxy A PML which is vertical to the x axis對(duì)于xoy平面內(nèi)僅與x軸垂直的PML（），式（）簡(jiǎn)化為: （）為了滿足上述兩點(diǎn)要求，取 （）于是方程組化為： （）對(duì)式（）中第一式的左邊 變換到時(shí)域?yàn)椋? （）對(duì)式（）進(jìn)行中心差分離散： （）整理可得： （）其中,。 同理，式（）中的第四式可整理為： （）其中,。對(duì)于式（）中的第三式，處理過(guò)程有所不同，首先可整理為： （）將式（）變換到時(shí)域進(jìn)行差分離散，并令 則可得 其中表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間步累