【文章內(nèi)容簡介】 延伸模型；國內(nèi)的趙金洲、吳迪祥等人也在裂縫三維延伸方面作了大量的研究工作，并取得了一些成果。在全三維模型中，縫寬方程是奇異積分方程，對于這類方程，當(dāng)源點(diǎn)和場點(diǎn)重合時，被積函數(shù)無窮大，僅在柯西主值的意義上收斂。因此，這類方程的直接數(shù)值求解是繁瑣、困難的?；谶@種情況，目前對全三維模型的求解依舊是一個很大的研究課題。在成熟的軟件里或在現(xiàn)場施工的實(shí)際應(yīng)用中，還是以二維模型和擬三維模型為主。[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）10第 3 章 裂縫閉合期間壓裂液返排模型本章將主要運(yùn)用流體力學(xué)和數(shù)值模擬的相關(guān)理論以及物質(zhì)平衡原理對壓裂液返排期間裂縫閉合的過程建立壓裂液返排的數(shù)學(xué)模型。給出壓裂液返排數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解法，根據(jù)實(shí)例計算及方巖心流動實(shí)驗(yàn)考察裂縫閉合過程中井底或井口壓力的變化規(guī)律，對所選模型進(jìn)行驗(yàn)證和改進(jìn)。 裂縫閉合過程中模型的假設(shè)條件壓裂施工停泵后井底或井口壓力一般都會隨時間下降。這是因?yàn)榈孛嫱１煤螅瑝毫岩旱淖⑷肓繛?0，裂縫內(nèi)的壓裂液在內(nèi)外壓差的作用下繼續(xù)濾失到地層，從而導(dǎo)致井底（井口）壓力下降。壓力下降是與濾失量以及裂縫寬度的變化緊密地聯(lián)系在一起的。所以，就可以根據(jù)閉合期間裂縫內(nèi)的流體體積平衡方程并結(jié)合巖石力學(xué)的理論來得到壓力的變化情況。在壓裂液返排過程中，裂縫參數(shù)的一些基本假設(shè)為：（1）停泵后縫中壓力短時間內(nèi)平衡，裂縫立即停止延伸；（2）設(shè)地層為線彈性體，層間無滑動，停泵后裂縫形狀呈矩形；（3）裂縫在閉合期間，井底裂縫的縫高和縫長不變，僅縫寬發(fā)生變化；（4）支撐劑不影響裂縫的自由閉合。則根據(jù)注入階段和閉合期間裂縫內(nèi)的流體體積平衡原理，就可以建立分析停泵后壓力遞減規(guī)律。 壓裂液返排的二維數(shù)學(xué)模型無論是一維濾失系數(shù)的計算方法還是修正的濾失系數(shù)的計算方法都只考慮了一維單相流動。本節(jié)在參考前人方法的基礎(chǔ)上，考慮返排壓裂液在地層中作二維流動和壓裂液為非牛頓流體的實(shí)際情況，建立壓裂液返排的二維模型，該模型綜合考慮了地層條件、油藏邊界條件和壓裂液性質(zhì)對壓裂液返排的影響，目的就是讓計算的結(jié)果對現(xiàn)場施工具有指導(dǎo)意義。 壓裂液從地層返排的數(shù)學(xué)模型在壓裂施工過程及裂縫閉合的過程中，只要裂縫是張開著，在裂縫壁面與油藏之間就會形成一定的壓差，而壓裂液的返排速度的大小又受裂縫與儲層之間的壓力梯度所控制[3639]。在建立數(shù)學(xué)模型時分別考慮濾液在濾餅區(qū)和侵入?yún)^(qū)的輸運(yùn)過程以及地層流體在儲層區(qū)的滲流過程，而且，假定地層流體驅(qū)替濾液采取的是活塞式，侵入?yún)^(qū)與儲層區(qū)交界處的流速連續(xù)。 壓裂液在侵入?yún)^(qū)的滲流[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）11考慮壓裂液非牛頓性質(zhì)對返排的影響，結(jié)合壓裂液或?yàn)V液的特性，將其假定為冪律流體。本文采用由 Teeuw 和 Hesselink 提出的適合于冪律流體的已修訂的達(dá)西定律： （31）112n83nnKpL?????????????式中， v 為返排速度，m/s； 為地層孔隙度，無因次； 為壓裂液流態(tài)指數(shù)，無因次；地層滲透率， ； 為壓裂液稠度系數(shù)，Pa? sn； 為壓降，Pa； L 為多孔介質(zhì)的長K2μmn p度（侵入?yún)^(qū)長度） ，m。結(jié)合式（31） ，壓裂液在侵入?yún)^(qū)的運(yùn)動方程如下： （32）deKVpG????（ － ）其中 為啟動壓力梯度。將式（ 32）寫成分量形式xy,)G?＝ ( （33 ）dxeye()xypKV?????????和 與 和 同號，說明由于啟動壓力梯度的作用使得滲流速度降低。 px?yx?y （34）??1112de n38nnKp?????????????式中， μ e為濾液的有效黏度，Pa?s； 為侵入?yún)^(qū)的滲透率，m 2； 為侵入?yún)^(qū)的孔隙d d?度，無因次。值得注意的是，由于壓裂液濾失造成了地層損害，致使侵入?yún)^(qū)的孔隙度 和d?滲透率 與儲層區(qū)的孔隙度 和滲透率 是不同的。dK?K根據(jù)質(zhì)量守恒定律，可得到連續(xù)方程： （35）??0?????Vt?考慮流體及多孔介質(zhì)的可壓縮性，流體密度變化及地層孔隙度變化的狀態(tài)方程如下： （36）0f0[1()]cp? （37 ）φ???[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）12式中， 和 分別為流體及孔隙的壓縮系數(shù)， Pa1；令 ， 為綜合壓縮系fc? ?c??ft t數(shù)，Pa 1。結(jié)合式（36）和（37） ，將式（33）代入式（35） ，則可得到如下的偏微分方程： （38）??220dxf0fxfe 22y0df0fyfe()1()()KVppcccxy??? ?? ???????????????? ????????????? ?? ??將式（38）中兩式相加，略去 項(xiàng)，這樣可以得到：2fipcx??????? （39）??2 etf0fxyd1() cpcpK?????????令 ， ，由于不考慮油藏的非均質(zhì)性，則可令ff 0()???ttf01()cp??，因此式（ 29）可以寫成：xy? （310）2 etf dcpcxyK??????????????方程（310）描述了濾液在侵入?yún)^(qū)的非穩(wěn)態(tài)滲流。 地層流體在儲層區(qū)的滲流地層流體在儲層區(qū)的滲流一般被看作牛頓流體的流動。通?？蓪⑴ｎD流體的流動視為冪律流體流動的一種特殊情況。因此，在上述方程中設(shè) n=1 并采用原始地層的孔隙度和滲透率，按照相同的推導(dǎo)步驟，則可得到地層流體在儲層區(qū)的滲流方程： （311）2 tf cppcxyK??????????????式中， μ 為地層流體的黏度，Pa?s； 為原始地層的孔隙度，無因次； 為原始地層K的滲透率，m 2。 濾餅區(qū)的滲流如果將濾餅視為滲透率 ，孔隙度 的多孔介質(zhì)，并考慮壓裂液的非牛頓特性（假cKc?定為冪律流體） ，結(jié)合方程（31） ，可得到壓裂液在濾餅區(qū)的運(yùn)動方程：[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）13 （312）12ccfwn8123nnKpL????????????式中， 為濾餅區(qū)的滲透率，m 2； 為濾餅區(qū)的孔隙度，無因次； 為裂縫中的壓cKc fP力，Pa； 為濾餅與侵入?yún)^(qū)交界面的壓力，Pa；? L 為濾餅的厚度，m。wP在濾餅的形成過程中，可以認(rèn)為濾餅的體積與濾過的液體體積成正比，則有： （313）dlLV???式中的比例系數(shù) 可以寫成下式， 是形成濾餅物質(zhì)的體積濃度，dsc （314）sdc1()C??將式（310）及式（311）代入式（39）中，整理后得到： （315）12sccfwn l3128nnnpKVCK????????????????????從上式看到，濾餅兩端的壓力差與濾失速度及濾失體積所形成的濾餅厚度有關(guān)。上式可以寫成更簡單的形式： （316）fwclnpV????其中， 是冪律流體的濾餅因數(shù)，它的物理意義是指單位面積的單位濾失體積與達(dá)c?到 n 冪的濾失速度所產(chǎn)生的濾餅壓降。它是取決于流體和濾餅性質(zhì)的一個綜合參數(shù)。但是，濾餅形成過程的復(fù)雜性常使濾餅壓降與式（316）的計算結(jié)果有差異。 （317）12scc3128nnCKK??????????????????實(shí)際上，在形成濾餅以前，有些更為微小的聚合物及地層微粒已經(jīng)進(jìn)入到地層的內(nèi)部，稱之為內(nèi)濾餅。隨著內(nèi)濾餅的形成，外濾餅也就在 時刻開始在縫面上沉積。因此，在許0t多地層中，內(nèi)濾餅的形成常常是外濾餅形成的基礎(chǔ)?？捎檬剑?16）來計算由于內(nèi)濾餅的存在而發(fā)生的壓力降，此時濾餅因數(shù)逐漸增長至某一上限值。隨著壓裂液向地層的濾失及濾餅的增厚，順著裂縫流過的壓裂液對己形成的外濾餅還有一種磨蝕的作用，阻止濾餅厚度的增加。此外，濾餅中的某些物質(zhì)與從它表面流過的壓裂液之間，由于濃度的差別，甚至還會產(chǎn)生從濾餅中擴(kuò)散到壓裂液中去的現(xiàn)象。由上述的對濾餅形成過程的分析可以看出，應(yīng)適當(dāng)修正濾餅因數(shù) ，使之適應(yīng)濾餅形c?成過程中的既有增厚又有削薄的情況。通過分析動濾失的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用下式對 進(jìn)行修正：c[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）14 （318）c1c200c 00tttt?????????????????式中， 為修正后的濾餅因數(shù)，無因次； 為外濾餅開始形成的時間， s； 為從開始c?? t t濾失算起的時間，s； β c1內(nèi)濾餅參數(shù)，無因次； β c2為受侵蝕濾餅參數(shù)，無因次。此外，、 、 β c β c2，4 個參數(shù)都是用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的。分析式（318） ，可以定性地看出，0tca由內(nèi)濾餅的影響使 β c1為正值，而剪切和擴(kuò)散效應(yīng)使 β c2為負(fù)值。式（316）可以改寫成： （319）fwclnpV????? 初始條件及邊界條件考慮濾液沿垂直裂縫壁面方向和裂縫方向的二維濾失（設(shè)沿裂縫方向?yàn)?x 方向，垂直裂縫方向?yàn)?y 方向） ，其初始條件及邊界條件如下： 初始條件返排過程開始前，可以根據(jù)有關(guān)的壓裂資料確定整個儲層的壓力，即停泵后儲層靜壓。則有， （320）itP?0對于裂縫閉合過程中的返排而言，返排的初始條件即為停泵時刻的壓力分布。此壓力分布情況由計算施工過程中的返排得到，也可以由停泵時的壓裂資料估算得到。 邊界條件四條邊界與返排方向的三個區(qū)域保持一致，裂縫內(nèi)部的濾餅面、濾餅與地層間的裂縫面、侵入?yún)^(qū)與儲層區(qū)間的交界面和儲層邊界。裂縫內(nèi)部的濾餅面處， （321）fxLP??式中， 為停泵時刻裂縫的長度，m。濾餅與地層間的裂縫面處，縫面壓力可依據(jù)式fL（319）算出。在返排過程中，侵入?yún)^(qū)與儲層區(qū)間的界面隨返排量的增加而移動。在活塞式驅(qū)動中，此邊界的移動是連續(xù)的。交界處的一邊是冪律流體在多孔介質(zhì)中的滲流，另一邊是牛頓液[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）15在多孔介質(zhì)中的滲流，故有： （322）dee()()KpKpxxyy?????????????動 邊 界 動 邊 界動 邊 界 動 邊 界儲層的邊界條件可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定，大致可分為兩類：封閉外邊界： （323）??????0eeyxp式中， 和 分別為矩形儲層的長度和寬度。eXY定壓外邊界： （ 324）?????epyx此外，對于侵入?yún)^(qū)及儲層區(qū)的二維流動有如下的條件： （325）???????e0)(XxtLypYyx以上即為二維返排數(shù)學(xué)模型的控制方程、邊界條件和初始條件。 模型的數(shù)值解法本部分將對上面所建立的壓裂液返排二維模型中的偏微分方程尋求合適的差分格式，并離散這些方程，給出數(shù)值求解的步驟，最后求得沿裂縫壁面的壓裂液返排速度及井底壓力變化 [4045]。 返排模型的離散 網(wǎng)格系統(tǒng)的劃分以侵入?yún)^(qū)和儲層區(qū)為劃分對象（濾餅可以當(dāng)作邊界來處理，下面將作說明） ，由于裂縫的對稱性，沿半縫長取 1/4 油藏為研究單元，網(wǎng)格劃分如圖 31 所示。在壓裂液返排過程中裂縫附近的壓力梯度大，而遠(yuǎn)離裂縫的壓力梯度小，因此采用不均勻網(wǎng)格。[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）16圖 31 網(wǎng)格系統(tǒng)示意圖 侵入?yún)^(qū)滲流方程的離散由方程（37）可以看出，壓裂液的有效黏度 是壓力梯度的函數(shù)，所以，對壓力進(jìn)e?行求解的時候構(gòu)成一個非線性系統(tǒng)。為了求解的方便，對 進(jìn)行線性化處理，并采用隱e式格式將方程（37）離散為如下形式： （326）ji,1ji,1j,ij,1ji,1j,ij,1ji, gpedpcbpa nnnnn ??????式（326）中， d(i,j12)i,jjeiKayy?????d(i+12)i,jieid(i,j12)i,je+jtdi,ji,ji,ji,ji,jtdi,ji,j()nKxxyyccabpg????????????????1112diie(i12) n23()8npKnx????????d(i12,j)i,jieibxx??[中國石油大學(xué)（北京）現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育畢業(yè)設(shè)計（論文）171112jjde(j12) n23()8npnKx?????????；1ii21i???xxi1i2i??；jjj?yyjjjy?；21iii??xx 21jjj??此外，? t 為時間步長； n 表示計算過程中的第 n 時間步。附加邊界條件和初始條件，式（326）構(gòu)成五對角方程組。 儲層區(qū)滲流方程的離散方程（311）的類型與方程（310）的類型一樣，都為拋物型方程。但在方程（311）中， 和 對于同一儲層而言可看成與壓力梯度無關(guān)的物性參數(shù)，則方程的求解大為K?簡化。同樣采用