【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 θ,ψ)=Rot( z, φ)Rot (y, θ)Rot (z,ψ)已知任一變換T，要求得φ，θ和ψ。也就是說(shuō)，如果已知T矩陣各元的數(shù)值，那么其所對(duì)應(yīng)的φ，θ和ψ值是什么？由式23和222，我們有下式 (223)令矩陣方程兩邊各對(duì)應(yīng)元素一一相等，可得16個(gè)方程式，其中有12個(gè)為隱式方程。我們將從這些隱式方程求得所需解答。在式（223）中，只有9個(gè)隱式方程，因?yàn)槠淦揭谱鴺?biāo)也是明顯解。這些隱式方程如下 (224) (225) (226) (227) (228) (229) (230) (231) (232)用雙變量反正切函數(shù)確定角度可以試探地對(duì)φ，θ和ψ進(jìn)行如下求解。據(jù)式232得 (233)據(jù)式230和式233有 (234)又據(jù)式226和233有 (235)但是，這些解答是無(wú)用的，因?yàn)椋?）當(dāng)由余弦函數(shù)求角度時(shí)，不僅此角度的符號(hào)是不確定的，而且所求角度的準(zhǔn)確程度又與該角度本身有關(guān)，即=以及。（2）在求解φ和ψ時(shí)，見(jiàn)式234和235，我們?cè)俅斡玫椒从嘞液瘮?shù)，而且除式的分母為sinθ。這樣，當(dāng)sinθ接近于0時(shí)，總會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確。（3）當(dāng)θ=0176?；颚?177。180176。時(shí)，式234和235沒(méi)有定義。因此，在求解時(shí)，總是采用雙變量反正切函數(shù)atan2（令atan表示arctan）來(lái)確定角度。atan2提供二個(gè)自變量，即縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x，見(jiàn)圖25。當(dāng)π≤θ≤π，由atan2反求角度時(shí)，同時(shí)檢查y和x的符號(hào)來(lái)確定其所在象限。這一函數(shù)也能檢驗(yàn)什么時(shí)候x或y為0，并反求出正確的角度。atan2的精確程度對(duì)其整個(gè)定義域都是一樣的。 圖25 反正切函數(shù)atan2 用顯式方程求各角度要求得方程式的解，采用另一種通常能夠?qū)е嘛@式解答的方法。用未知逆變換依次左乘已知方程，對(duì)于歐拉變換有 (236) (237)式236的左式為已知變換T和φ的函數(shù)，而右式各元素或者為0，或者為常數(shù)。令方程式的兩邊對(duì)應(yīng)元素相等，對(duì)于式236即有 (238)在計(jì)算此方程左式之前，我們用下列形式來(lái)表示乘積其中，而x，y和z為的各相應(yīng)分量，例如：于是，我們可把式238重寫(xiě)為 (239)檢查上式右式可見(jiàn)，均為0。這是我們所期望的，因?yàn)闅W拉變換不產(chǎn)生任何平移。此外，位于第二行第三列的元素也為0。所以可得，即 (240)上式兩邊分別加上，再除以可得這樣，即可以從反正切函數(shù)atan2得到 (241)對(duì)式240兩邊分別加上，然后除以，可得這時(shí)可得式240的另一個(gè)解為 (242)式241與式242兩解相差1800。除非出現(xiàn)和同時(shí)為0的情況，我們總能得到式240的兩個(gè)相差1800的解。當(dāng)和均為0時(shí)，角度沒(méi)有定義。這種情況是在機(jī)械手臂垂直向上或向下，且和兩角又對(duì)應(yīng)于同一旋轉(zhuǎn)時(shí)出現(xiàn)的，參閱圖22b。這種情況稱(chēng)退化(degeneracy)。這時(shí)，我們?nèi)稳。?。求得值之后，式239左式的所有元素也就隨之確定。令左式元素與右邊對(duì)應(yīng)元素相等，可得：，或。于是有 (243)當(dāng)正弦和余弦都確定時(shí)，角度總是惟一確定的，而且不會(huì)出現(xiàn)前述角度那種退化問(wèn)題。最后求解角度。由式239有從而得到 (244)概括地說(shuō)，如果已知一個(gè)表示任意旋轉(zhuǎn)的齊次變換，那么就能夠確定其等價(jià)歐拉角 (245) 滾、仰、偏變換解在分析歐拉變換時(shí)，已經(jīng)知道，只有用顯式方程才能求得確定的解答。所以在這里直接從顯式方程來(lái)求解用滾動(dòng)、俯仰和偏轉(zhuǎn)表示的變換方程。式（24）和（25）給出了這些運(yùn)動(dòng)方程式。從式（24）得 (246)式中，和的定義同前。令人與式(246)右式的對(duì)應(yīng)元素相等,可得從而得 (247) (248)又令式245中左右式中的(3，1)及(1，1)元素分別相等，有，于是得 (249)最后令第(2，3)和(2，2)對(duì)應(yīng)元素分別相等，有，據(jù)此可得 (250)綜上分析可得RPY變換各角如下 (251) 球面變換解也可以把上述求解技術(shù)用于球面坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程，這些方程如式29和211所示。由式29可得 (252)令上式兩邊的右列相等，即有由此可得，即 (253) (254)以及。當(dāng)r0時(shí) (255)要求得z，必須用左乘式252的兩邊，計(jì)算上式，讓其右列相等從而可得 (256)綜上討論可得球面變換的解為 (257) 反解的存在性和唯一性對(duì)于任一復(fù)雜結(jié)構(gòu)的操臂，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的研究中心是存在性、唯一性和求解方法。 反解的存在性和工作空間為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，下面討論2R機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問(wèn)題。如（圖28）所示，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 (258)式中，和是機(jī)械手的兩個(gè)連桿長(zhǎng)度；（x，y）是端點(diǎn)的位置矢量；是關(guān)節(jié)矢量?，F(xiàn)在我們關(guān)心的問(wèn)題是，對(duì)于給定的位置矢量，根據(jù)式258，如何求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)矢量，這就是運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。在求解之前自然會(huì)問(wèn)，對(duì)于給的值，相應(yīng)的是否存在？這是運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的存在性問(wèn)題。從圖28可以看出，如果給定的位置矢量位于以外半徑為，內(nèi)半徑為的圓環(huán)上：（包括邊界），則解是存在的，否則解不存在。我們把這個(gè)圓環(huán)（反解存在的區(qū)域）稱(chēng)為機(jī)器人的工作空間。粗略地講，工作空間是操作臀的末端抓手能夠到達(dá)的空間范圍，即抓手能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。值得指出的是，工作空間應(yīng)該嚴(yán)格地區(qū)分為兩類(lèi)：靈活（工作）空間指機(jī)器人人抓手能夠以任意方位到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。因此，在靈活空間的每個(gè)點(diǎn)上，抓手的指向可任意規(guī)定。可達(dá)（工作）空間指機(jī)器人抓手至少在一個(gè)方位上能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。顯然，靈活空間是可達(dá)空間的子集。對(duì)于上述2R機(jī)械手圖28，如果兩臂長(zhǎng)相等＝，那末，可達(dá)空間是半徑為2的圓，靈活空間只有一點(diǎn)（圓心）；如果≠，則可達(dá)空間是個(gè)圓環(huán)，內(nèi)、外半徑分別是和靈活空間是空集。為了使這一平面機(jī)械手的整個(gè)可達(dá)空間成為靈活空間，在機(jī)械手的端部添加一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)即可，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)3的軸線(xiàn)與關(guān)節(jié)l和關(guān)節(jié)2的平行〔平面機(jī)械手〕。若在三維空間考慮，這個(gè)3關(guān)節(jié)的平面機(jī)械手的靈活空間仍然是空集。在可達(dá)空間內(nèi)，抓手可能的方位至少有一個(gè)，可能有多個(gè)。如圖28所示的2R機(jī)械手，在可達(dá)空間的內(nèi)域有兩個(gè)可能的方位，在可達(dá)空間的邊界上，只有一個(gè)。上面我們假定兩連桿機(jī)械手的關(guān)節(jié)變量的活動(dòng)范圍是，實(shí)際上，操作臂的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的活動(dòng)范圍難于達(dá)到，而是的一部分，因此可達(dá)空間和可能達(dá)到的方位數(shù)都會(huì)減小。例如，對(duì)于2R機(jī)械手而言，若可轉(zhuǎn)動(dòng)，可是的變動(dòng)范圍是。，那么可達(dá)空間與原來(lái)相同，然而可達(dá)到的每一點(diǎn)上只有一個(gè)方位。當(dāng)操作臂的自由度小于6階，它的靈活空間的體積是零，它不能在三維空間內(nèi)獲得一般的目標(biāo)位姿。例如2R和3R平面機(jī)械手不能到達(dá)平面以外（z≠0）的目標(biāo)點(diǎn)，也不能在Z=0的平面內(nèi)繞水平軸旋轉(zhuǎn)，3D靈活空間是空集。實(shí)際使用的工業(yè)機(jī)器人的自由度多數(shù)為4或5，它的活動(dòng)范圍超出了平面范圍，但它不能達(dá)到一般的目標(biāo)位姿。為了確定它的工作空間。需要分析機(jī)器人的具體結(jié)構(gòu)。一般而言，機(jī)器人的工作空間是位姿空間的某一子空間的一部分。該子空間與特定的機(jī)器人結(jié)構(gòu)有關(guān)。給定一個(gè)目標(biāo)系，苦機(jī)器人的自由度少于6，要它達(dá)到，一般是不可能的，因此會(huì)提出以下問(wèn)題：機(jī)器人最接近目標(biāo)系的位姿何在?實(shí)際上，用戶(hù)最關(guān)心的是工具端部所能到達(dá)的位姿，因此，通常所說(shuō)的工作空間有時(shí)是指末端執(zhí)行器的工作空間。顯然，這樣定義的工作空間與工具系{T}也有關(guān)。但是，我們?cè)谟懻摬僮鞅圻\(yùn)動(dòng)學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)反解時(shí)，通常并不把工具系{T}的變換包含在內(nèi)，而是考慮腕系{W}的工作空間。對(duì)于一個(gè)給定的終端執(zhí)行器來(lái)說(shuō)，其工具系{T}已被確定，相對(duì)于目標(biāo)系{G}的腕系{W}便可算出。問(wèn)題在于：要求的腕系{W}的位姿是否落在工作空間內(nèi)？如果所期望的腕系{W}的位姿處于工作空間內(nèi)，那么運(yùn)動(dòng)學(xué)反解是存在的，否則，反解不存在。 反解的唯一性和最優(yōu)解在解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)，碰到的另一問(wèn)題是解不唯一（稱(chēng)為多重解）。前面所述的平面3R機(jī)械手的靈活空間是整個(gè)圓環(huán)。在此區(qū)域中的任何點(diǎn)，機(jī)械手能以任意方位到達(dá)。并且，有兩種可能的形位，即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可能有兩組解。機(jī)器人操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的數(shù)目決定于關(guān)節(jié)數(shù)目和連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量的活動(dòng)范圍。一般說(shuō)來(lái)，非零的連桿參數(shù)愈多，到達(dá)某一目標(biāo)的方式也眾多，即運(yùn)動(dòng)學(xué)反解數(shù)目愈多。對(duì)于6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，表21列出了反解的最大數(shù)目與連桿長(zhǎng)度的數(shù)目之間的關(guān)系，可見(jiàn)，非零的連桿長(zhǎng)度()的數(shù)目愈多。自由度的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)操作臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的數(shù)目最多可達(dá)16。表21反解數(shù)目與非零連桿長(zhǎng)度()個(gè)數(shù)的關(guān)系多重解往往和優(yōu)化聯(lián)系在一起。人們自然會(huì)何：如何從這多重解中選擇其中的一個(gè)?并且認(rèn)這多重解中挑選最優(yōu)的一個(gè)?最優(yōu)解的準(zhǔn)則是什么?尋求最優(yōu)解的方法是什么?值得說(shuō)明的是，在不同的情況下采用的最優(yōu)準(zhǔn)則也是不同的。最常用的準(zhǔn)則是“最短行程”準(zhǔn)則。所謂最優(yōu)解是每個(gè)關(guān)節(jié)的移動(dòng)量為最小的解，稱(chēng)為“最短行程”準(zhǔn)則。所以在沒(méi)有障礙物時(shí)，我們尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題最優(yōu)解就是在關(guān)節(jié)空間中選取一個(gè)最接近起始點(diǎn)的解。但是如何衡量“接近的程度”呢?又有不同的定義方法。例如，典型的機(jī)器人前面三個(gè)連桿的尺寸較大，而后面的三個(gè)較小用于使末端操作器定向。在這種情況下，需要應(yīng)用“加權(quán)系數(shù)”的概念來(lái)衡量“接近的程度”，加權(quán)系數(shù)的選擇應(yīng)遵循：“多移動(dòng)小關(guān)節(jié)；少移動(dòng)大關(guān)節(jié)”的原則。障礙物存在時(shí)，沿“最短行程”運(yùn)動(dòng)可能引起碰撞。在這種情況下，我們不得不采用其他策略和優(yōu)化準(zhǔn)則。一般，我們?cè)诓灰鹋鲎驳目赡芙庵?，選取行程最小的。 求解方法操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的方法可分為二類(lèi)：封閉解和數(shù)值解．在進(jìn)行反解時(shí)，總是力求得到封閉解。因?yàn)榉忾]解計(jì)算速度快，效率高，便于實(shí)時(shí)控制。數(shù)值解法不具備這些特點(diǎn)，實(shí)際上，非線(xiàn)性方程組的數(shù)值解本身就是一個(gè)有待研究的領(lǐng)戰(zhàn)。“操作臂運(yùn)動(dòng)學(xué)是可解的”，是指可以找到一種求解關(guān)節(jié)變量的算法，用于確定末端抓手位姿所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)變量的全部解。在多重解的情況下，應(yīng)能算出所有的解。某些迭代算法不能保證求出所有的解。這種數(shù)值解法不于操作臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問(wèn)題。 第三章 六自由度機(jī)械手的坐標(biāo)建立及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 系統(tǒng)描述及機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)方式 機(jī)器人技術(shù)參數(shù)一覽表表31 機(jī)器人技術(shù)參數(shù)表機(jī)構(gòu)形式串聯(lián)關(guān)節(jié)式驅(qū)動(dòng)方式步進(jìn)伺服混合驅(qū)動(dòng)負(fù)載能力3Kg重復(fù)定位精度177。