廣義逆矩陣的求法探討學(xué)士論文(編輯修改稿)
2025-07-22 14:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 逆), 記為(或). 設(shè)是的矩陣，則的逆存在且唯一. 證明 先證的存在性. 設(shè)的奇異值分解其中，是的非零奇異值，容易驗(yàn)證滿足四個(gè)方程，因此存在. 下面證的唯一性. 假定也是滿足4個(gè)方程，則 因此, 說明是唯一的，且若是非奇異矩陣，容易驗(yàn)證滿足4個(gè)方程，（甚至零矩陣）. 設(shè)，存在階的可逆矩陣及階可逆矩陣，使則階矩陣使得的充分必要條件是其中分別是階任意矩陣.證明 先證必要性，由條件有階及階可逆矩陣，使那么 根據(jù)應(yīng)滿足的, 有再令 分塊如題設(shè)要求，代入上式所以,于是有得到再證充分性，由于則 對(duì)于任意的矩陣，它的減號(hào)逆總存在，但不唯一，并且是的一個(gè)減號(hào)逆【1，2】. 對(duì)于任意的矩陣，它的極小范數(shù)總存在，但不唯一，并且是的一個(gè)極小范數(shù)逆【1‘2】. 對(duì)于任意矩陣,它的最小二乘逆總存在 ,但不唯一,并且它是的一個(gè)最小二乘逆【1，2】. 對(duì)于任意矩陣,它的加號(hào)逆總存在，并且唯一. 其中這里是的滿秩分解式【1，2，3】. 是 矩陣 , 若是行滿秩矩陣 ,則總有；是列滿秩矩陣，則總有；，則總有，其中是 的滿秩分解式. 設(shè)則可將做滿秩分解（或的最大秩分解）其中是階矩陣，且. 將一非列或非行滿秩的非零矩陣表示為一列滿秩和一行滿秩的矩陣的積的分解稱為滿秩分解. 在各種廣義逆的直接計(jì)算方法中, 幾乎都要對(duì)矩陣進(jìn)行滿秩分解, 例如分解等等. 但當(dāng)計(jì)算某些廣義逆時(shí),分解將帶來大量非必要的計(jì)算, 因而有必要對(duì)滿秩分解的方法進(jìn)行簡化, 為此, 我們首先用構(gòu)造性方法證明下述定理. 對(duì)任意矩陣, 總存在著矩陣和矩陣，使得成立. 證明 設(shè)，則必有一個(gè)最大線性無關(guān)列，…，故令=[，…，]于是有非奇異矩陣，使, 亦即有 ()成立，其中為階數(shù)適當(dāng)?shù)牧憔仃?，再另置換矩陣便有, 于是由（1）知， = ()其中, 且顯然有，. 類似地可證存在著和，使有, 成立，倘令 () ()同樣有.特別，若A為行滿秩或者列滿秩，則與中之一為單位陣，定
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