計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義第一講[共十講](編輯修改稿)
2025-07-23 12:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解，必有：TSS=ESS+RSS。因此，（三）關(guān)于R2的基本結(jié)論R2也是與的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方。證明：對(duì)于簡(jiǎn)單線性回歸模型：， R2是y與x的樣本相關(guān)系數(shù)的平方。證明：練習(xí)：（1）對(duì)于模型：，證明在OLS法下R2=0。（2）對(duì)于模型：，證明在OLS法 警告！軟件包通常是利用公式，其中來(lái)計(jì)算R2。應(yīng)該注意到，我們?cè)诘玫浇Y(jié)論時(shí)利用了的性質(zhì)，而該性質(zhì)只有在擬合直線帶有截距時(shí)才成立，因此，如果擬合直線無(wú)截距，則上述結(jié)論并不一定成立，因此，此時(shí)我們不能保證R2為一非負(fù)值?？偠灾诶肦2時(shí)，我們的模型一定要帶有截距。當(dāng)然，還有一個(gè)大前提，即我們所采用的估計(jì)方法是OLS。五、 自由度與調(diào)整的R2如果在模型中增加解釋變量，那么總的平方和不變，但殘差平方和至少不會(huì)增加，一般是減少的。為什么呢？舉一個(gè)例子。假如我們用OLS法得到的模型估計(jì)結(jié)果是：， 此時(shí)，OLS法估計(jì)等價(jià)于求解最小化問(wèn)題：令最后所獲得的目標(biāo)函數(shù)值（也就是殘差平方和）為RSS1。現(xiàn)在考慮對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題施加約束：并求解，則得到目標(biāo)函數(shù)值RSS2。比較上述兩種情況，相對(duì)于RSS1， RSS2是局部最小。因此，RSS1小于或等于RSS2。應(yīng)該注意到，原優(yōu)化問(wèn)題施加約束后對(duì)應(yīng)于模型估計(jì)結(jié)果：因此，如果單純依據(jù)R2標(biāo)準(zhǔn)，我們應(yīng)該增加解釋變量以使模型擬合得更好。增加解釋變量將增加待估計(jì)的參數(shù)，在樣本容量有限的情況下，這并不一定是明智之舉。這涉及到自由度問(wèn)題。什么叫自由度？假設(shè)變量x可以自由地取N個(gè)值，那么x的自由度就是N。然而，如果施加一個(gè)約束，為常數(shù)，那么x的自由度就減少了，新的自由度就是N1?？紤]在樣本回歸直線下殘差的自由度問(wèn)題。對(duì)殘差有多少約束？根據(jù)正規(guī)方程（1）（2），有：，因此存在兩個(gè)約束。故殘差的自由度是N2。如果當(dāng)樣本回歸函數(shù)是：，則殘差的自由度為N3。顯然，待估計(jì)的參數(shù)越多，則殘差的自由度越小。自由度過(guò)少會(huì)帶來(lái)什么問(wèn)題？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，自由度過(guò)少會(huì)使估計(jì)精度很低。例如，我們從總體中隨機(jī)抽取來(lái)計(jì)算以作總體均值的估計(jì)，現(xiàn)在x的自由度是N，顯然N越大則以作為總體均值的估計(jì)越精確。 根據(jù)正規(guī)方程，我們是通過(guò)殘差來(lái)獲得對(duì)參數(shù)的估計(jì)，因此，殘差自由度過(guò)少意味著我們對(duì)參數(shù)的估計(jì)也是不精確的。筆記：舉一個(gè)極端的例子，對(duì)簡(jiǎn)單線性回歸模型，假定我們只有兩次觀測(cè)、。顯然，我們可以保證R2=1，即完全擬合。但我們得到的這
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