【文章內(nèi)容簡介】 10=180。180。[11P+9(1P)]P=%。又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：10=180。180。[11P+9(1P)]P=%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于元。3.對期權(quán)定價公式的經(jīng)濟理解。首先，從BlackScholes期權(quán)定價模型自身的求解過程來看，N(d2)實際上是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此，er(Tt)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值，更樸素地說，可以看成期權(quán)可能帶來的收入現(xiàn)值。SN(d1)=er(Tt)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者將來可能支付的價格的現(xiàn)值。因此整個歐式看漲期權(quán)公式就可以被看作期權(quán)未來期望回報的現(xiàn)值。其次，ND=（d1)=dfdS，顯然反映了標的資產(chǎn)變動一個很小的單位時，期權(quán)價格的變化量；或者說，如果要避免標的資產(chǎn)價格變化給期權(quán)價格帶來的影響，一個單位的看漲期權(quán)多頭，就需要D單位的標的資產(chǎn)空頭加以保值。事實上，我們在第十二章中將看到，ND=（d1)是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負債的價值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)（Assetornotingcalloption）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)（cashornothingoption）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)的價值，er(Tt)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)空頭的價值。這是因為，對于一個資產(chǎn)或無價值看漲期權(quán)來說，如果標的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額，根據(jù)前文對N(d2)和SN(d1)的分析，可以得出該期權(quán)的價值為er(Tt)STN(d1)=SN(d1)的結(jié)論；同樣，對于（標準）現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)，如果標的資產(chǎn)價格在到期時低于執(zhí)行價格，該期權(quán)沒有價值；如果高于執(zhí)行價格，則該期權(quán)支付1元，由于期權(quán)到期時價格超過執(zhí)行價格的概率為N(d2)，則1份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為er(Tt)N(d2)。4．BlackScholes期權(quán)定價公式的拓展（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式BlackScholes期權(quán)定價模型給出的是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式，根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：p=c+Xer(Tt)S=Xer(Tt)N(d2)SN(d1)（2）無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價公式在標的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值。由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴密的平價關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價還沒有得到一個精確的解析公式，但可以用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。（3）有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價公式是什么呢？實際上，如果收益可以準確地預(yù)測到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價并不復(fù)雜。在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。s表示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率1，就可直接套用公式分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。當(dāng)標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（S－I）代替式S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。1從理論上說,風(fēng)險部分的波動率并不完全等于整個證券價格的的波動率,有風(fēng)險部分的波動率近似等于整個證券價格波動率乘以S/(S－V)，這里V是紅利現(xiàn)值。但在本書中，為了方便起見，我們假設(shè)兩者是相等的。當(dāng)標的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將Seq(Tt)PTB=100231。 247。231。 247。=er(Tt)= 174。er180。= 174。r=代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。在各種期權(quán)中，股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的標的資產(chǎn)可以看作支付連續(xù)紅利率，因而它們適用于這一定價公式。另外，對于有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無法得到精確的解析解，仍然需要用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。5．BlackScholes期權(quán)定價公式的計算（1）BlackScholes期權(quán)定價模型的參數(shù)我們已經(jīng)知道，BlackScholes期權(quán)定價模型中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標的資產(chǎn)價格波動率（即標的資產(chǎn)收益率的標準差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。（2）估計無風(fēng)險利率在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得對無風(fēng)險利率的估計值。但是在實際應(yīng)用的時候仍然需要注意幾個問題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險利率的估計值。由于美國國庫券所報出的利率通常為貼現(xiàn)率（即利息占票面價值的比例），因此需要轉(zhuǎn)化為通常的利率，并且用連續(xù)復(fù)利的方式表達出來，才可以在BlackScholes公式中應(yīng)用。其次，要小心地選擇國庫券的到期日。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線傾斜嚴重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權(quán)到期日最近的那個國庫券的利率作為無風(fēng)險利率。我們用一個例子來說明無風(fēng)險利率的計算。假設(shè)一個還有84天到期的國庫券，其買入報價為，賣出報價為由于短期國庫券市場報價為貼現(xiàn)率，我們可以推算出其中間報價對應(yīng)的現(xiàn)金價格（面值為100美元）為2230。+246。230。84246。232。 248。232。360248。進一步應(yīng)用連續(xù)復(fù)利利率的計算公式得到相應(yīng)的利率：100 100PTB 估計標的資產(chǎn)價格的波動率估計標的資產(chǎn)價格的波動率要比估計無風(fēng)險利率困難得多，也更為重要。正如第十章所述，估計標的資產(chǎn)價格波動率有兩種方法：歷史波動率和隱含波動率。（3）歷史波動率所謂歷史波動率就是從標的資產(chǎn)價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格收益率的標準差。以股票價格為例，表1列出了計算股票價格波動率的一個簡單說明。很顯然，計算波動率的時候，我們運用了統(tǒng)計學(xué)中計算樣本均值和標準差的簡單方法。其中，Rt為股票價格百分比收益率，R（或者為m ）則為連續(xù)復(fù)利收益率（估計）均值，Var(R)（或者s ）則是連續(xù)復(fù)利收2益率（估計）方差，s就是相應(yīng)的（估計）標準差（波動率），即BlackScholes公式計算時所用的參數(shù)。在表111中，共有11天的收盤價信息，因此得到10個收益率信息。t tRt=PP1229。lnRtR=1TTt=11229。(lnRtR)Var(R)=TT1t=12表1歷史波動率計算天數(shù)tPRtln(Rt)(lnRtR)2樣本方差s =/9=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總計 樣本均值m＝/10=2樣本標準差s=在BlackScholes公式所用的參數(shù)中，有三個參數(shù)與時間有關(guān)：到期期限、無風(fēng)險利率和波動率。值得注意的是，這三個參數(shù)的時間單位必須相同，或者同為天、周，或者同為年。年是經(jīng)常被用到的時間單位，因此，我們常常需要將諸如表1中得到的天波動率轉(zhuǎn)化為年波動率。在考慮年波動率時，有一個問題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計算。一般認為，證券價格的波動主要來自交易日。因此，在轉(zhuǎn)換年波動率時，應(yīng)該按照一年252個交易日進行計算。這樣，表1中計算得到的天波動率相應(yīng)的年波動率為syear=sday180。252=。在我們的例子中，我們使用的是10天的歷史數(shù)據(jù)。在實際計算時，這個天數(shù)的選擇往往很不容易。從統(tǒng)計的角度來看，時間越長，數(shù)據(jù)越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產(chǎn)價格收益率的波動率卻又常常隨時間而變化，太長的時間段反而可能降低波動率的精確度。因此，計算波動率時，要注意選取距離今天較近的時間，一般的經(jīng)驗法則是設(shè)定度量波動率的時期等于期權(quán)的到期期限。因此，如果要為9個月的期權(quán)定價，可使用9個月的歷史數(shù)據(jù)。（4）隱含波動率從BlackScholes期權(quán)定價模型本身來說，公式中的波動率指的是未來的波動率數(shù)據(jù)，這使得歷史波動率始終存在著較大的缺陷。為了回避這一缺陷，一些學(xué)者將目光轉(zhuǎn)向隱含波動率的計算。所謂的隱含波動率，即根據(jù)BlackScholes期權(quán)定價公式，將公式中除了波動率以外的參數(shù)和市場上的期權(quán)報價代入，計算得到的波動率數(shù)據(jù)。顯然，這里計算得到的波動率可以看作是市場對未來波動率的預(yù)期。當(dāng)然，由于BlackScholes期權(quán)定價公式比較復(fù)雜，隱含波動率的計算一般需要通過計算機完成。（5）BlackScholes期權(quán)定價公式的計算：一個例子為了使讀者進一步理解BlackScholes期權(quán)定價模型，我們下面用一個簡單的例子，來說明這一模型的計算過程。例1假設(shè)某種不支付紅利股票的市價為50元，無風(fēng)險利率為12%，該股票的年波動率為10%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價格。在本題中，可以將相關(guān)參數(shù)表達如下：S＝50，X＝50，r=,σ=,T=1,計算過程可分為三步：第一步，先算出d1和d2d1= =ln(50/50)+(+2)180。1180。1d2=d1180。1=第二步，計算N(d1)和N(d2)。N(d1)=N()=N(d2)=N()=第三步，上述結(jié)果及已知條件代入公式（），這樣，歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價格分別為：c=50180。50180。180。1=p=50180。(1)180。150180。(1)=在本例中，標的資產(chǎn)執(zhí)行價格和市場價格正好相等，但是看漲期權(quán)的價格卻與看跌期權(quán)的價格相差懸殊。其中的原因在于利率和到期期限對期權(quán)價格的影響。在本例中，利率高達12%，到期期限長達一年。在這種情況下，執(zhí)行價格的現(xiàn)值將大大降低。對于歐式看漲期權(quán)來說，這意味著內(nèi)在價值的大幅上升；而對歐式看跌期權(quán)來說，卻意味著內(nèi)在價值的大幅降低。因此，在計算了執(zhí)行價格的現(xiàn)值以后，看漲期權(quán)是實值期權(quán)而看跌期權(quán)則是一個虛值期權(quán)。事實上，由于實際中的市場短期利率通常較低，期權(quán)到期期限一般不超過9個月，因此如果標的資產(chǎn)市場價格與執(zhí)行價格相等，同樣條件下的看漲期權(quán)價格和看跌期權(quán)價格一般比較接近。6．BlackScholes期權(quán)定價公式的精確度實證要求證BlackScholes期權(quán)定價公式的精確度，我們可以運用BlackScholes期權(quán)定價公式計算出期權(quán)價格的理論值，然后與市場上的期權(quán)價格進行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個定價公式的精度應(yīng)該是令人滿意的。從總的實證研究結(jié)果來看，BlackScholes期權(quán)定價公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價格動態(tài)的最佳模型之一與CAPM解釋股票價格差異的能力相比，BlackScholes期權(quán)定價公式可以較好地解釋期權(quán)的價格差異。這也正是Scholes得以獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的重要原因。一般認為，造成用BlackScholes期權(quán)定價公式估計的期權(quán)價格與市場價格存在差異的原因主要有以下幾個：計算錯誤；期權(quán)市場價格偏離均衡；使用的錯誤的參數(shù)；BlackScholes期權(quán)定價公式建立