【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （）對(duì)應(yīng)的特征根為：；因此，對(duì)應(yīng)特征方程的齊次解為： （）緊接著我們根據(jù)方程的激勵(lì)求其特解： （）將特解式帶入LTI離散方程中，可求得其特解的系數(shù)為：P=1/3 ，于是得其特解為： （）因此，可得方程的全解為： （）將初始條件帶入式（）中，可解的 ,。因此，系統(tǒng)的全解為：； （）由系統(tǒng)的全解可以計(jì)算出其前邊幾個(gè)點(diǎn)的幅值為[2 2 6 22 38 102 166 422……]當(dāng)A=1，B=3，C=2時(shí)，(a)所示，同理，當(dāng)A=8，B=5，C=6時(shí)，(b)所示。其中第一個(gè)圖是激勵(lì)為實(shí)指數(shù)序列時(shí)的全響應(yīng)結(jié)果圖，第二個(gè)圖是激勵(lì)為余弦序列時(shí)的全響應(yīng)結(jié)果圖，觀察測(cè)試所得信號(hào)圖與上述結(jié)論一致。因此，該實(shí)驗(yàn)界面符合實(shí)驗(yàn)預(yù)先要求。 (a) 測(cè)試結(jié)果1 (b) 測(cè)試結(jié)果2 離散LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析實(shí)驗(yàn)測(cè)試 離散LTI系統(tǒng)的頻域分析在本模塊的設(shè)計(jì)中，通過(guò)改變LTI離散系統(tǒng)方程的系數(shù)，分析的LTI離散系統(tǒng)方程的零極點(diǎn)和幅頻響應(yīng)達(dá)到分析LTI系統(tǒng)頻域的目的。這里以LTI離散系統(tǒng)方程為例分析，其中。對(duì)方程Z變換可得：（）對(duì)式（）整理得： （）當(dāng)激勵(lì)為時(shí)，LTI離散系統(tǒng)Z域方程為： （）由式（），可得系統(tǒng)方程為： （）當(dāng)方程的系數(shù)[A B C]=[1 2 4],[L M N]=[1 6 9]時(shí)，系統(tǒng)方程為： （） 離散LTI系統(tǒng)的頻域分析的實(shí)驗(yàn)測(cè)試由式（）可知：此系統(tǒng)函數(shù)有兩個(gè)相同的零點(diǎn)，兩個(gè)極點(diǎn)分別為：和。，觀察測(cè)試所得信號(hào)圖與上述分析一致，可見(jiàn)該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)達(dá)到了預(yù)期要求。在離散傅里葉變換界面的實(shí)驗(yàn)測(cè)試中，需要進(jìn)行離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）、離散傅里葉變換（DFT）、周期序列傅里葉變換（DFS）的測(cè)試[7]~[10]。 離散時(shí)間序列傅里葉變換（DTFT）1）基本原理對(duì)于序列，其離散時(shí)間傅里葉變換定義為： , （）用數(shù)字頻率來(lái)表示，可以寫成： （）離散時(shí)間傅里葉變換收斂的充分必要條件是絕對(duì)可加，即： （） 這樣可以認(rèn)為：序列中的每一個(gè)樣本對(duì)頻譜產(chǎn)生的貢獻(xiàn)為,其中是它的振幅，而是它的相位。它既取決于頻率，又取決于樣本在時(shí)間軸上的位置。2）測(cè)試結(jié)果及分析在離散時(shí)間序列傅里葉變換界面構(gòu)建了常見(jiàn)信號(hào)（正弦信號(hào)、余弦信號(hào)、實(shí)指數(shù)信號(hào)、斜升信號(hào)）的8點(diǎn)DTFT與16點(diǎn)DTFT。在這里，以余弦信號(hào)為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，(a)所示，(b)所示，由繪制出的波形可以觀察到離散時(shí)間序列傅里葉變換的幅值譜與相位譜。已知，離散時(shí)間序列傅里葉變換是指信號(hào)在時(shí)域上是離散的、非周期的，而在頻域上則是連續(xù)的、周期性的。通過(guò)測(cè)試，我們可以發(fā)現(xiàn)，離散時(shí)間序列傅里葉變換在時(shí)域上是離散的、非周期的，而在頻域上則是連續(xù)的、周期性的，滿足DTFT的變換特性。 (a) 余弦信號(hào)的8點(diǎn)DTFT (b) 余弦信號(hào)的16點(diǎn)DTFT 余弦信號(hào)的DTFT的測(cè)試 周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）1）基本原理若一個(gè)序列可以表示為，m為整數(shù)，那么是周期為N的周期序列。其離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示為： （）因此，也是一個(gè)以N為周期的周期序列，即，時(shí)域離散周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)仍然是離散周期序列。2）測(cè)試結(jié)果及分析在這里，當(dāng)輸入周期序列為 [1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4……]為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，(a)所示，當(dāng)輸入周期序列為 [3 1 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5……]為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，(b)所示。通過(guò)測(cè)試可以清晰的觀察到離散周期序列傅里葉變換的原圖、幅頻圖、相頻圖，在測(cè)試界面中，我們可以發(fā)現(xiàn)，周期序列的DFS信號(hào)圖也是周期離散的，滿足DFS性質(zhì)。因此，此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)滿足預(yù)先要求。 （a）序列的DFS實(shí)驗(yàn)測(cè)試 (b) 序列的DFS實(shí)驗(yàn)測(cè)試 周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試 離散信號(hào)傅里葉變換（DFT）1）基本原理設(shè)是一個(gè)有限長(zhǎng)度序列，定義其N點(diǎn)傅里葉變換為： （）就被稱為的離散傅里葉變換（DFT），其中。2）測(cè)試結(jié)果及分析 (a) 余弦序列的DFT (b) 斜升序列的DFT 離散傅里葉變換實(shí)驗(yàn)測(cè)試在這里，以余弦序列與斜升信號(hào)的DFT為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，(a)所示，(b)所示。通過(guò)信號(hào)圖我們可以觀察到DFT是對(duì)DTFT在頻域連續(xù)譜上的采樣，此時(shí)的采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列個(gè)數(shù)。 快速傅里葉變換在進(jìn)行DFT運(yùn)算時(shí)，當(dāng)N值很大時(shí)，進(jìn)行一次DFT需要完成N^2次復(fù)數(shù)乘法和N（N1）次復(fù)數(shù)加法，計(jì)算量巨大。，構(gòu)造了一個(gè)DFT快速算法，即是快速傅里葉變換（FFT）。 基二快速傅里葉變換原理設(shè)序列的長(zhǎng)度為N，且滿足：，M是正整數(shù)。按照n的奇偶把分解為兩個(gè)子序列，如下： ，r=0,1,2……N/21； （） ，r=0,1,2……N/21； （）則的DFT為： （）由于 （）所以 （）其中，分別是、的N/2點(diǎn)DFT,即： （） （）由于均是以N/2為周期的，且，所以又可以表示為： （） （）這樣，就可以將N點(diǎn)的DFT分解為兩個(gè)N/2的DFT運(yùn)算。在MATLAB中，為了計(jì)算數(shù)據(jù)的快速傅里葉變換，系統(tǒng)提供了一系列豐富的函數(shù)，主要有fft，ifft，fftifft2等。fft與ifft主要用于一維快速傅里葉變換；fft2與fft2主要用于二維快速傅里葉變換。在一維快速傅里葉變換中，fft函數(shù)用于快速傅里葉變換，ifft則用于離散傅里葉逆變換。其中，離散序列的快速傅里葉的調(diào)用方式為：Y=fft（X，N），N是進(jìn)行離散序列傅里葉變換的X的長(zhǎng)度，當(dāng)所給的數(shù)據(jù)不滿足N時(shí)，可以通過(guò)補(bǔ)零或者截取來(lái)實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)列的快速傅里葉變換。 離散序列的快速傅里葉變換實(shí)驗(yàn)測(cè)試 離散序列FFT實(shí)驗(yàn)測(cè)試本界面設(shè)計(jì)的是8點(diǎn)離散序列的快速傅里葉變換。通過(guò)輸入的8點(diǎn)序列值，調(diào)用fft函數(shù)，便可以得到8點(diǎn)離散傅里葉變換的相關(guān)特性信號(hào)圖。當(dāng)輸入的序列為x(n)=[8 2 3 5 4 1 2 5]時(shí)，可以直觀地分析其FFT的幅頻特性、相頻特性，達(dá)到了實(shí)驗(yàn)預(yù)先要求。 IIR濾波器設(shè)計(jì)在IIR濾波器的設(shè)計(jì)中，主要是根據(jù)濾波器參數(shù)的要求（通帶衰減、阻帶衰減、通帶截止頻率、阻帶截止頻率等），設(shè)計(jì)出相應(yīng)類型的濾波器。通過(guò)濾波器的頻譜特性曲線、群延遲來(lái)分析所設(shè)計(jì)的濾波器的特性[11]~[15]。 常見(jiàn)的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)在IIR濾波器設(shè)計(jì)之中，IIR低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)是其他濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，通過(guò)頻帶的轉(zhuǎn)換，可以實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器到高通、帶通、帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換。同樣，通過(guò)模擬/數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換（脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法）可以將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。在實(shí)際中有四種被廣泛應(yīng)用的模擬濾波器原型，即巴特沃斯低通、切比雪夫1型低通、切比雪夫2型低通、橢圓低通濾波器。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)，巴特沃斯濾波器有單調(diào)下降的幅頻特性：切比雪夫1型濾波器在幅頻特性中，在通帶是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；切比雪夫2型濾波器與前者相反，其幅頻特性在通帶是單調(diào)的，在阻帶是等波紋的；橢圓濾波器的選擇性相對(duì)前三種濾波器是最好的。在這里以巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)為例。1）基本原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用式（）表示： （）式中，N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，=1；=時(shí)，=，是3dB截止頻率。當(dāng)時(shí)，隨加大，幅度迅速下降。下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，幅度下降的速度愈快，過(guò)渡帶愈窄。將幅度平方函數(shù)寫成s的函數(shù)： （）此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)用下式表示： == （）式中，k=0，1，…，(2N1)，2N，2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上（該圓稱為巴特沃斯），間隔是rad。為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成。的表示式如下： = （） 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率歸一化，歸一化后的表示為： = （）式中。 令，稱為歸一化頻率；令，稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為： （）式中，為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： =，k=0,1,…,N1 （）這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，按照（）求出N個(gè)極點(diǎn)，再按照式（）得到歸一化的傳輸函數(shù)，如果確定，再去歸一化，即將，代入中，便得到實(shí)際的傳輸函數(shù)。 將極點(diǎn)表示式（）代入（）式，得到的的分母是的N階多項(xiàng)式，用下式表示：= （）歸一化的傳輸函數(shù)的系數(shù)，以及極點(diǎn)，可以由表查到，另外表中還給出了的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要去求出階數(shù)N，查表可得到及各極點(diǎn)，省去了我們?cè)S多運(yùn)算工作。下面我們介紹階數(shù)N的確定方法。 階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)、和確定。將代入幅度平方函數(shù)（）式中，再將幅度平方函數(shù)代入式子=10 中，得到： 1+= （）將代入幅度平方函數(shù)（）式中，再將幅度平方函數(shù)代入式子=10中，得到： 1+= （）由（）和（）式得到： （）令，則N由下式表示： （）用上式求出N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)中沒(méi)有給出，可以按照（）式或（）式求出，由（）式得到：= （）由（）式得到： = （）這里，如果采用（）式確定，則阻帶指標(biāo)有富裕量；如果采用（）式確定，則通帶指標(biāo)有富裕量?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：（1）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)、和，用（）式求出濾波器的階數(shù)N。（2）按照（）式,求出歸一化極點(diǎn)，將代入（）式，得到歸一化傳輸函數(shù)。也可以根據(jù)階數(shù)N，直接查表得到極點(diǎn)和歸一化傳輸函數(shù)。（3）將去歸一化。將代入，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)。這里3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒(méi)有給出，可以按照（）式或（）式求出。在MATLAB中設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器時(shí)，其數(shù)據(jù)庫(kù)中提供了一個(gè)叫buttap（Butterworth Analog Prototype）的函數(shù)用來(lái)設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬原型濾波器，其調(diào)用格式為[z，p，k]=buttap（N）。當(dāng)濾波器的階數(shù)N已知時(shí)，可以運(yùn)用buttap函數(shù)直接設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器；當(dāng)濾波器的階數(shù)未知時(shí)，可以通過(guò)已知的技術(shù)指標(biāo)利用buttord函數(shù)求得，巴特沃斯函數(shù)的調(diào)用格式為：[N, ]=buttord(,39。s39。)。通過(guò)調(diào)用巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)buttord可求出濾波器階數(shù)N與下降沿3dB截止頻率。2）測(cè)試結(jié)果及分析在本設(shè)計(jì)中，模擬低通濾波器模塊構(gòu)建的是常見(jiàn)的四種模擬低通濾波器，即巴特沃斯低通、切比雪夫1型低通、切比雪夫2型低通、橢圓低通濾波器。根據(jù)技術(shù)指標(biāo)、和的編輯設(shè)計(jì)不同需求的濾波器。 (a) 巴特沃斯模擬低通濾波器 (b) 切比雪夫1型模擬低通濾波器 模擬低通濾波器實(shí)驗(yàn)測(cè)試 在這里，我們以巴特沃斯模擬低通濾波器與切比雪夫1型模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)為測(cè)試對(duì)象，通過(guò)改變其技術(shù)指標(biāo)，我們可以得到不同的模擬低通濾波器波形。當(dāng)輸入的技術(shù)指標(biāo)為：通帶最大衰減為、通帶截止頻率為、阻帶最小衰減為和阻帶衰減頻率。(a)所示，(b)所示，測(cè)試結(jié)果中明確的表示出了模擬低通濾波器的幅頻、相頻特性曲線以及群延遲。通過(guò)觀察巴特沃斯低通濾波器的幅頻圖，可以發(fā)現(xiàn)其通帶和阻帶都有平坦的幅度響應(yīng)，符合巴特沃斯濾波器的特征，達(dá)到了實(shí)驗(yàn)的預(yù)先要求。 模擬濾波器的頻帶變換1）基本原理模擬濾波器的頻帶變換是基于模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)為前提，根據(jù)已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)的低通濾波器，進(jìn)行頻率的變換而實(shí)現(xiàn)模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟如下：（1）確定所需類型濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）將所需類型濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為：。 （3）將所需模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（4）通過(guò)模擬低通濾波器頻率