【文章內(nèi)容簡介】 用一個方程即可求出傳遞函數(shù)。312 畫出圖題3－12所示系統(tǒng)的方塊圖，該系統(tǒng)在開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，系統(tǒng)的輸入為外力f(t)，輸出為位移x(t)，并寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：設(shè)m1的位移為x1(t)，如圖題312所示。分別對質(zhì)量m1和m2利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的條件下，對上兩式等號兩邊同時做拉普拉斯變換得即上兩式的方塊圖分別如圖題解312（a）、（b）所示。圖題解312（a）（b）F(s)X1(s)X (s)X(s)X1(s)（c）F(s)X(s)＋＋＋＋將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解312（c）所示，化簡一次得方塊圖（d）。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為313 求圖題3－13所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 圖題3－13解：利用梅遜公式（ａ）前向通路只有一條，該前向通路的傳遞函數(shù)為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式Δ為因為兩個回路都與唯一的前向通路相接觸，故從Δ中去掉兩個回路的傳遞函數(shù)即可得到前向通路的特征式的余因子Δ1Δ1=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）前向通路有兩條，這兩條前向通路的傳遞函數(shù)分別為有兩條回路，傳遞函數(shù)分別為因為所有兩個回路具有一條公共支路，所以沒有不接觸回路，因此特征式Δ為因為兩個回路都與兩個前向通路相接觸，故從Δ中去掉兩個回路的傳遞函數(shù)即可得到兩個前向通路的特征式的余因子Δ1=1Δ2=1將上述結(jié)果代入梅遜公式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為314 圖題3－14所示為發(fā)動機速度控制系統(tǒng)的方塊圖。發(fā)動機速度由轉(zhuǎn)速測量裝置進行測量。試畫出該系統(tǒng)的信號流圖。圖題3－14參考速度轉(zhuǎn)速測量裝置液壓伺服機構(gòu)負載干擾發(fā)動機實際速度解：其信號流圖如圖題解314所示。圖題解314N(s)R(s)C(s)11－1315 對傳遞函數(shù)試推導(dǎo)對應(yīng)的狀態(tài)方程表達式。解法1：（套公式—笨辦法）。與教材式（3121）比較得到代入教材式（3130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。解法2：（參考現(xiàn)代控制工程—Modern Control Engineering．［美］Katsuhiko Ogata—緒方勝彥著．盧伯英，于海勛等譯．北京：電子工業(yè)出版社，2000年5月第3版）令 式中，β0，β1由下式確定代入上式得而所以狀態(tài)空間表達式為【注】結(jié)果與解法1不同，這是因為狀態(tài)空間表達式不是唯一的（取決于所選取的狀態(tài)變量，可能有無窮多個）。 解法3：利用拉氏反變換即令則對上面三式做拉氏反變換得所以狀態(tài)方程為輸出方程為316 圖題3－16所示系統(tǒng)，以圖中所標(biāo)記的xxx3為狀態(tài)變量，推導(dǎo)其狀態(tài)空間表達式。u、y分別為輸入、輸出，ααα3是標(biāo)量。圖題3－16解：由圖可知所以系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為317 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：這是一個三階系統(tǒng)，輸入變量為u，輸出變量為y。選取3個狀態(tài)變量x1，x2，x3，它們分別為代入原微分方程中得故系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為（合稱狀態(tài)空間表達式）輸出方程為318 給定系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試寫出它的狀態(tài)空間表達式。解：（套公式）。與教材式（3121）比較得到代入教材式（3130）得狀態(tài)空間表達式為式中，u為輸入變量。第4章 系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析復(fù)習(xí)思考題1. 時間響應(yīng)由哪兩部分組成，它們的含義是什么？解答：時間響應(yīng)是指系統(tǒng)的響應(yīng)（輸出）在時域上的表現(xiàn)形式，或系統(tǒng)的動力學(xué)方程在一定初始條件下的時域解?；蛘哒f系統(tǒng)在輸入信號激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。按分類的原則不同，時間響應(yīng)有不同的分類方法。按響應(yīng)的來源分：零狀態(tài)響應(yīng)，即初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的輸入引起的響應(yīng)；零輸入響應(yīng)，即系統(tǒng)的輸入為零時，由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。按響應(yīng)的性質(zhì)分為強迫響應(yīng)項和自由響應(yīng)項。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其時間響應(yīng)又可分為瞬態(tài)響應(yīng)項和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項。2. 脈沖響應(yīng)函數(shù)的定義及如何利用脈沖響應(yīng)函數(shù)來求系統(tǒng)對任意時間函數(shù)輸入時的輸出時間響應(yīng)？解答：當(dāng)一個系統(tǒng)受到一個單位脈沖激勵(輸入)時，它所產(chǎn)生的反應(yīng)或響應(yīng)(輸出〕定義為脈沖響應(yīng)函數(shù)。系統(tǒng)對任意時間函數(shù)輸入時的輸出時間響應(yīng)：式中g(shù)(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù)。210g(t)t圖41fs 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線T ＝ T ＝ 1T ＝ 53. 一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)的定義及其曲線形狀。解答：一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：一階系統(tǒng)對脈沖函數(shù)的響應(yīng)。曲線形狀如圖41fs所示。一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：一階系統(tǒng)對階躍函數(shù)的響應(yīng)。曲線形狀如圖42fs所示。圖42fs一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線4. 如何描述二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及其時域性能指標(biāo)。5. 試分析二階系統(tǒng)ωn和ζ對系統(tǒng)性能的影響。6. 試分析二階系統(tǒng)特征根的位置及階躍響應(yīng)曲線之間的關(guān)系。7. 誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的定義以及與系統(tǒng)哪些因素有關(guān)。8. 如何計算干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。習(xí) 題41 √設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解法1：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為利用部分分式法計算得到，所以 對上式做拉普拉氏反變換得到單位階躍響應(yīng)為解法2：利用教材上的結(jié)論系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）上式等號兩邊比較得，解得： rads1（負根舍掉），這是一個過阻尼二階震蕩系統(tǒng)，有兩個不相等的負實數(shù)極點：，所以，該單位階躍響應(yīng)為式中：，代入上式得階躍響應(yīng)為42 √設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量和調(diào)整時間。解法1：直接套用教材上的結(jié)論。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）等號兩邊比較得ωn=1 rads1（負根舍掉），ζ=。這是一個欠阻尼二階震蕩系統(tǒng)，所以上升時間：峰值時間：最大超調(diào)量：調(diào)整時間（用近似公式）：調(diào)整時間的較準確值（用Matlab按準確的理論響應(yīng)曲線測量的結(jié)果）：解法2：直接按指標(biāo)定義求解。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負反饋）等號兩邊比較得ωn=1 rads1（負根舍掉），ζ=。這是一個欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為然后按著指標(biāo)的定義求解（參見教材中的求解過程）。43 √設(shè)有一閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為為了使系統(tǒng)對階躍輸入的響應(yīng)，有約5%的超調(diào)量和2s的調(diào)整時間，試求ζ和ωn的值應(yīng)等于多大。解：設(shè)允許的誤差范圍為δ%，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，則根據(jù)題意得到 (1) (2)由（1）式解得（舍掉負根–）ζ≈將δ%=5%和ζ≈（2）式解得ωn≈ rads1將δ%=2%和ζ≈（2）式解得ωn≈ rads144 √圖題4－4所示系統(tǒng)，當(dāng)輸入r(t) ＝ 10t和r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋3t2時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題4－4解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10/4=。復(fù)域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t) ＝ 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t) ＝ 10t時，R(s) ＝ 10/s2，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置、速度和加速度誤差系數(shù)分別為Kp=∞，Kv=K=，Ka=0根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知，系統(tǒng)對r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋3t2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋3t2時，代入上述誤差的拉氏變換式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為45 設(shè)題4－4中的前向傳遞函數(shù)變?yōu)檩斎敕謩e為r(t) ＝ 10t，r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2和r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2 ＋ ，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益為K=10/1=10。復(fù)域系統(tǒng)誤差為（1）解法1：利用教材的結(jié)論。這是一個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=10，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t) ＝ 10t時的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。當(dāng)r(t) ＝ 10t時，R(s) ＝ 10/s2，代入上述誤差公式得到利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）當(dāng)r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2時利用上述方法可分別求得系統(tǒng)對單位階躍信號1(t)、單位斜坡信號（t）和加速度信號（t2）的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（3）當(dāng)r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2 ＋ 系統(tǒng)對信號t3的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加特性可得系統(tǒng)對r(t) ＝ 4 ＋ 6t ＋ 3t2 ＋ 【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（因為有一對共軛極點的實部大于0。特征方程的根=閉環(huán)傳遞函數(shù)極點：，177。），所以上述計算結(jié)果毫無意義。若將系統(tǒng)改成，則系統(tǒng)穩(wěn)定。46 √圖題4－6為由穿孔紙帶輸入的數(shù)控機床的位置控制系統(tǒng)方塊圖，試求圖題4－6（1）系統(tǒng)的無阻尼自然頻率ωn和阻尼比ζ。（2）單位階躍輸入下的超調(diào)量Mp和上升時間tr。（3）單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。（4）單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（1）由閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，這是一個二階震蕩系統(tǒng)（2）最大超調(diào)量：上升時間：（3）當(dāng)r(t) ＝ 1(t)時，R(s) ＝ 1/s，復(fù)域系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。（4）當(dāng)r(t) ＝ t時，R(s) ＝ 1/s2，復(fù)域的系統(tǒng)誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為也可以利用教材上的結(jié)論求解（這是個1型系統(tǒng)，開環(huán)增益K=9。1型系統(tǒng)對單位斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為ess=1/K=1/9）。47 √求圖題4－7所示帶有速度控制的控制系統(tǒng)的無阻尼自然頻率ωn，阻尼比ζ及最大超調(diào)量Mp（取K ＝ 1500，τd ＝(s)）。圖題4－7解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為等號兩邊比較得 rads1當(dāng)輸入為單位階躍信號時，R(s)=1/s，所以利用部分分式法計算得到K3=1對C(s)進行拉氏逆變換得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為將KKK3代入上式中，并整理得令解得第一個峰值時間為將tp代入c(t)中可得到最大超調(diào)量為將ωn和ζ代入上式求得48 求圖題4－8所示系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka，當(dāng)輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差等于多少？圖題4－8解：這是一個1型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)增益K=10。靜態(tài)位置誤差系數(shù) 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 當(dāng)輸入是40t時，穩(wěn)態(tài)速度誤差為或者【注】此題所給系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（可以用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別）（閉環(huán)傳遞函數(shù)的三個極點為：，177。），所以上述計算結(jié)果毫無意義。49 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題4－9所示。（1）試求在單位階躍輸入信號1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）試求外部擾動N1(s)和N2(s)分別單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（3）假設(shè)R(s) ＝ 0，N2(s) ＝ 0，和，試求出外部擾動N1(s)為單位階躍函數(shù)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖題4－9圖解：（1）由圖可知求得復(fù)域的系統(tǒng)誤差為則在單位階躍輸入信號1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）外部擾動N1(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差外部擾動N2(s)單獨作用時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（3）410 已知系統(tǒng)如圖題4－10所示。在輸入信號為單位階躍r(t) ＝ 1(t)和干擾信號亦為階躍信號n(t) ＝ 21(t)作用下，試求：（1）當(dāng)K ＝ 40和K ＝ 20時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）若在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，對穩(wěn)態(tài)誤差有什么影響？在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，結(jié)果又將如何？題4－10（圖中K1應(yīng)為K）解：（1）由圖可知求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得【注】此題原題可能有數(shù)據(jù)錯誤。當(dāng)K=40時ess=0當(dāng)K=20時ess=0（2）若在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以同時消除對階躍型輸入信號和干擾信號響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若在擾動作用點之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)