求方陣的冪的方法與技巧學(xué)士學(xué)位論文(編輯修改稿)
2025-07-20 06:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 對(duì)角化定義矩陣A是數(shù)域P上的一個(gè)n級(jí)矩陣，如果存在一個(gè)P上的n級(jí)可逆矩陣X，使為對(duì)角矩陣，則稱矩陣A可對(duì)角化。已知結(jié)論：結(jié)論1：如果在n維線性空間V中，線性變換A的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中有n個(gè)不同的根，即A有n個(gè)不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。結(jié)論2：在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換A的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根， 那么A在某組基下的矩陣是對(duì)角形的。 本章小結(jié)本章介紹了計(jì)算方陣高次冪的預(yù)備知識(shí)，簡(jiǎn)單的說明了矩陣的定義、矩陣的相關(guān)性質(zhì)、矩陣的乘法及性質(zhì)、矩陣的冪、若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、對(duì)角化定義等預(yù)備知識(shí)，熟練地掌握預(yù)備知識(shí)有助于靈活的計(jì)算方陣的高次冪，為下一部分的研究奠定基礎(chǔ)。第二章 方陣的冪的求解方法與技巧 利用矩陣對(duì)角化的方法求方陣的冪定義1：我們知道，若與階對(duì)角陣相似，則可求出一個(gè)階可逆陣，使,于是。當(dāng)一個(gè)階矩陣的階數(shù)較大時(shí)，可將矩陣分成許多小塊，這些小塊就稱為矩陣的子陣。若階矩陣可分成塊對(duì)角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單子陣的高次冪計(jì)算問題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的．即對(duì)于分塊對(duì)角矩陣，有，其中均為方陣。例1 已知方陣解 由于方陣的特征多項(xiàng)式為所以方陣的特征根為解方程組得對(duì)應(yīng)于特征值的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.解方程組得對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為.故方陣可對(duì)角化,即存在可逆矩陣于是=例2 設(shè)，其中 B= ，C= ，求。解 易見A= ，于是 = = = = 上述方法就是把求的方冪的問題就轉(zhuǎn)化為求過度矩陣和對(duì)角陣的冪的問題。所以該方法只適用于可對(duì)角化的矩陣，而一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化要先判斷階方陣是否有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 利用若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形方法求方陣的冪定理1：設(shè)，則 與一個(gè)矩陣相似。（即存在階可逆矩陣，使，其中為階塊，即，其中（i=1,2,t）為若當(dāng)矩陣，則，按照（1）給出的方法計(jì)算。則，故有．即如果方陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J與可逆矩陣P都已求出，只要計(jì)算出即可求出，則求的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為求。（1） 設(shè)為若爾當(dāng)矩陣時(shí)，將分解為對(duì)角陣與冪零矩陣的和，利用二項(xiàng)定理去求。即當(dāng)J=，這時(shí)把分解為（）的形式，其中是階單位矩陣，是階冪零矩陣。由于與可交換，因此。因?yàn)槭莾缌憔仃?，?dāng)時(shí)，=0，所以有，于是 。例3 設(shè)=，求（）。解 ， 因?yàn)? 。例4 設(shè)=，求。解 的不變因子為，的初等因子為。所以，存在可逆矩陣使。則＝，所以＝。特征值＝，求得屬于的線性無關(guān)向量為，特征值＝，求得屬于的線性無關(guān)向量為。，所以。因?yàn)?，其中，所以，則。所以，可見該方法更具有一般性，應(yīng)用它可計(jì)算任何階矩陣的高次冪。 利用數(shù)學(xué)歸納法求方陣的冪 數(shù)學(xué)歸納法1. 第一數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立。對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（,k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立。2．第二數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗(yàn)證，時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)n≤k時(shí)命題成立，并在此基礎(chǔ)上，推出n=k+1命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立。3．倒推歸納法又名反向歸納法（1）驗(yàn)證對(duì)于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n）成立（無窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無窮數(shù)列中的數(shù)，如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是，k≥1）；（2）假設(shè)P(k+1）（）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k）成立，綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立；4．螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(n），（1）驗(yàn)證時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)P(k）（）成立，能推出Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（），P(n），Q(n）都成立。 利用數(shù)學(xué)歸納法求方陣的冪該方法的思路是通過計(jì)算，等，從中發(fā)現(xiàn)的元素的規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。例5 已知矩陣，試求（為自然數(shù)）．解 可求得, 觀察這些矩陣的規(guī)
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