極值點(diǎn)偏移終稿答案(編輯修改稿)
2025-07-20 16:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 兩式相乘得：，即證：.考慮用基本不等式，也即只要證：.，故此法錯(cuò)誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效，而變式相乘卻失??？?jī)墒较鄿p的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路? 【解決】此題及很多類似的問題，都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（1） 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，即得到羅爾中值定理.上述問題即對(duì)應(yīng)于羅爾中值定理，設(shè)函數(shù)圖像與軸交于兩點(diǎn)，因此，∴，……由于，顯然與，與已知不是充要關(guān)系，轉(zhuǎn)化的過(guò)程中范圍發(fā)生了改變.例5.（11年，遼寧理）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【解析】（I）易得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）法一：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性證明，方法上同，略；法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則，由，解得，當(dāng)時(shí)，而， 所以，故當(dāng)時(shí)，.（III）由（I）知，只有當(dāng)時(shí)，且的最大值，函數(shù)才會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，故，由（II）得：，又由在上單調(diào)遞減，所以，于是，由（I）知，.【問題的進(jìn)一步探究】對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明例1.（2010天津理）已知函數(shù) ，如果，且 ，證明：【解析】法五：由前述方法四，可得，利用對(duì)數(shù)平均不等式得：，即證：，秒證.說(shuō)明：由于例2，例3最終可等價(jià)轉(zhuǎn)化成例1的形式，故此處對(duì)數(shù)平均不等式的方法省略.，其圖像與軸交于兩點(diǎn)，：.【解析】法三：由前述方法可得：，等
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