網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無(wú)源性和耗散性(編輯修改稿)
2025-07-21 06:37 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 函數(shù)，且滿(mǎn)足(1)；(2)。其中，為給定常數(shù)，則零解是指數(shù)穩(wěn)定的。 Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法以下是一些實(shí)際中常采用的函數(shù)構(gòu)造方法。1. 線性定常系統(tǒng)：取，解，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。2. 線性時(shí)變系統(tǒng)：取，解，求出，由連續(xù)、對(duì)稱(chēng)、正定判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。3. 非線性自治系統(tǒng)：(1)Jacobian矩陣法先計(jì)算Jacobian矩陣，選取，為對(duì)稱(chēng)正定陣，則的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為令，則給定，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。特例，則，是克拉索夫斯基法。(2)變量梯度法由，其中，若選取使得為負(fù)，同時(shí)滿(mǎn)足旋度方程，則在此條件下求得 穩(wěn)定性一般將非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程描述為如下的狀態(tài)空間表達(dá)式形式： 式中，為該系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)；為系統(tǒng)外部輸入信號(hào)；為系統(tǒng)輸出信號(hào)。在考慮外部輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性分析時(shí)，可以采用輸入—輸出法來(lái)建模非線性系統(tǒng)，就像可以采用傳遞函數(shù)這種外部描述法來(lái)建模線性系統(tǒng)一樣。即非線性系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系被描述為如下形式： 其中，代表某種映射或算子，指定了輸入和輸出之間的關(guān)系。下面研究工程系統(tǒng)的品質(zhì)特性，即從映射或算子的角度給出非線性系統(tǒng)輸入—輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。1. 穩(wěn)定性定義 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在定義在上的函數(shù)和一個(gè)非負(fù)常數(shù)，使得對(duì)任意，有 成立，則稱(chēng)算子是穩(wěn)定的。其中表示向量空間的范數(shù)。 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在非負(fù)常數(shù)和，使得對(duì)任意，有 成立，則稱(chēng)算子是有限增益穩(wěn)定的。 如果，是一致有界信號(hào)的空間，則穩(wěn)定性即為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。顯然BIBO穩(wěn)定意味著任何一個(gè)有界輸入的激勵(lì)響應(yīng)都是有界的。由于范數(shù)的等價(jià)性，表征BIBO穩(wěn)定的定義不局限于空間或范數(shù)。實(shí)際上，只要輸入信號(hào)在某種范數(shù)意義下有界時(shí)，輸出信號(hào)也在同一范數(shù)意義下是有界的，則可稱(chēng)該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在正常數(shù)，使得對(duì)所有具有的，有不等式或不等式成立，則稱(chēng)算子是小信號(hào)穩(wěn)定的或小信號(hào)有限增益穩(wěn)定的。 增益穩(wěn)定性在系統(tǒng)分析中起著特殊的作用，因?yàn)槭瞧椒娇煞e信號(hào)，因此?？煽闯蔀橛邢薜哪芰啃盘?hào)。在許多抗干擾控制問(wèn)題中，系統(tǒng)可以被看成是從一個(gè)干擾輸入到一個(gè)被控制輸出的輸入—輸出映射，希望輸出信號(hào)很小。如果使用輸入信號(hào)，那么，控制設(shè)計(jì)的目的是保證輸入—輸出映射是有限增益穩(wěn)定的，并且使系統(tǒng)的增益最小。 考慮線性定常系統(tǒng) 其中，為Hurwitz矩陣。設(shè)，則系統(tǒng)的增益是 即。 考慮非線性自治系統(tǒng) 式中，是局部Lipschiz的，在上連續(xù)，且。如果存在一個(gè)連續(xù)可微的半正定函數(shù)和一個(gè)正數(shù)，使得如下不等式成立： 那么，對(duì)于所有的，系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且它的增益不大于。 小增益定理圖 2 1中的系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)和反饋連接構(gòu)成的。假設(shè)兩圖 2 1 反饋連接系統(tǒng)個(gè)系統(tǒng)都是有限增益穩(wěn)定的，即有 進(jìn)一步假設(shè)對(duì)每對(duì)輸入和，都存在唯一的輸出和，在此意義下反饋系統(tǒng)有明確的定義下面的小增益定理給出了反饋連接系統(tǒng)有限增益穩(wěn)定性的一個(gè)條件。（小增益定理）對(duì)于圖 2 1 反饋連接系統(tǒng)，在前面的假設(shè)條件下，如果，則反饋連接系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的。第3章 網(wǎng)絡(luò)的無(wú)源性無(wú)源性的概念來(lái)源于電網(wǎng)絡(luò)和物理學(xué)的分支[3]，是與系統(tǒng)的能量存儲(chǔ)函數(shù)以及外部輸入和輸出信號(hào)相關(guān)的概念。因此，無(wú)源性很好地把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系起來(lái)，為分析非線性系統(tǒng)提供了一個(gè)有力的工具。由于無(wú)源性理論利用了物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，無(wú)源性方法和其它控制技巧結(jié)合使用時(shí)，可以簡(jiǎn)化相應(yīng)的控制方法，用無(wú)源化方法設(shè)計(jì)的非線性觀察器觀測(cè)器可以減少觀測(cè)器的參數(shù)，而且它也可以簡(jiǎn)化自適應(yīng)控制，魯棒控制，滑?？刂瓶刂?，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制。近年來(lái)，無(wú)源性理論廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，機(jī)器人控制，機(jī)械系統(tǒng)，電力系統(tǒng)和化工過(guò)程等方面[3,4]。 無(wú)源性的概念無(wú)源性的概念來(lái)源于電網(wǎng)絡(luò)，所以用電路來(lái)闡述該定義。圖 2 1圖 3 1所示是電壓為，電流為的單端口電阻元件，把該元件看成是以電壓為輸入，電流為輸出的系統(tǒng)。，為電導(dǎo)。圖 3 1 無(wú)源電阻如果輸入功率始終是非負(fù)，即如果在特性的每個(gè)點(diǎn)都滿(mǎn)足，則該電阻元件是無(wú)源的。對(duì)于一個(gè)多端口的網(wǎng)絡(luò)，和是向量，流入網(wǎng)絡(luò)的功率是內(nèi)積。如果對(duì)于所有都有，則認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)是無(wú)源的。是無(wú)源性的極限情況。在這種情況下，認(rèn)為系統(tǒng)是無(wú)損耗的。首先把這一無(wú)源性概念推廣到無(wú)記憶非線性函數(shù) 其中。 考慮式系統(tǒng)，（1）如果，則系統(tǒng)是無(wú)源的；（2）如果，則系統(tǒng)是無(wú)損的；（3）如果存在某一函數(shù)，滿(mǎn)足，則系統(tǒng)是輸入前饋無(wú)源的；（4）如果滿(mǎn)足，且，則系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無(wú)源的；（5）如果存在某一函數(shù)，滿(mǎn)足，則系統(tǒng)是輸出反饋無(wú)源的；（6）如果滿(mǎn)足，且，則系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無(wú)源的。以下定義由狀態(tài)空間表達(dá)式
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