【文章內(nèi)容簡介】 ，每隔一個(gè)采樣頻率 fs ， 重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣 后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成份的兩倍，這稱之為采樣定理。如圖 所示，由于不滿足采樣定理，信號產(chǎn)生了混疊。 圖 信號正常采樣和欠采樣 信號的采樣定理是連結(jié)離散信號和連續(xù)信號的橋梁，是進(jìn)行離散信號處理與離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 采樣定理 (sampling theory) 若連續(xù)信號 x(t)是有限帶寬的，其頻譜的最高頻率 為 cf 對 x(t)抽樣時(shí)，若保證抽樣頻率 sf ? 2 cf （或 s? ? 2 c? ,sT ? π / c? ) 那么，可由 x (nTs)恢復(fù)出 x(t) ， 即 )( ss nTx 保留了 x(t)的全部信息。 快速傅立葉變換 (FFT) DFT 是信號處理中最基本也是最常用的運(yùn)算，它涉及到信號與系統(tǒng)的分析與綜合這一廣泛的信號處理領(lǐng)域。對 N 點(diǎn)序列 x(n)， 其 DFT變換對定義為： nKNNKNnnkNWkXNnxWnxkX?????????1010)(1)()()(),1,2,1,0( Nπ2 KjN eWNk ???? ? (21) DFT之所以在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用其中一個(gè)非常重要原因是因?yàn)樗嬖谟懈咝Э焖俚乃惴?快速傅立葉變換，簡稱 FFT。 習(xí)慣上是指以 1965 年庫利 圖基 (CooleyTukey)算法為基礎(chǔ)的一類高效算法，它的出現(xiàn)和發(fā)展 對推動信號的數(shù)字處理技術(shù)的變革和發(fā)展起到著重大作用，是數(shù)字信號處理發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)也，可以稱之為一個(gè)里程碑。 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 8 頁 共 40 頁 (1)FFT 算法的基本思想 已知 N 點(diǎn)有限長序列 x(n)的 DFT如式 (21)所示。通常 X(k)可以為復(fù)數(shù)，給定 的數(shù)據(jù) x(n)可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。 DFT 可以看作是以 nKNW 為加權(quán)系數(shù)的一組樣點(diǎn) x(n)的線性組合 .將式 (21)中第一個(gè)式展開得 )1()1()0()1()1()1()0()1()1()1()0()0()1(1)1(1)0(1)1(1)1(1)0(1)1(0)1(0)0(0??????????????????????NxWxWxWNxNxWxWxWxNxWxWxWxNNNNNN???? (21) 可見上式中 ,每完成一個(gè)頻譜樣點(diǎn)的計(jì)一算 ,需要作 N 次復(fù)數(shù)乘法和 (N1)次復(fù)數(shù)加法。對整個(gè) X(k)序列的 N 個(gè)采樣點(diǎn)的計(jì)算，就得作 2N 次復(fù)數(shù)乘法和 (N1)次復(fù)數(shù)加法。而且每一復(fù)乘又含有 4 次實(shí)乘和 2 個(gè)復(fù)加；每一復(fù)加又包含有 2 個(gè)實(shí)加。這對一個(gè)實(shí)際的信號長度來說，每當(dāng)點(diǎn)較多得時(shí)，這么大的數(shù)組，勢必占用很長的計(jì)算時(shí)間。即使是目前運(yùn)算速度很快的通用 PC 機(jī)，往往也難免失去實(shí)時(shí)性。可見 DFT 雖然解決了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行信號與系統(tǒng)的分析問題，但尚未解決實(shí)時(shí)性問題， 因而直接計(jì)算 DFT， 在實(shí)際應(yīng)用中有其局限性為了提高速度還有賴于提出高效的算法。 DFT運(yùn)算時(shí)間能否減少，關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn) DFT運(yùn)算是否存在規(guī)律性以及如何利用這些潛在的規(guī)律。通過以下對式 (21)的分析得知指數(shù)因子存在周期性，即 ))(1( mNnNkNkNNNkNkNWW WW ????? 1， m 為整數(shù) (23) 式中下標(biāo) N 是為了強(qiáng)調(diào)以 N為周期。由于 NNN)N2( 11W ??? ? πjNN eW 所以 NW 又稱為對模 N 的 N 次單位根， kNNW 稱為離散傅立葉變換核(FourierKernel) 快速傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)，在很大程度上取決于這個(gè)變換核周期性和基于下列關(guān)系而存在著許多可壓縮的重復(fù)運(yùn)算 (冗余量 )， 即 K / 2NK2N3 N / 4NN / 4NN / 2NKNNNNWWjWjW 1W1W1W ??? ??? ， ， (24) 因此 NW 除具有周期性以外 ,還具有對稱性 ,即 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 9 頁 共 40 頁 KNN/2KN WW ?? (25) 此外，由于 DFT 的 復(fù)乘和復(fù)加的次數(shù)都是與 2N 成正比的 ,因此若把長序列分解為短序列 ,例如把 N 點(diǎn) DFT 分解為 2 個(gè) N/2 點(diǎn) DFT 之和時(shí) ,其結(jié)果使復(fù)乘次數(shù)減少到近似等于 2 (N /2)2 N2 / 2 ， 即為分解前的一半。由此可見 FFT 的基本思想是把原始的 N 點(diǎn)序列，依次分解成一系列短序列。充分利用 DFT 計(jì)算式中指數(shù)因子 N W 所具有的對稱性質(zhì)和周期性質(zhì)，進(jìn)而求出這些短序列相應(yīng)的 DFT 并進(jìn)行適 當(dāng)組合，最終達(dá)到刪除重復(fù)計(jì)算、減少乘法運(yùn)算和提高速度的目的。 (2)FFT 算法的軟件實(shí)現(xiàn) 在各種離散傅立葉變換的應(yīng)用中，其軟件部分實(shí)現(xiàn) FFT 運(yùn)算的程序段是必不可少的，并且一般均作為一個(gè)主要的子程序調(diào)用。 FFT 算法程序的基本部分 ,現(xiàn)在一般已經(jīng)是一個(gè)常規(guī)的程序，從早期的使用 FORTRAN 語言到現(xiàn)在的采用 C (C++)語言編寫的都能比較方便的找到。一些著名的應(yīng)用軟件，如 MATLAB、 MATHMATICA等，把 FFT()作為它們的一個(gè)內(nèi)部函數(shù)，用一條語句直接調(diào)用即可完成運(yùn)算。 在 LabVIEW 中也提供了基 本 FFT 函數(shù)，但直接調(diào)用不會得到頻譜，必須經(jīng)過一系列變換才能得到幅頻特性。其所采用 FFT 算法為按頻率抽取基 2 FFT 算法。將 N 點(diǎn) DFT輸入序列 x(n)的頻域 X(k)， 在頻域分解成 2 個(gè) N/2 點(diǎn)序列 Xl(k)和X2(k)， 前者是從原序列中按偶數(shù)序號抽取而成，而后者則按奇數(shù)序號抽取而成，這樣有規(guī)律地按奇、偶次序逐次進(jìn)行分解便構(gòu)成這種算法。其程序?qū)崿F(xiàn)是由 C 語言編程而后生成動態(tài)連接庫，然后在 LabVIEW 中以 CLF 節(jié)點(diǎn)形式調(diào)用。這種算法要求輸入的采樣點(diǎn)必須是 2的整數(shù)冪如果不是 2的整數(shù)冪則自動轉(zhuǎn)化為 DFT運(yùn)算。 準(zhǔn)同步采樣 電氣量采集和計(jì)算的方法主要有兩種 ： 一種是直流采樣法，另一種是交流采樣法。直流采樣法，即采樣的是經(jīng)過整流后的直流量。交流采樣法是按一定規(guī)律對被測信號的瞬時(shí)值進(jìn)行采樣，再用一定的數(shù)值算法求得被測量。在實(shí)驗(yàn)電路設(shè)計(jì)中電壓和電流信號是在交流側(cè)獲取的，采用的是交流采樣 ， 通常所說的同步采樣和準(zhǔn)同步采樣均屬于交流采樣法。 (1)同步采樣法 同步采樣法是指采樣時(shí)間間隔 Ts 與被測交流信號周期 T 及一個(gè)周期內(nèi)采樣 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 10 頁 共 40 頁 點(diǎn)數(shù) N 之間滿足關(guān)系式 T=N*Ts。 同步采樣法又被稱作等間隔整周期采樣或等周期均勻采樣。同步采樣法需要保證采樣截?cái)鄥^(qū)間正好等于被測連續(xù)信號周期的整數(shù)倍。 (2)準(zhǔn)同步采樣法 由于在實(shí)際采樣測量中，采樣周期不能與被測信號周期實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格同步，即 N 次采樣不是落在 2π 區(qū)間上，而是落在 2π + ? 區(qū)間上 (? =NTsT0)稱為同步偏差或周期偏差其值可正可負(fù) )， 此時(shí)測量結(jié)果就將產(chǎn)生同步誤差。為解決該項(xiàng)誤差，在八十年代初清華大學(xué)戴先中先生提出了準(zhǔn)同步采樣法，即在 |? |不太大 的情況下，當(dāng)滿足 M22 ππ ???N時(shí)，通過適當(dāng)增加采樣數(shù)據(jù)量和增加迭代次數(shù)來提高測量準(zhǔn)確度的新方法，即通過數(shù)值積分公式進(jìn)行迭加運(yùn)算，就可以獲得對采樣信號平均值的高準(zhǔn)確度估計(jì)，達(dá)到消除同步誤差的目的。準(zhǔn)同步采樣方法的最大特點(diǎn)是去掉了同步采樣中的同步環(huán)節(jié)，它不要求采樣周期與信號周期嚴(yán)格同步，不要求同步環(huán)節(jié)，對第一次采樣的起點(diǎn)無任何要求。 準(zhǔn)同步采樣在算法上主要的依據(jù)是求取周期信號 f(x)的平均值 )(xf 計(jì)算公式如下： )()(21)( 200xx xdxfxf ? ?? ππ （ 26） 2π 為 f(x)的周期， X0 是積分起點(diǎn)對應(yīng)的角度值。在采樣過程中，通過增加采樣數(shù)據(jù)量，在滿足一定采樣條件時(shí)可采 3 5 個(gè)周期，通過數(shù)值積分公式進(jìn)行疊代運(yùn)算，就可以獲得對 f(x)的高精度估計(jì)，消除同步誤差的影響。 對于信號頻率在 50Hz上下有較小浮動，必然使得同步采樣時(shí)產(chǎn)生較大的同步誤差，而準(zhǔn)同步采樣算法恰恰在消除同步誤差影響方而體現(xiàn)了自己的優(yōu)點(diǎn)，因此，對頻率有一定 變化的瞬變波形電參量的測量，采用準(zhǔn)同步采樣算法是很適宜的。 使用準(zhǔn)同步采樣實(shí)際上是加了一個(gè)準(zhǔn)同步窗因此準(zhǔn)同步窗，是基于準(zhǔn)同步采樣技術(shù)的窗函數(shù)。在對含有諧波的電網(wǎng)信號使用準(zhǔn)同步采樣時(shí)，需要采樣周期越多越好，不過一般取 34 個(gè)周期即可達(dá)到精度。圖 是采樣周期為 3， 每周期采樣點(diǎn)數(shù)為 40， 信號總采樣長度為 121 點(diǎn)時(shí)的準(zhǔn)同步窗函數(shù)及其頻率特性。 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 11 頁 共 40 頁 (a)準(zhǔn)同步窗函數(shù) (b)頻率特性 圖 準(zhǔn)同步窗函數(shù)及其頻率特性 在對信號進(jìn)行準(zhǔn)同步采樣情況下 ， 對信號加準(zhǔn)同步窗處理 ， 可以獲得精度接近 于“理想同步采 樣”的諧波幅值測量準(zhǔn)確度水平 ， 有效地降低頻率泄漏。 UA301A 采集器是由硬件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)與采樣頻率無關(guān)的通道間最快速度掃描采集，即準(zhǔn)同步采集。該方法不能實(shí)現(xiàn)完全的無相差但可以實(shí)現(xiàn)相差盡量小，仍可滿足一般使用要求。這種方法的原理是采用變采樣間隔的方法，通道間采用 A/D 允許的最快速度采集，而每通道樣點(diǎn)的采樣間隔 (頻率 )可任意設(shè)定。如采用 10uS 的 A/D 轉(zhuǎn)換器 4 通道采集，通道間固定相差為 10uS ， 1 到 4 通道最大相差 30uS，每通道的采樣頻率可以是任意的 (如用 1KHz 采樣頻率樣點(diǎn)間間隔為 1000uS)。 這種方式的優(yōu)點(diǎn)是 :電路簡單成本低采樣通道數(shù)任意功耗小。 UA301A 型采集器的準(zhǔn)同步采樣功能完全由硬件實(shí)現(xiàn)，編程使用非常簡單，它也可以普通方式進(jìn)行單或多通道采集。在進(jìn)行準(zhǔn)同步采樣時(shí)需要調(diào)用準(zhǔn)同步采集初始化函數(shù) minitz和準(zhǔn)同步采集函數(shù)。 諧波分析理論 有關(guān)諧波的數(shù)學(xué)分析在 13 世紀(jì)和 19 世紀(jì)就已奠定了良好的基礎(chǔ)傅立葉等人提出的諧波分析方法至今仍被廣泛應(yīng)用本文即是基于傅里葉變換的諧波測量下面介紹關(guān)于這一測量方式的基本理論 。 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 12 頁 共 40 頁 諧波分析原理 周期為 T 角頻率為的周期函數(shù) f(t)可表示 為 ?,2,1,0?n （ 27） 則任何一個(gè)滿足狄里赫利條件的非正弦周期信號函數(shù) f(t)均可以分解為傅立葉級數(shù)即 ： ????????????1010)c o s ()s i nc o s()(nnnnnntnAAtnbtnaatf???? （ 28) 式中 =2π /T， T為 f(t)的周期。 次諧波的初相角第次諧波的幅度第n )a r c t a n (n b)3,2,1(s i n)(2c o s)(2)(1n2n200000nnnnTnTnTabaAnt d tntfTbt d tntfTadttfTaA????????????????? 因此，非正弦波是由直流分量 A0、 基波和一系列頻率為基波頻率整數(shù)倍的正弦波 (諧波 )構(gòu)成。要對非正弦信號進(jìn)行諧波分析，需要對信號采樣并進(jìn)行傅氏變 換。為了便于分析，引入復(fù)指數(shù)因 jkwte ，并且將 k擴(kuò)充到 ? ，式 （ 28） 化為 : ?? ???????????????????????j w k tkk kj k w tkkj k w tkkj k w tkkkj k w tkkeFejbaejbaejbaejbaatf0 01022)22()( （ 29） 其中 )()( nTtftf ?? 基 于 LABVIEW 的信號頻譜分析儀設(shè)計(jì) 第 13 頁 共 40 頁 )90(2k2)90(2k221b21)(2121b21)(21???