【文章內(nèi)容簡介】 性主元分析方法，則要考慮通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法來求取主元 [2]。 PCA基本原理 主元分析簡介主元分析（Principal Component Analysis，PCA）或者主成分分析，是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡化復雜的問題。計算主成分的目的是將高維數(shù)據(jù)投影到較低維空間。給定 n 個變量的 m 個觀察值，形成一個 n m的數(shù)據(jù)矩矩陣， n通常比較大。對于這樣一個由多個變量?描述的復雜事物，如果事物的主要方面剛好體現(xiàn)在幾個主要變量上，只需要將這幾個變量分離出來，進行詳細分析。但是，在一般情況下，并不能直接找出這樣的關(guān)鍵變量。這時可以用原有變量的線性組合來表示事物的主要方面， PCA 就是這樣一種分析方法。 主元分析的意義PCA（主元分析）是1991年提出的，是一種掌握事物主要矛盾的統(tǒng)計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質(zhì)，簡化復雜的問題。簡單的說PCA在實驗中的主要應用：數(shù)據(jù)降維——最少的信息丟失將眾多原有變量濃縮成少數(shù)幾個主元因子，主元通常是原有變量的線性組合。簡單地說，在保證原始數(shù)據(jù)大部分信息不丟失的情況下，通過一定的線性變換，PCA就是將高維的數(shù)據(jù)通過線性變換投影到低維空間上去，這個投影要遵循一個指導思想——找出最能夠代表原始數(shù)據(jù)的投影方法，也就是說，被PCA降掉的那些維度只能是那沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用7些噪聲或是冗余的數(shù)據(jù)。這里的噪聲和冗余可以這樣認識：找出幾組也就是最能代表原始數(shù)據(jù)的線性組合。找出的線性組合我們稱之為主元，線性組合的維數(shù)稱之為主元個數(shù)。 主元分析的基本原理前面已經(jīng)提到，PCA的目的就是“降噪”和“去冗余”?！敖翟搿钡哪康木褪鞘贡Ａ粝聛淼木S度間的相關(guān)性盡可能小，而“去冗余”的目的就是使保留下來的維度含有的“能量”即方差盡可能大。首先，要知道各維度間的相關(guān)性以及個維度上的方差，能同時表現(xiàn)不同維度間的相關(guān)性以及各個維度上的方差的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是非協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣度量的是維度與維度之間的關(guān)系，而非樣本與樣本之間。協(xié)方差矩陣的主對角線上的元素是各個維度上的方差(可以稱之為能量)元素是兩兩維度間的協(xié)方差(即相關(guān)性)。通過矩陣對角化進行降噪，消除各變量間相關(guān)性，而對角化后得到的矩陣，其對角線上是協(xié)方差矩陣的特征值，它有兩個身份：首先，它還是各個維度上的新方差；其次，它是各個維度本身應該擁有的能量(能量的概念伴隨特征值而來)。通過對角化后，剩余維度間的相關(guān)性已經(jīng)減到最弱，已經(jīng)不會再受“噪聲”的影響。“降噪”后開始“去冗余”。對角化后的協(xié)方差矩陣，對角線上較小的新方差對應的就是那些該去掉的維度 [12]。現(xiàn)在只取那些含有較大能量(特征值)的維度，其余的就舍掉即可。PCA的本質(zhì)其實就是對角化協(xié)方差矩陣。 主元個數(shù)的提取累計方差貢獻率法作為一種可適應于所有的情況方法，成為確定主元個數(shù)的通用方法。主元貢獻率法因其簡單、直觀、方便等特點，在很多文章中得到了采用，在本文中也主要采用這種方法，用來確定主元個數(shù)。累計方差貢獻率（Cumulative Percent Variance, CPV）法是根據(jù)主元方差的累計和百分比來確定主元個數(shù)。累計方差貢獻率反映了所確定的主元模型反映原數(shù)據(jù)信息的程度。由于數(shù)據(jù)矩陣主元方差等價于協(xié)方差矩陣的特征值，所以也把矩陣 的協(xié)方差矩陣的前 k個特征值的和除以它的所有特X沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用8征值的和稱為 的前 k個主元的累計貢獻率，它表示了前 k個主元所解釋的數(shù)據(jù)變X化占全部數(shù)據(jù)變化的比例。因此前 k個主元的累計貢獻率CPV可以表示為 [1]： ()??niiCPV1?其中 為第i個特征值。當 個主成分的累積貢獻率超過一定的指標后 （一般85%?k足夠），我們就可以認為已求的主元個數(shù) 可以綜合原數(shù)據(jù)足夠多的信息。k 主元模型假設(shè) 是一個 的數(shù)據(jù)矩陣，其中的每一列對應于一個變量，每一行對應Xnm?于一個樣本。矩陣 可以分解為 個向量的外積之和，即 () 12nXtptp?????在式()中， 被稱為得分(score)向量， 稱為負荷(Loading)向miRt?iR?量。 的得分向量也叫做 的主元。式()也可寫為下列矩陣形式：X ()XTP??其中 稱為得分矩陣， 稱為負荷矩陣。??12,mtt??? ??np,?21各個得分向量之間是正交的，即對任何 和 ，當 時，滿足 。各個ijij?0ijt??負荷向量之間也是互相正交的，同時每個負荷向量的長度都為1，即 ()0?jTipji 1ji ji?()當矩陣 中的變量間存在一定程度的線性相關(guān)時，數(shù)據(jù) 的變化將主要體現(xiàn)X X在最前面的幾個負荷向量方向上，數(shù)據(jù)矩陣 在最后面的幾個負荷向量上的投影X將會很小，它們主要是由于測量噪聲引起的。這樣就可以將矩陣 進行主元分解后寫成下式 [3]： ()12kXtptpE??????式中 為誤差矩陣，代表 在 到 等負荷向量方向上的變化。Ean沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用9所謂的主元模型，指的是對來自正常穩(wěn)態(tài)工況下的訓練集進行主元分析后得到的一系列統(tǒng)計信息，主要包括：變量均值向量、變量方差矩陣 、協(xié)方差矩陣?D、主元方差矩陣 、負荷矩陣 以及主元數(shù) 等。將反映過程正常運行的歷史??DPk數(shù)據(jù)收集起來，對這些數(shù)據(jù)進行主元分析，建立主元模型。由于主元分析的結(jié)果受數(shù)據(jù)尺度的影響，因此在進行主元分析時，需要先將數(shù)據(jù)標準化，即將每個變量的均值減掉然后除以它的標準差。即 [6]：　 ()， ｎ????,21,)(/*iXVarEiii這樣原數(shù)據(jù)集就變換為均值為0, 方差為1的標準數(shù)據(jù)集。對標準化后的數(shù)據(jù)進行主元分析，如果只取前 個主元，那么可以得到下面的k主元模型 [14]： ()12kpXtptEX???????式中 ()12pktt??? ()1ATTiXPp???原測量數(shù)據(jù)集可表示為 ()E??從式() 可以看出原正常工況下的歷史數(shù)據(jù)集可分解為兩部分, 即一部分信息投影到主元子空間中, 另一部分則投影到殘差子空間。這樣, 如果原系統(tǒng)中存在著大量的冗余, 那么利用 A 個方向向量確定的子空間, 即PCA空間, 就能對系統(tǒng)進行很好的描述, 而PCA子空間代表X的特征空間, 是 很好的估計。X? 基于MPCA的故障檢測方法 MPCA理論 MPCA是主元分析法（PCA）在三維數(shù)據(jù)陣的擴展上的應用 [1]。對于間歇反應過沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用10程來說，其數(shù)據(jù)樣本通常可以看作為一個三維的立體數(shù)據(jù)塊, （PCA）只能用來處理二維數(shù)據(jù)，而處理一個這樣的三維立體數(shù)據(jù)塊，一個有效的想法就是對其進行重新排列。MPCA的基本思想是將一個三維的立體數(shù)據(jù)塊X沿著時間軸方向進行切分，然后將切分得到的數(shù)據(jù)時間片依次向右水平排列，如此構(gòu)成了一個新的二維數(shù)據(jù)陣，然后使用主元分析方法進行分析 [6]。不同于連續(xù)生產(chǎn)過程，間歇過程的歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)以批次為單位構(gòu)成三維數(shù)據(jù)矩陣，批次( I) 變量( J) 時間( K)， [8]。? MPCA數(shù)據(jù)矩陣沿時間軸分解圖,每一時間點上都是二維數(shù)據(jù),如果大量采集正常批次的數(shù)據(jù)樣本,那么它們代表了在不同的時間序列中不同的批次的相同變量的統(tǒng)計特性。通常統(tǒng)計控制指標有以下3種,它包括預Q統(tǒng)計量,得分Score和Hotelling T2統(tǒng)計量。 基于MPCA故障檢測的統(tǒng)計量及其控制限故障檢測是多元統(tǒng)計過程監(jiān)控的第一步，通常用 統(tǒng)計量和Q統(tǒng)計量以及得分2Score來進行故障檢測 [1]。(1)Score ()imijxp??1t (2)Q統(tǒng)計量（預測誤差平方和SPE）Q統(tǒng)計量衡量樣本向量在殘差空間投影的變化，Q統(tǒng)計量通常也稱為SPE統(tǒng)計量，其計算式為X(1) X(2) X(3) X(K)變量(J)1 J 2J KJ 時間(K)批次(I)沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用11()??xPIxIQTT)()(?? Q統(tǒng)計量的閾值計算式可以近似為 ()20 01/2201()chh???????（其中， ， 為 X的協(xié)方差矩陣 的特征2022(,3)3/miijjA???????值， A為PCA模型的主元個數(shù)， m為樣本的維數(shù)。統(tǒng)計量SPE在第 i時刻的值 是一個標量,它刻畫了此時刻測量值XI對主元模型ie的偏離程度,由于由多個變量的綜合作用而成,因而SPE圖可以同時對多變量工況進行監(jiān)控 [6]。(3)Hotelling的 統(tǒng)計量 [7]2THotelling的 統(tǒng)計量由下式給出： 212xTP?????() 其中 ，表示置信度為 的控制限。假設(shè)過程正常運行時的??1,Adiag???樣本服從多元正態(tài)分布，那么可以按下式計算控制限: ??。,2)(nAnFT?? ()其中 是指自由度帶為 A和 nA的F分布的置信水平為1 的分位點。,。AnF?? ?分值向量Score、Q統(tǒng)計量、 統(tǒng)計量均可以對過程中的故障進行檢測。當Q統(tǒng)2計量(即SPE)發(fā)生較大變化時，說明MPCA統(tǒng)計模型所代表的正常工況下的變量關(guān)系被破壞，即該過程有故障發(fā)生；當 統(tǒng)計量發(fā)生較大變化而Q統(tǒng)計量相對變化不明2T顯時，說明變量間的關(guān)系基本滿足，但過程工況發(fā)生了變換，即該過程有故障發(fā)生。 基于MPCA的故障診斷方法將采樣信息的分值向量Score、預測誤差SPE、Hotelling 沈陽化工大學學士學位論文 第二章 MPCA在間歇反應過程故障診斷中的應用12與正常工況下建立的統(tǒng)計數(shù)學模型比較,判斷其是否在置信區(qū)間或控制限內(nèi),是2T則為正常,否則為有故障存在 [14]；在各自的時間序列上建立統(tǒng)計模型,將新批次的數(shù)據(jù)向模型空間投影,通過判斷