計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義第一講[共十講](已修改)
2025-07-08 12:10 本頁(yè)面
【正文】 專業(yè)資料整理分享 第一講 普通最小二乘法的代數(shù)一、 問(wèn)題假定y與x具有近似的線性關(guān)系：，其中是隨機(jī)誤差項(xiàng)。我們對(duì)這兩個(gè)參數(shù)的值一無(wú)所知。我們的任務(wù)是利用樣本數(shù)據(jù)去猜測(cè)的取值?，F(xiàn)在，我們手中就有一個(gè)樣本容量為N的樣本，其觀測(cè)值是：。問(wèn)題是，如何利用該樣本來(lái)猜測(cè)的取值？為了回答上述問(wèn)題，我們可以首先畫出這些觀察值的散點(diǎn)圖（橫軸x，縱軸y）。既然y與x具有近似的線性關(guān)系，那么我們就在圖中擬合一條直線：。該直線是對(duì)y與x的真實(shí)關(guān)系的近似，而分別是對(duì)的猜測(cè)（估計(jì)）。問(wèn)題是，如何確定與，以使我們的猜測(cè)看起來(lái)是合理的呢？筆記：為什么要假定y與x的關(guān)系是呢？一種合理的解釋是，某一經(jīng)濟(jì)學(xué)理論認(rèn)為x與y具有線性的因果關(guān)系。該理論在討論x與y的關(guān)系時(shí)認(rèn)為影響y的其他因素是不重要的，這些因素對(duì)y的影響即為模型中的誤差項(xiàng)。被稱為總體回歸模型。由該模型有：。既然代表其他不重要因素對(duì)y的影響，因此標(biāo)準(zhǔn)假定是：。故進(jìn)而有：，這被稱為總體回歸方程（函數(shù)），而相應(yīng)地被稱為樣本回歸方程。由樣本回歸方程確定的與是有差異的，被稱為殘差。進(jìn)而有：，這被稱為樣本回歸模型。 二、 兩種思考方法法一：與是N維空間的兩點(diǎn)，與的選擇應(yīng)該是這兩點(diǎn)的距離最短。這可以歸結(jié)為求解一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：由于是殘差的定義，因此上述獲得與的方法即是與的值應(yīng)該使殘差平方和最小。法二：給定，看起來(lái)與越近越好（最近距離是0）。然而，當(dāng)你選擇擬合直線使得與是相當(dāng)近的時(shí)候，與的距離也許變遠(yuǎn)了，因此存在一個(gè)權(quán)衡。一種簡(jiǎn)單的權(quán)衡方式是，給定，擬合直線的選擇應(yīng)該使與、與、...、與的距離的平均值是最小的。距離是一個(gè)絕對(duì)值，數(shù)學(xué)處理較為麻煩，因此，我們把第二種思考方法轉(zhuǎn)化求解數(shù)學(xué)問(wèn)題：由于N為常數(shù)，因此法一與法二對(duì)于求解與的值是無(wú)差異的。三、 求解定義，利用一階條件，有：由（1）也有：在這里、筆記：這表明：樣本回歸函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即穿過(guò)數(shù)據(jù)集的中心位置；（你能證明嗎？），這意味著，盡管的取值不能保證，但的取值能夠保證的平均值與的平均值相等；雖然不能保證每一個(gè)殘差都為0，但我們可以保證殘差的平均值為0。從直覺(jué)上看，作為對(duì)的一個(gè)良好的猜測(cè)，它們應(yīng)該滿足這樣的性質(zhì)。筆記：對(duì)于簡(jiǎn)單線性回歸模型：，在OLS法下，由正規(guī)方
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