【文章內(nèi)容簡介】 10=180。180。[11P+9(1P)]P=%。又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：10=180。180。[11P+9(1P)]P=%?？梢姡顿Y者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于元。3.對(duì)期權(quán)定價(jià)公式的經(jīng)濟(jì)理解。首先，從BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型自身的求解過程來看，N(d2)實(shí)際上是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此，er(Tt)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，更樸素地說，可以看成期權(quán)可能帶來的收入現(xiàn)值。SN(d1)=er(Tt)STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者將來可能支付的價(jià)格的現(xiàn)值。因此整個(gè)歐式看漲期權(quán)公式就可以被看作期權(quán)未來期望回報(bào)的現(xiàn)值。其次，ND=（d1)=dfdS，顯然反映了標(biāo)的資產(chǎn)變動(dòng)一個(gè)很小的單位時(shí)，期權(quán)價(jià)格的變化量；或者說，如果要避免標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化給期權(quán)價(jià)格帶來的影響，一個(gè)單位的看漲期權(quán)多頭，就需要D單位的標(biāo)的資產(chǎn)空頭加以保值。事實(shí)上，我們?cè)诘谑轮袑⒖吹剑?ND=（d1)是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值,er(Tt)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Assetornotingcalloption）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cashornothingoption）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，er(Tt)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)來說，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，根據(jù)前文對(duì)N(d2)和SN(d1)的分析，可以得出該期權(quán)的價(jià)值為er(Tt)STN(d1)=SN(d1)的結(jié)論；同樣，對(duì)于（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元，由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2)，則1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為er(Tt)N(d2)。4．BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的拓展（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型給出的是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：p=c+Xer(Tt)S=Xer(Tt)N(d2)SN(d1)（2）無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)公式在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價(jià)還沒有得到一個(gè)精確的解析公式，但可以用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。（3）有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)公式到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒有現(xiàn)金收益。那么，對(duì)于有收益資產(chǎn)，其期權(quán)定價(jià)公式是什么呢？實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到，或者說是已知的，那么有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)并不復(fù)雜。在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。s表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率1，就可直接套用公式分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S－I）代替式S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。1從理論上說,風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率并不完全等于整個(gè)證券價(jià)格的的波動(dòng)率,有風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率近似等于整個(gè)證券價(jià)格波動(dòng)率乘以S/(S－V)，這里V是紅利現(xiàn)值。但在本書中，為了方便起見，我們假設(shè)兩者是相等的。當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將Seq(Tt)PTB=100231。 247。231。 247。=er(Tt)= 174。er180。= 174。r=代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。在各種期權(quán)中，股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)可以看作支付連續(xù)紅利率，因而它們適用于這一定價(jià)公式。另外，對(duì)于有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無法得到精確的解析解，仍然需要用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。5．BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算（1）BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)我們已經(jīng)知道，BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期期限、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率則需要通過一定的計(jì)算求得估計(jì)值。（2）估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率在發(fā)達(dá)的金融市場上，很容易獲得對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值。但是在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候仍然需要注意幾個(gè)問題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值。由于美國國庫券所報(bào)出的利率通常為貼現(xiàn)率（即利息占票面價(jià)值的比例），因此需要轉(zhuǎn)化為通常的利率，并且用連續(xù)復(fù)利的方式表達(dá)出來，才可以在BlackScholes公式中應(yīng)用。其次，要小心地選擇國庫券的到期日。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線傾斜嚴(yán)重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權(quán)到期日最近的那個(gè)國庫券的利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。我們用一個(gè)例子來說明無風(fēng)險(xiǎn)利率的計(jì)算。假設(shè)一個(gè)還有84天到期的國庫券，其買入報(bào)價(jià)為，賣出報(bào)價(jià)為由于短期國庫券市場報(bào)價(jià)為貼現(xiàn)率，我們可以推算出其中間報(bào)價(jià)對(duì)應(yīng)的現(xiàn)金價(jià)格（面值為100美元）為2230。+246。230。84246。232。 248。232。360248。進(jìn)一步應(yīng)用連續(xù)復(fù)利利率的計(jì)算公式得到相應(yīng)的利率：100 100PTB 估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率要比估計(jì)無風(fēng)險(xiǎn)利率困難得多，也更為重要。正如第十章所述，估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率有兩種方法：歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率。（3）歷史波動(dòng)率所謂歷史波動(dòng)率就是從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)中計(jì)算出價(jià)格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。以股票價(jià)格為例，表1列出了計(jì)算股票價(jià)格波動(dòng)率的一個(gè)簡單說明。很顯然，計(jì)算波動(dòng)率的時(shí)候，我們運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)中計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的簡單方法。其中，Rt為股票價(jià)格百分比收益率，R（或者為m ）則為連續(xù)復(fù)利收益率（估計(jì)）均值，Var(R)（或者s ）則是連續(xù)復(fù)利收2益率（估計(jì)）方差，s就是相應(yīng)的（估計(jì)）標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)率），即BlackScholes公式計(jì)算時(shí)所用的參數(shù)。在表111中，共有11天的收盤價(jià)信息，因此得到10個(gè)收益率信息。t tRt=PP1229。lnRtR=1TTt=11229。(lnRtR)Var(R)=TT1t=12表1歷史波動(dòng)率計(jì)算天數(shù)tPRtln(Rt)(lnRtR)2樣本方差s =/9=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總計(jì) 樣本均值m＝/10=2樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=在BlackScholes公式所用的參數(shù)中，有三個(gè)參數(shù)與時(shí)間有關(guān)：到期期限、無風(fēng)險(xiǎn)利率和波動(dòng)率。值得注意的是，這三個(gè)參數(shù)的時(shí)間單位必須相同，或者同為天、周，或者同為年。年是經(jīng)常被用到的時(shí)間單位，因此，我們常常需要將諸如表1中得到的天波動(dòng)率轉(zhuǎn)化為年波動(dòng)率。在考慮年波動(dòng)率時(shí)，有一個(gè)問題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計(jì)算。一般認(rèn)為，證券價(jià)格的波動(dòng)主要來自交易日。因此，在轉(zhuǎn)換年波動(dòng)率時(shí)，應(yīng)該按照一年252個(gè)交易日進(jìn)行計(jì)算。這樣，表1中計(jì)算得到的天波動(dòng)率相應(yīng)的年波動(dòng)率為syear=sday180。252=。在我們的例子中，我們使用的是10天的歷史數(shù)據(jù)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，這個(gè)天數(shù)的選擇往往很不容易。從統(tǒng)計(jì)的角度來看，時(shí)間越長，數(shù)據(jù)越多，獲得的精確度一般越高。但是，資產(chǎn)價(jià)格收益率的波動(dòng)率卻又常常隨時(shí)間而變化，太長的時(shí)間段反而可能降低波動(dòng)率的精確度。因此，計(jì)算波動(dòng)率時(shí)，要注意選取距離今天較近的時(shí)間，一般的經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定度量波動(dòng)率的時(shí)期等于期權(quán)的到期期限。因此，如果要為9個(gè)月的期權(quán)定價(jià)，可使用9個(gè)月的歷史數(shù)據(jù)。（4）隱含波動(dòng)率從BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型本身來說，公式中的波動(dòng)率指的是未來的波動(dòng)率數(shù)據(jù)，這使得歷史波動(dòng)率始終存在著較大的缺陷。為了回避這一缺陷，一些學(xué)者將目光轉(zhuǎn)向隱含波動(dòng)率的計(jì)算。所謂的隱含波動(dòng)率，即根據(jù)BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式，將公式中除了波動(dòng)率以外的參數(shù)和市場上的期權(quán)報(bào)價(jià)代入，計(jì)算得到的波動(dòng)率數(shù)據(jù)。顯然，這里計(jì)算得到的波動(dòng)率可以看作是市場對(duì)未來波動(dòng)率的預(yù)期。當(dāng)然，由于BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式比較復(fù)雜，隱含波動(dòng)率的計(jì)算一般需要通過計(jì)算機(jī)完成。（5）BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算：一個(gè)例子為了使讀者進(jìn)一步理解BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型，我們下面用一個(gè)簡單的例子，來說明這一模型的計(jì)算過程。例1假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，該股票的年波動(dòng)率為10%，求該股票協(xié)議價(jià)格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格。在本題中，可以將相關(guān)參數(shù)表達(dá)如下：S＝50，X＝50，r=,σ=,T=1,計(jì)算過程可分為三步：第一步，先算出d1和d2d1= =ln(50/50)+(+2)180。1180。1d2=d1180。1=第二步，計(jì)算N(d1)和N(d2)。N(d1)=N()=N(d2)=N()=第三步，上述結(jié)果及已知條件代入公式（），這樣，歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價(jià)格分別為：c=50180。50180。180。1=p=50180。(1)180。150180。(1)=在本例中，標(biāo)的資產(chǎn)執(zhí)行價(jià)格和市場價(jià)格正好相等，但是看漲期權(quán)的價(jià)格卻與看跌期權(quán)的價(jià)格相差懸殊。其中的原因在于利率和到期期限對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。在本例中，利率高達(dá)12%，到期期限長達(dá)一年。在這種情況下，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值將大大降低。對(duì)于歐式看漲期權(quán)來說，這意味著內(nèi)在價(jià)值的大幅上升；而對(duì)歐式看跌期權(quán)來說，卻意味著內(nèi)在價(jià)值的大幅降低。因此，在計(jì)算了執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值以后，看漲期權(quán)是實(shí)值期權(quán)而看跌期權(quán)則是一個(gè)虛值期權(quán)。事實(shí)上，由于實(shí)際中的市場短期利率通常較低，期權(quán)到期期限一般不超過9個(gè)月，因此如果標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格相等，同樣條件下的看漲期權(quán)價(jià)格和看跌期權(quán)價(jià)格一般比較接近。6．BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的精確度實(shí)證要求證BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式的精確度，我們可以運(yùn)用BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出期權(quán)價(jià)格的理論值，然后與市場上的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行比較。如果兩者不存在顯著的差別，那么這個(gè)定價(jià)公式的精度應(yīng)該是令人滿意的。從總的實(shí)證研究結(jié)果來看，BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式存在一定偏差，但它依然是迄今為止解釋期權(quán)價(jià)格動(dòng)態(tài)的最佳模型之一與CAPM解釋股票價(jià)格差異的能力相比，BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式可以較好地解釋期權(quán)的價(jià)格差異。這也正是Scholes得以獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的重要原因。一般認(rèn)為，造成用BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式估計(jì)的期權(quán)價(jià)格與市場價(jià)格存在差異的原因主要有以下幾個(gè)：計(jì)算錯(cuò)誤；期權(quán)市場價(jià)格偏離均衡；使用的錯(cuò)誤的參數(shù)；BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式建立