【文章內(nèi)容簡介】 限個不同頻率的正弦交變信號的疊加，在數(shù)學(xué)上它由傅立葉序列來表述。假設(shè)有一周期信號x(f)，其周期為乃那么它的傅立葉序列為： ()式中，為傅立葉系數(shù)，為各次諧波的頻率。對于某一瞬時態(tài)信號可以設(shè)定其周期丁趨向無窮大，這時序列可以化為： ()這里傅立葉系數(shù)變?yōu)檫B續(xù)的頻率函數(shù)： ()式()即是著名的傅立葉變換，式(3．2)是傅立葉反變換，如果將信號x(f)經(jīng)A/D采樣變成數(shù)字信號序列x(t)，則對照式()可以得出離散傅立葉變換及其逆變換如式()和()所示： () ()式中n,k為序列號，N為數(shù)字信號序列的點數(shù)。若A/D轉(zhuǎn)換的頻率是Z，且采樣點數(shù)為偶數(shù)，則序列號k=N/2處代表的頻率為Z/2，序列號k=l處代表的頻率為T/N，其它后代表的頻率以此規(guī)則類推。當(dāng)采樣點是2的整數(shù)次方時，即可用著名的基2的FFT算法進(jìn)行快速運算，獲得Y(k)。一般Y(k)的值是復(fù)數(shù)，對其求模即得該頻率下譜的幅度，一系列的模則構(gòu)成x(n)的離散化的幅度譜(即通常講的頻譜)，基于FFT的譜分析稱為線性譜分析。當(dāng)k固定時的Y(k)的虛部與實部之比即為該頻率成份下的相位，由此還可以構(gòu)成相位譜。如果獲得x(n)點數(shù)不足2的整數(shù)次方，最簡單的辦法就是在實際的x(n)后補(bǔ)若干零值，使其滿足總點數(shù)為2的整數(shù)次方，這樣就可以用常規(guī)的FFT算法。但由于增加了FFT的計算長度，耗時量會顯著加大，因此在目標(biāo)信號的時間動態(tài)許可范圍內(nèi)應(yīng)盡可能減少x(n)的點數(shù)。另外，對x(n)的A/D采樣頻率也要滿足奈奎斯特抽樣定律，該定理描述如下：假設(shè)x(f)是一個時間函數(shù)，它的最高頻率為Z(截止頻率)，則若|f|時，x(t)的傅立葉變換X(f)=0，那么，該函數(shù)x(t)可以完全由時間間隔的時域抽樣(或者說抽樣頻率)序列唯一確定，即函數(shù)x(t)可以表示為： ()顯然，抽樣定理包含著兩個限制，一是頻率函數(shù)的帶寬限制，即時，x(f)=0；一是對抽樣間隔的限制，即=1/(2)，它也是最大的抽樣問隔。這種等間隔的抽樣又叫奈奎斯特(Nyquist)抽樣，叫做奈奎斯特抽樣頻率。抽樣定理指的是采樣頻率。實際應(yīng)用中，一般保留一定的余量，取得比奈奎斯特采樣頻率高于此。進(jìn)行FFT運算時，一般先用各種窗函數(shù)給x(n)加權(quán)，然后再進(jìn)行FFT運算，這樣可在一定程度上改善起伏現(xiàn)象。FFT的另一個不足是其分辨率往往較低，即使在x(n)后補(bǔ)上大量的零點，也只能減小FFT運算上Y(k)的離散化間隔，實際上并不能幫助使用者明確頻譜的真正細(xì)節(jié)，且增加零點數(shù)造成FFT運算的點數(shù)增加，使運算速度大大降低。鑒于FFT分辨力不足的問題，可以用高分辨力的非線性譜分析方法。非線性譜分析的方法很多，如AR模型方法、自回歸滑動平均(ARMA)模型方法、量小交叉嫡方法等，其中AR模型方法問世較早，研究與應(yīng)用都比較成熟，且有多種較快運算速度的算法。除此之外，由于傅立葉變換無時間局部信息，也就是說，信號x(f)任何時刻的微小變化都會牽動整個頻譜；反過來，任何有限頻段上的信息都不足以確定在任意時間小范圍內(nèi)的函數(shù)x(t)。為了了解實時信號的局部特性，發(fā)展起來了預(yù)先加窗的辦法，使頻譜反映時間局部特性。因此，出現(xiàn)了許多基于傅立葉變換的譜分析方法。經(jīng)常應(yīng)用于工程實踐的除了FFT，還有短時傅立葉變換(STFT)、子波變換(WT)和ZOOMFFT。從數(shù)學(xué)上看，三種不同的變換都是將所研究的信號在一組特定基函數(shù)上的分解問題，但由于基函數(shù)不同，就有了不同的分辨率特征。變換的分辨率特性完全取決于基函數(shù)的特征，即基函數(shù)的頻率帶寬和持續(xù)時間。FFT是在單頻上做分解，即=0，頻率分辨率可以任意設(shè)置，但基函數(shù)在時問軸上無限延伸=，故無時間分辨率。STFT法一旦窗函數(shù)選定，基函數(shù)的包絡(luò)不再改變，只是載波改變，其頻寬和時寬也就確定，所以，時間和頻率分辨率在整個時頻平面固定不變。而且，由于一個窄的波形有一個寬的譜，而一個寬的波形有一個窄的譜，波形和頻譜的寬度兩者不能同時兼顧，即滿足下式所揭示的“不確定性原理或稱“測不準(zhǔn)原理”： ()在分析信號，尤其是在分析聲音和圖像信號的時候，不同的頻率上需要有不同的分辨率，低頻處應(yīng)該有較高的頻率分辨率，而在高頻段頻率分辨率可以降低，使頻率分辨率隨頻率f而改變?；诖搜芯勘尘?，為了解決FFT和STFT中時間分辨率與頻率分辨率之間的矛盾，提出了子波變換。子波變換(WT)的公式如下： （）WT的基函數(shù)是基本子波的伸縮和平移，取基本子波，g(t)為高斯函數(shù)，令，若a減小，包絡(luò)壓縮，同時f增大，載頻升高，也增大。而ZOOM．FFT是用“局部細(xì)化放大的方法，使感興趣的重點頻區(qū)得到較高的分辨率，若輪流按頻區(qū)逐段細(xì)化，還可以使整個頻譜圖得到詳細(xì)的分析。目前有兩種細(xì)化方法，一種是對某一局部的波形做簡單的放大，它并不提高分辨率，比較容易實現(xiàn)：另一種是將局部頻段重新處理后得到的較原來頻譜圖上分辨率遠(yuǎn)為提高的頻譜圖。應(yīng)用最廣泛的是移頻式ZOOMFFT方法，它基于DFT變換的移頻原理，將信號乘以單位旋轉(zhuǎn)因子后，就能把頻率移至所需細(xì)化的處，頻率分量停留在頻率為0處的位置上。這樣就形成了一個以為頻率起點的新的信號，然后再將由此做始點的頻率截出感興趣的頻段，按普通FFT工作步驟做頻譜圖，得到的是以為起始點，有限范圍頻段的細(xì)化頻譜。綜上所述，目前發(fā)展起來了很多種頻譜分析方法，這些方法都以傅立葉變換為基礎(chǔ)的，可以根據(jù)不同的檢測目的和要求來選用不同的方法。 傅立葉變換的基本定義一個波形的傅立葉變換，其實質(zhì)是把這個波形是把這個波形分解成許多不同頻率的正弦波之和。如果被分解的波形為x(f)，那么傅立葉變換在數(shù)學(xué)上可表示成： （）式中t表示時間，f表示頻率。x(f)稱為x(t)的傅立葉變換，又把x(f)叫做時間函數(shù)的頻譜。式()是對時間域和頻率域而言的，它可以看作是時間函數(shù)x(t)在頻率域上的表示。顯然，頻率域上所包含的信息和時間域上所包含的信息應(yīng)該是完全相同的，唯一的差別只是形式不同而己。通常，x(f)是頻率f的一個復(fù)函數(shù)，即：R(f)和I(f)分別為實部和虛部，則振幅譜|x(f)|表示為： （）相位函數(shù)表示為： （）傅立葉逆變換定義為： （）式()表明，如果已知一個時間窗函數(shù)的傅立葉變換，那么就能夠確定該時間函數(shù)。式()和式()叫做傅立葉變換對。傅立葉變換對的存在需滿足時間函數(shù)x(t)在下式意義上是可積的，即。以上是對無限長信號截取無限個樣本值進(jìn)行計算的，只能進(jìn)行離散、有限長運算，所以實現(xiàn)傅立葉變換，就必須對()中無限長信號x(t)做截斷，即截取有限長一段信號，并且對x(t)和x(f)做時域、頻域上的離散化，截取有限個樣本點。對信號做如此處理后進(jìn)行的傅立葉變換稱作離散傅立葉變換(DFT)。對x(t)進(jìn)行等間隔采樣離散化，用x(n)表示，且設(shè)x(n)是一個周期為N的周期序列，則x(n)的離散傅立葉變換x(k)后為： () (k=0,1…..,N) ()式中，稱為旋轉(zhuǎn)因子。進(jìn)行這樣的處理以后，會產(chǎn)生一定的誤差，但在實際中，很多情況下，x(t)是帶限信號，即：x(t)=0(t)。根據(jù)抽樣定理，當(dāng)頻域和時域的采樣點足夠多時，這些離散信號時完全能夠代替連續(xù)信號，所以實現(xiàn)傅立葉變換時完全有可能的。如果時域信號x(t)在處是連續(xù)的，為抽樣間隔，那么，存在如下定理：定理1 函數(shù)x(t)以時間間隔t抽樣后的譜是一個周期為l/t的周期函數(shù)。定理2頻譜x(f)以間隔f抽樣后所得到的傅立葉變換(即時域函數(shù))也是一個周期函數(shù)。定理1和定理2表明，時域的抽樣相應(yīng)于頻域的周期化，頻域的抽樣也相應(yīng)于時域的周期化，因此有定理3。定理3 函數(shù)x(t)以抽樣間隔抽樣的抽樣序列x(n)的譜，就是將函數(shù)x(t)的譜X(f)以周期為l/進(jìn)行周期延拓。x(f)的周期延拓，就是把x(f)以周期l/移動到整個頻率軸上。DFT是基于周期性的采樣數(shù)據(jù)而提出的，而事實上，這個周期是由采樣的時間窗所指定的。對在某個時間窗里的采樣數(shù)據(jù)做變換，這個時間窗就被認(rèn)為是信號的周期了。一旦選定了一個，變換所得的譜的最小間隔就確定了。而且對這個譜再進(jìn)行反變換所重建的信號，將具有以為間隔的周期性。因此，DFT的一項重要工作就是選取時間窗。另外也應(yīng)該看到，如果信號x(n)有N個離散的數(shù)據(jù)點，那么要想得到Ⅳ個獨立的正弦波幅值，其計算量正比于，即做次乘法。當(dāng)N值較大時，其運算量也大的驚人。為了解決這一問題，就要使用快速傅立葉變換的算法(FFT)。根據(jù)DFT的定義： （）式中，x(n)是N點離散時間序列，X(k)是x(n)的傅立葉變換。由上式可見，對于k為某一確定值，計算一個X(k)，需要N次復(fù)數(shù)乘法運算和(N一1)次復(fù)數(shù)加法運算。若要計算N點x(后)，則需要2次復(fù)數(shù)乘法和(N一1)次復(fù)數(shù)加法。計算量很大。根據(jù)不同的實現(xiàn)方法，發(fā)展起來多種FFT算法，其基本原理是利用三角函數(shù)的周期性和對稱性，將較長序列的DFT逐次分解為較短序列的DFT，從而減少運算量。這種方法可以使傅立葉變換的復(fù)數(shù)乘法運算量從次減少到(N/2)次。當(dāng)N=1024時，運算量節(jié)省近200倍。這種分解基本上分為兩類：一類是將時間序列x(n)進(jìn)行逐次分解，由此得到的FFT算法稱為按時間抽取算法；另一類是將傅立葉變換序列x(k)進(jìn)行分解，叫做按頻率抽取算法。對這兩種算法，庫利一圖基和桑德一圖基進(jìn)行了理論推導(dǎo)，故又稱庫利一圖基算法和桑德一圖基算法。對每一算法，按基本的蝶形運算的構(gòu)成又分為基基基8以及任意因子等的FFT算法。短時傅立葉分析是分析緩慢時變頻譜的一種簡便方法，在聲音分析中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。其方法是，先將聲音信號分成短段，再將各短段進(jìn)行傅立葉變換。各聲音段可以認(rèn)為是從各個不同的平穩(wěn)信號波形中截取出來的，各段聲音的短時頻譜就是各個平穩(wěn)信號波形的頻譜的近似。信號{x(n)}的短時傅立葉變換的定義為： （）其中{w(n)}為一窗序列，顯然是個二維函數(shù)，也稱時頻函數(shù)。我們可以從兩個角度來理解時頻函數(shù)的物理意義：第一種理解是：當(dāng)n固定時，例如n=，則是將窗函數(shù)的起點移至處截取信號x(n)，再做傅立葉變換而得到的一個頻譜函數(shù)。這是直接由式(3．28)從頻率軸方向來理解的。第二種解釋是從時間軸方向來理解：當(dāng)頻率固定時，例如w=wk，則可看作是信號經(jīng)過一個中心頻率為的帶通濾波器后產(chǎn)生的輸出。這是因為式(3．28)中窗序列函數(shù){w(n)}通常具有低通頻率響應(yīng)，而的傅立葉變換為，這里的指數(shù)對x(n)的調(diào)制作用，是使其頻譜產(chǎn)生移位，即將x(n)頻譜中對應(yīng)于頻率的分量平移到零頻。短時傅立葉變換幅度的平方是信號x(n)在時間n處的頻譜能量密度函數(shù)。因為當(dāng)我們把x(n)看成是能量有限信號時，其頻譜能量在頻域是連續(xù)分布的，只能以密度函數(shù)的形式給出。不難證明，它是信號x(n)的短時自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換,即： ()其中短時自相關(guān)函數(shù)定義為： ()在實際計算時，一般用離散傅立葉代替連續(xù)傅立葉變換，這就需要對信號進(jìn)行周期性擴(kuò)展，也就是把x(n)w(n)看成是某個周期性信號的一個周期，然后對它作離散傅立葉變換，這時得到的是功率譜。值得注意的是，如果窗長為L，那么x(n)w(n)的長度為L，則的長度為2L。如果我們對x(n)w(n)以L為周期進(jìn)行擴(kuò)展的話，在自相關(guān)域就會出現(xiàn)混疊，即這個周期函數(shù)的循環(huán)相關(guān)在一個周期中的值就與線性相關(guān)的值不同了，這樣得到的功率譜只是真正功率譜的一組欠采樣，即L個采樣值。若想得到功率譜的全部2L個值，可以在x(n)w(n)之后補(bǔ)L個零，將它擴(kuò)展成為周期為2L的信號再作離散傅立葉變換。這時的循環(huán)相關(guān)與線性相關(guān)才是等價的。能量密度譜函數(shù)(或功率譜函數(shù))是二維的非負(fù)實值函數(shù)。用時間n作為橫坐標(biāo)，w作縱坐標(biāo)，將的值表示為灰度級所構(gòu)成的二維圖像就是語譜圖(Spectrogram)。這種反映聲音信號動態(tài)頻譜特性的時頻圖在聲音分析中有重要的實用價值，被稱為可視語言。語譜圖的時間分辨率和頻率分辨率是由所用窗函數(shù)的特性決定的。我們?nèi)钥赏ㄟ^前節(jié)兩種解釋來估計它的時間、頻率分辨率。先看頻率分辨率。按前節(jié)第一種解釋，假定時間固定，例如n=no，對信號乘以窗函數(shù)w(n)的作用，在頻域相當(dāng)于用以w(n)的頻率響應(yīng)W()與信號頻